2022-2023學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列說(shuō)法正確的是()

A.B.一堂數(shù)學(xué)考試分鐘時(shí)針旋轉(zhuǎn)

C.弧度的角大于的角D.三角形內(nèi)角必為第一或二象限的角

2.設(shè)，是兩個(gè)不同平面，直線，直線，則下列結(jié)論正確的是()

A.若，則B.若，則

C.若，則D.若，則

3.已知平面向量與的夾角為，且，則在方向上的投影數(shù)量是()

A.B.C.D.

4.的值為()

A.B.C.D.

5.如圖，平面四邊形中，，，，，，則四邊形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為()

A.B.C.D.

6.秋收起義紀(jì)念碑圖是萍鄉(xiāng)市的標(biāo)志性建筑，也是萍鄉(xiāng)市民的日常打卡地為測(cè)量秋收起義紀(jì)念碑的高度，某中學(xué)研究學(xué)習(xí)小組選取，兩處作為測(cè)量點(diǎn)如圖，測(cè)得的距離為，，，在處測(cè)得紀(jì)念碑頂端的仰角為，則秋收起義紀(jì)念碑的高度約為參考數(shù)據(jù)：，()

A.B.C.D.

7.已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，的解析式為()

A.B.C.D.

8.在中，，點(diǎn)在邊上，，，則()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知復(fù)數(shù)滿足是虛數(shù)單位，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的結(jié)論正確的是()

A.

B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為

C.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第三象限

D.復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根

10.已知正六邊形的邊長(zhǎng)為，下列說(shuō)法正確的是()

A.向量與可以作為平面內(nèi)一組基底

B.

C.

D.

11.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是()

A.該函數(shù)的最小正周期為B.該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.該函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.若，則

12.已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在球上，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，平面，，，則下列說(shuō)法正確的是()

A.三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形

B.球的表面積為

C.直線與平面所成角的正切值是

D.點(diǎn)到平面的距離是

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)_____．

14.若以函數(shù)圖象上相鄰的四個(gè)最值所在的點(diǎn)為頂點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)菱形，則______．

15.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，，則______．

16.如圖正三棱錐底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，則截面周長(zhǎng)的最小值______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.本小題分

已知向量，．

若，試判斷向量與是否垂直；

若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

18.本小題分

如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)．

求證：平面；

求異面直線與所成角的余弦值．

19.本小題分

在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，記的面積為．

從下面的條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求角；

在的條件下，求的最大值．

；

；

．

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

20.本小題分

在如圖所示的空間幾何體中，兩等邊三角形與互相垂直，，平面，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在的平分線上．

求證：平面；

求二面角的正切值．

21.本小題分

已知函數(shù)，的圖象在半個(gè)周期內(nèi)過(guò)，，，四點(diǎn)中的三點(diǎn)．

求函數(shù)解析式；

在銳角中，，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)的邊，若，，求的取值范圍．

22.本小題分

已知函數(shù)，．

當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

若，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)根，求的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：：因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；

：一堂數(shù)學(xué)考試分鐘時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為，故B錯(cuò)誤；

：弧度，故C正確；

：三角形的內(nèi)角為銳角或鈍角或直角，直角不在象限內(nèi)，故D錯(cuò)誤．

故選：．

：利用弧度與角度的互化即可判斷；：根據(jù)角的定義即可判斷；：根據(jù)三角形內(nèi)角的定義即可判斷．

本題考查了象限角，軸線角的定義，涉及到弧度與角度的互化，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：，是兩個(gè)不同平面，直線，直線，

若，則或，相交，故A錯(cuò)誤；

由，，則，故B正確；

若，則或，異面，故C錯(cuò)誤；

若，則或，相交，故D錯(cuò)誤．

故選：．

由面面的位置關(guān)系可判斷；由線面垂直的性質(zhì)可判斷；由線面平行的性質(zhì)可判斷．

本題考查空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：已知平面向量與的夾角為，且，

則在方向上的投影數(shù)量是．

故選：．

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合平面向量的投影的運(yùn)算求解即可．

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的投影的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：．

故選：．

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出三角函數(shù)的值．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體，如圖所示：

，

，

．

故選：．

旋轉(zhuǎn)后的幾何體是圓臺(tái)除去一個(gè)倒放的圓錐，根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，求出圓臺(tái)的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積、圓臺(tái)的底面積，即可求出幾何體的表面積．

本題考查了旋轉(zhuǎn)體的表面積計(jì)算問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：在中，

，

，解得，

在中，

，

，解得．

故選：．

利用正弦定理和直角三角形正切函數(shù)即可求解．

本題考查了正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．

7.【答案】

【解析】解：設(shè)，則，

則，

又為偶函數(shù)，

則，

依題意，的周期為，

設(shè)，則，

則．

故選：．

先利用偶函數(shù)的性質(zhì)可知時(shí)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的周期性可得時(shí)的解析式．

本題考查函數(shù)解析式的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：即為，

化為，

解得，

即內(nèi)角．

由，，

可得，

即有，

所以．

故選：．

由二倍角的余弦公式，解方程求得，，再由，結(jié)合三角形的面積公式，化解可得所求值．

本題考查三角形的面積公式，以及二倍角的余弦公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：，

則，

對(duì)于，，故A正確；

對(duì)于，，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第四象限，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于，，

故復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，故D正確．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，先求出，即可依次求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，如圖正六邊形，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于，向量與不共線，可以作為平面內(nèi)一組基底，A正確；

對(duì)于，，B錯(cuò)誤；

對(duì)于，，C正確；

對(duì)于，，則，D錯(cuò)誤．

故選：．

根據(jù)題意，作出正六邊形，由向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的計(jì)算公式依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．

本題考查平面向量基本定理，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：對(duì)于，由于的最小正周期為，

而并不能再對(duì)角進(jìn)行化簡(jiǎn)，

所以其最小正周期為，A正確；

對(duì)于，當(dāng)，，所以，

由于在上單調(diào)遞增且為正數(shù)，

所以在上單調(diào)遞減，B正確；

對(duì)于，，

可見(jiàn)該函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確；

對(duì)于，由于，顯然D錯(cuò)誤．

故選：．

結(jié)合函數(shù)的周期性和增減性進(jìn)行分析．

本題主要考查正切函數(shù)的的性質(zhì)，屬中檔題．

12.【答案】

【解析】解：選項(xiàng)A，由平面，可得、為直角三角形，

，，，由勾股定理得，，

又，，則，，

、為直角三角形，故A正確；

選項(xiàng)B，三棱錐可看作由長(zhǎng)、寬、高分別為、、的長(zhǎng)方體截得，

為的中點(diǎn)，球的直徑為，

故球的表面積，故B正確；

選項(xiàng)C，直線與平面所成角的平面角為，

，所以不正確；

選項(xiàng)D，在中，，

中，，又，

為直角三角形，，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

由于到平面的距離與到平面的距離相等

，

則，

則，解得，故D正確．

故選：．

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和勾股定理的逆定理可得、、、為直角三角形，進(jìn)而判斷；根據(jù)三棱錐外接球的結(jié)構(gòu)求出球的半徑，利用球的表面積公式計(jì)算即可判斷；結(jié)合線面角的定義即可判斷；根據(jù)三棱錐等體積法即可求出點(diǎn)到平面的距離，可判斷．

本題考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，球的表面積公式，線面角的定義及等體積法求點(diǎn)到平面的距離，屬中檔題．

13.【答案】

【解析】解：，

則，

故，即，其虛部為．

故答案為：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：令，，則，，

不妨取相鄰四個(gè)最值所在的點(diǎn)分別為，，，，如圖，

以，，，為頂點(diǎn)的四邊形恰好構(gòu)成一個(gè)菱形，

，，，

．

故答案為：．

作出部分圖象，借助圖象的性質(zhì)可得，的等量關(guān)系式，求解即可．

本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：在中，，，

，，

，

，，

設(shè)的外接圓半徑為，

則，

，

，

，

解得：，

，

．

故答案為：．

由已知條件可求出，，，由正弦定理與的外接圓半徑的關(guān)系求出，再由正弦定理即可求．

本題考查運(yùn)用正弦定理和三角恒變換解三角形，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：把正三棱錐的側(cè)面展開(kāi)，

兩點(diǎn)間的連接線即是截面周長(zhǎng)的最小值．

，

∽，

，

其中，．

又∽，

，其中，，，

，

截面周長(zhǎng)最小值是，、兩點(diǎn)分別滿足．

故答案為：，

首先，展開(kāi)三棱錐，然后，兩點(diǎn)間的連接線即是截面周長(zhǎng)的最小值，然后，求解其距離即可．

本題重點(diǎn)考查了空間中的距離最值問(wèn)題，屬于中檔題．注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用．

17.【答案】解：若，則，，故，

，所以，當(dāng)時(shí)，向量與不垂直；

向量與的夾角為鈍角，，且不共線，

，解得，且，

所以，向量與的夾角為鈍角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【解析】時(shí)可得出的坐標(biāo)，然后求出的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷是否為，為時(shí)垂直，否則不垂直；

進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求出，根據(jù)與的夾角為鈍角得出，并且與反向時(shí)得出，然后即可求出的取值范圍．

本題考查了向量坐標(biāo)的減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】證明：取的中點(diǎn)為，連接，，

由，，可得，

又，，可得，

即有四邊形為平行四邊形，可得．

又，，可得四邊形為平行四邊形，

即有，

則，

又面，面，

則平面；

取中點(diǎn)為，連接，，

，分別為，的中點(diǎn)，，

由知，為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，

，

異面直線與所成角的余弦值為．

【解析】由平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及線面平行的判定定理，可得證明：

由異面直線所成角的定義和余弦定理，計(jì)算可得所求值．

本題考查線面平行的判定和異面直線所成角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：若選：由正弦定理得，，

則，

由正弦定理化簡(jiǎn)得，，整理得，

由余弦定理得，

可得，而，

解得；

若選：根據(jù)題意得，

整理可得，即

而，

解得；

若選：由正弦定理得，，

，即，

即，三角形中，

可得，而，

解得；

點(diǎn)是中點(diǎn)，，

兩邊平方可得，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)，

則，

所以，在的條件下，面積的最大值為．

【解析】若選：兩次利用正弦定理，再由余弦定理可得角的余弦值，再由角的范圍，可得角的大?。蝗暨x，由向量的運(yùn)算性質(zhì)及三角形的面積公式，可得角的正切值，再由角的范圍，可得角的大?。蝗暨x正弦化弦整理可得角的余弦值，再由角的范圍，可得角的大小；

由是中點(diǎn)，可得向量的表達(dá)式，平方后由均值不等可式得的最大值，進(jìn)而求出三角形面積最大值．

本題考查正弦定理，余弦定理，均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

20.【答案】證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，

設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，為等邊三角形，為的平分線，

則點(diǎn)在上，連接，則平面，

平面平面，平面平面，，平面，

則平面，，則為平面圖形，

平面，平面，平面平面，，

平面平面，平面平面，平面，，

平面，平面，

解：，，，平面，

平面，，為二面角的平面角，

平面，平面，，，，

四邊形為矩形，，又，根據(jù)勾股定理，，，

則，故二面角的正切值為．

【解析】證明平面即可；為二面角的平面角，在直角三角形中，可得正切值．

本題考查二面角，考查面面垂直，線面垂直，屬于中檔題．

21.【答案】解：，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，，組合的圖象大于半個(gè)周期，故函數(shù)圖象過(guò)，，三點(diǎn)，

將，，的坐標(biāo)代入函數(shù)可得：，解得，，

所以；

由可得，在銳角中，可得，

由余弦定理有，即，

又在銳角中，有，，同時(shí)成立，

即，，，解得，

所以的取值范圍為．

【解析】因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，可知，只能一個(gè)點(diǎn)，再分別討論函數(shù)過(guò)，，；，，的討論，可知過(guò)，，，將，，的坐標(biāo)代入可得函數(shù)的解析式；

由及題意可得角的大小，再由銳角三角形的性質(zhì)，可得的取值范圍．

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及銳角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

22.【答案】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

由，可得，，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)，令，

由可得，

所以，

所以，

兩邊平方得，

則，

令，其圖象恒過(guò)和兩點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，