《角的平分線的性質(zhì)》

角的平分線的性質(zhì)天聞數(shù)媒1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質(zhì)的過程中，掌握角平分線的作法和角平分線的性質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)直覺．2.提高綜合運(yùn)用三角形全等的有關(guān)知識(shí)的解決能力；掌握簡(jiǎn)單的角平分線在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)天聞數(shù)媒不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角．你有什么辦法？天聞數(shù)媒AOBC再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？對(duì)折新課導(dǎo)入如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？觀察下面簡(jiǎn)易的平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC．將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說明它的道理嗎？知識(shí)講解天聞數(shù)媒【證明】在△ACD和△ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）天聞數(shù)媒根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）天聞數(shù)媒尺規(guī)作角的平分線畫法：1．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．2．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于ＭＮ的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于Ｃ．3．作射線OC．射線OC即為所求．OABNMC天聞數(shù)媒證明:連結(jié)MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中

OM=ON

MC=NC

OC=OC∵△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即OC是∠ＡＯＢ的角平分線．為什么OC是∠ＡＯＢ的角平分線?OABNMC天聞數(shù)媒將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？天聞數(shù)媒猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．已知：OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求證:PD=PE．PAOBCED12天聞數(shù)媒證明:∵ＯC平分∠ＡＯＢ,P是OC上一點(diǎn)（已知）∴∠DＯP=∠BＯP（角平分線定義）∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知）∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定義）在△OPD和△OPE中∠DOP=∠BOP（已證）∠ODP=∠OEP（已證）

OP=OP（已知）∴△OPD≌△OPE(AAS)∴PD＝PE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）天聞數(shù)媒定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE．PAOBCED12角平分線的性質(zhì)天聞數(shù)媒如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）天聞數(shù)媒sDCs【解析】

作夾角的角平分線OC，截取OD=2．5cm,D即為所求．O天聞數(shù)媒反過來，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？天聞數(shù)媒已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．證明:∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共邊）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上天聞數(shù)媒到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：天聞數(shù)媒(1)

∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(________________________________________)(2)

∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(________________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角平分線上．在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等天聞數(shù)媒1.已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F．求證:EB=FC．BAEDCF【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，再根據(jù)HL證△BED≌△CFD,從而得到EB=FC．隨堂練習(xí)天聞數(shù)媒2.直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A．一處B．兩處

C．三處D．四處【解析】選D．由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處,在各自?shī)A角的平分線上，即：A、B、C、D各一處．ADCB天聞數(shù)媒3.（寧德·中考）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一個(gè)條件是：_______________，并給予證明．BDAEFc天聞數(shù)媒解法一：添加條件：AE＝AF，在△AED與△AFD中，∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（SAS）．解法二：添加條件：∠EDA＝∠FDA，在△AED與△AFD中，∵∠EAD＝∠FAD，AD＝