李代數(shù)表示理論概述

李代數(shù)表示理論概述李代數(shù)——物理學(xué)中最重要工具之一，一個(gè)最簡單的解釋李代數(shù)是物理學(xué)中最重要的工具之一。它們在經(jīng)典力學(xué)、量子力學(xué)、甚至廣義相對論中都很有用。它們是數(shù)學(xué)的一個(gè)子集，稱為表示論，該理論使用稱為群的工具來提供一種形式來描述物質(zhì)和能量。關(guān)于李代數(shù)，普通大眾對它知之甚少。所以今天，我將揭開這個(gè)重要概念的神秘面紗，講述一些關(guān)于李代數(shù)的真相。什么是李代數(shù)？李代數(shù)定義為一組矩陣，當(dāng)對這組矩陣取冪時(shí)得到一個(gè)李群（

LieGroup）。大家可能不太了解“李群”，所以我首先要解釋這個(gè)詞。李群出現(xiàn)在涵蓋連續(xù)變換的李理論主題中。連續(xù)變換是一種“平滑”的變換，即由無數(shù)個(gè)“小”變換組成。而離散（非連續(xù)）變換是由“有限”的步驟組成的，就像一個(gè)粒子消失，然后在某個(gè)地方又出現(xiàn)?？梢宰儞Q的對象有很多，如形狀，矢量等等。但我們對變換“群”特別感興趣。什么是群？當(dāng)數(shù)學(xué)家說“群”的時(shí)候，它們并不是一般人所理解的那樣，如一群羊、一群人、一群螞蟻等中的“群”。數(shù)學(xué)中的群是滿足一些約束條件的集合（對象的集合）。這里我不會(huì)列出所有的約數(shù)條件。簡單說，群是一個(gè)帶有二元運(yùn)算的集合。加法下的整數(shù)集將是一群，因?yàn)槲覀兛梢詫⒄麛?shù)相加。除法下的整數(shù)集不是一個(gè)群，因?yàn)槲覀儾荒苡妹總€(gè)整數(shù)除以其他整數(shù)（如1/0）。只要為群中的所有元素定義了良好的運(yùn)算，就可以將任何東西創(chuàng)建為群。我們要研究的一個(gè)特殊群是對稱群。作為李群的對稱群拿一個(gè)正方形，并將它向右（左）旋轉(zhuǎn)一個(gè)較小的角度，比如23度。很容易判斷出，它的位置發(fā)生了變換?，F(xiàn)在假設(shè)把它旋轉(zhuǎn)90度。這個(gè)正方形看起來沒有跟之前沒有什么不同。這就是所謂的對稱性，即某些對象經(jīng)過變換后看起來是一樣的。如果把正方形旋轉(zhuǎn)180度，就會(huì)得到另一種對稱。360度的旋轉(zhuǎn)也是一種對稱（一種著名的對稱）。重點(diǎn)是這個(gè)正方形證明了旋轉(zhuǎn)的離散對稱。具體來說，它只對n×90度旋轉(zhuǎn)對稱，其中n是一個(gè)整數(shù)。我們可以說：正方形=原來的正方形+n(90)旋轉(zhuǎn)這意味著當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)90度n次時(shí)，看起來就像初始時(shí)的正方形。一個(gè)連續(xù)對稱的例子是圓。不管我們把圓旋轉(zhuǎn)到什么角度，它看起來都是一樣的。我們可以說：圓=原來的圓+d旋轉(zhuǎn)其中d是任意角度。讓我們把G(d)表示為某個(gè)特定的圓構(gòu)型。我們可以寫出任意圓的構(gòu)型：其中I是原始位置，d是某個(gè)角度。例如，旋轉(zhuǎn)90度的圓是G(90)=I+90。但是如果用90除以3會(huì)得到怎樣的旋轉(zhuǎn)？“30度的旋轉(zhuǎn)”，你可能會(huì)回答。為了實(shí)現(xiàn)90度的旋轉(zhuǎn)，要做3次30度旋轉(zhuǎn)：但是假設(shè)從旋轉(zhuǎn)9度開始。要旋轉(zhuǎn)多少次才能旋轉(zhuǎn)90度？你可能會(huì)說，10次，因?yàn)镚(90)=(I+90/10)(I+90/10)…但是假設(shè)從101/1000度旋轉(zhuǎn)開始，要旋轉(zhuǎn)多少次才能得到90度的旋轉(zhuǎn)？要點(diǎn)是，G(90)=(I+90/n)乘以自身n次，因?yàn)?90/n)xn=90。但沒有什么能阻止n越來越大。當(dāng)n→∞時(shí)會(huì)怎樣？90/n變得無限小，所以我們需要把它乘以同樣的東西無限次！也就是：你們可能覺得這個(gè)公式很眼熟。它是：其中e是歐拉數(shù)。我們可以說，起始點(diǎn)I圍繞角d旋轉(zhuǎn)的任意度數(shù)都是G(d)=e^d。我們找到了一種解釋e^d的新方法。如果我們想只允許有“特定的”旋轉(zhuǎn)（離散對稱），那么就需要將其調(diào)整為G(d)=e^dX，其中X是一組特定的數(shù)字。我們說X是G(d)的生成函數(shù)。