淺議在建模訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言解讀能力

精品文檔-下載后可編輯淺議在建模訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言解讀能力1.數(shù)學(xué)語言解讀能力

數(shù)學(xué)史學(xué)家、教育學(xué)家克萊因曾指出：“數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征是它的符號(hào)語言.如同音樂利用符號(hào)來代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和空間形式.與日常講話用的語言不同……數(shù)學(xué)語言是謹(jǐn)慎地、有意地而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的.”

數(shù)學(xué)語言解讀能力是數(shù)學(xué)基本功之一.教學(xué)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)語言解讀障礙主要有三類：識(shí)別轉(zhuǎn)化障礙，即數(shù)學(xué)語言的進(jìn)入障礙，尤指難以提取數(shù)學(xué)語言間接傳遞的信息和隱含條件.記憶存儲(chǔ)障礙，即數(shù)學(xué)語言的保留障礙，它不僅僅指記錄形式上的數(shù)學(xué)語言過程中的“遺忘”，還包括對(duì)已經(jīng)記憶保留的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行處理，略去多余的信息，提煉出知識(shí)核心成分過程中發(fā)生的“疑惑”.組織表達(dá)障礙，即數(shù)學(xué)語言的輸出障礙，分為口頭和書面表達(dá)障礙，組織表達(dá)障礙與知識(shí)掌握的熟練程度、自然語言與數(shù)學(xué)語言的并聯(lián)使用能力有關(guān).

2.建模訓(xùn)練有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言解讀能力

嚴(yán)格的過程演繹使數(shù)學(xué)內(nèi)容成為形式化運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物.數(shù)學(xué)中的每一個(gè)概念，從本質(zhì)上說都是嵌入在一些概念體系之中的，它從某基礎(chǔ)概念中得來，又為建立新的概念作基礎(chǔ).解讀數(shù)學(xué)語言就是要理解數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再組織.在前（低）一層次形式理解的基礎(chǔ)上，去認(rèn)識(shí)后（高）一層次形式.因此，數(shù)學(xué)語言解讀通常要經(jīng)歷三個(gè)階段：

（1）引入階段：學(xué)習(xí)者通過對(duì)定理、定義、法則、公式的字面意義上的記憶，初步建立起層次結(jié)構(gòu)的輪廓.此時(shí)，學(xué)生僅能通過背誦、對(duì)比和模仿進(jìn)行識(shí)別判斷.

（2）抽象理解階段：從記憶到理解，從對(duì)運(yùn)算、證明的形式操作進(jìn)入分析推理，數(shù)學(xué)語言中層次形式的輪廓越來越清晰，最后由理解進(jìn)化到概括.這時(shí)，學(xué)習(xí)者往往能概括出某一數(shù)學(xué)觀念，概括出該層次形式活動(dòng)的內(nèi)容和規(guī)則.

（3）反省抽象理解階段：通過對(duì)已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的反省，思考如何以前一層次形式為對(duì)象進(jìn)行后一層次形式活動(dòng)，從而搭建出具備通用性的結(jié)構(gòu).學(xué)習(xí)者要達(dá)到一定認(rèn)知水平后才能自覺進(jìn)入這一階段，因此需要采取多種方法進(jìn)行有意識(shí)的培養(yǎng)，使學(xué)習(xí)者完整地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語言解讀.

數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言解讀能力.一方面，建模引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)語言的精確性與真實(shí)世界的不確定性之間的矛盾，即通過有步驟、有計(jì)劃的精確的分析計(jì)算得到的也可能依然是特定條件下的模擬近似解，了解這種數(shù)學(xué)思想，對(duì)中學(xué)生下一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題很有益處；另一方面，建模的過程必須依靠數(shù)學(xué)語言進(jìn)行合理假定并在把模型“數(shù)學(xué)化”的過程中概括、抽取、保留有價(jià)值的信息，同時(shí)舍去次要的、甚至是干擾性的信息，起到在解讀過程中削減“冗余度”的功能，也為到達(dá)反省抽象理解階段創(chuàng)造必要條件.

3.案例分析

模型：有一個(gè)半徑為10公里的圓形農(nóng)場(chǎng)，種植某種谷物，總產(chǎn)量23萬噸，收割后要運(yùn)回位于農(nóng)場(chǎng)中心的倉(cāng)庫(kù)，如果運(yùn)費(fèi)是每噸每公里2元，請(qǐng)估算總運(yùn)費(fèi)，并且說明怎樣改善你的估計(jì).

（Ⅰ）模型假設(shè)與分析：首先假設(shè)谷物在農(nóng)場(chǎng)內(nèi)是基本均勻分布的，這樣由于總產(chǎn)量是23萬噸，總面積為314平方公里，每平方公里的產(chǎn)量ρ約等于0.073萬噸，畝產(chǎn)約為1千斤.其次假設(shè)倉(cāng)庫(kù)面積忽略不計(jì)，是個(gè)質(zhì)點(diǎn).最后考慮谷物是從哪些位置運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)的：由于農(nóng)場(chǎng)是圓形，若假設(shè)谷物都是從圓心處運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)，顯然不合理，因?yàn)檫@樣根本不需要運(yùn)；若假設(shè)谷物都是從農(nóng)場(chǎng)最即半徑10公里的圓周處運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)，如圖1，顯然也不合理，這樣過高地估計(jì)了運(yùn)費(fèi)，因?yàn)榇蟛糠值墓任锒际菑陌霃?0公里的圓形內(nèi)部運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)的；如假設(shè)谷物是從半徑5公里的圓周處運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)，經(jīng)分析，發(fā)現(xiàn)誤差很大：半徑5公里的圓周將該農(nóng)場(chǎng)切分成了兩部分，一個(gè)是半徑5公里的圓形農(nóng)場(chǎng)（面積記為Sx），一個(gè)是內(nèi)徑5公里、外徑10公里的圓環(huán)形農(nóng)場(chǎng)（面積記為Sy），Sy是Sx的3倍，這樣將造成估算的運(yùn)費(fèi)比實(shí)際運(yùn)費(fèi)低很多.

經(jīng)進(jìn)一步分析，如圖2，可將圓形農(nóng)場(chǎng)用四個(gè)同心圓分割成5個(gè)部分，分別是一個(gè)R1=2公里的圓形農(nóng)場(chǎng)F1和四個(gè)內(nèi)徑ri（i=2，3，4，5）、外徑Ri（i=2，3，4，5）的圓環(huán)形農(nóng)場(chǎng)Fi（i=2，3，4，5）（內(nèi)徑ri=2（i-1）公里，外徑Ri=2i公里（i=2，3，4，5）），圓環(huán)面積分別為Si（i=2，3，4，5）.同時(shí)也可以把圓形農(nóng)場(chǎng)F1看作是內(nèi)徑r1=0公里、外徑R1=2公里的圓環(huán).

若假設(shè)F1內(nèi)的谷物都是從圓心運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)，圓環(huán)形農(nóng)場(chǎng)Fi內(nèi)的谷物都是從內(nèi)徑處運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)，顯然低估運(yùn)費(fèi)；若假設(shè)F1內(nèi)的谷物從R1=2公里處運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)，圓環(huán)形農(nóng)場(chǎng)Fi內(nèi)谷物都是從外徑處運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)，則估算又偏高.基于此，可以認(rèn)為谷物是從半徑為di的圓周處運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)（其中di=ri+Ri-ri2（i=1，2，3，4，5）），代入簡(jiǎn)化后di=2i-1（i=1，2，3，4，5），即F1內(nèi)的谷物是從半徑中點(diǎn)的圓周處運(yùn)回倉(cāng)庫(kù)，圓環(huán)形農(nóng)場(chǎng)Fi內(nèi)的谷物是從圓環(huán)中間的圓周處運(yùn)回倉(cāng)庫(kù).

圖1圖2

（Ⅱ）模型的建立與求解：在上面分析的基礎(chǔ)上我們可以知道總運(yùn)費(fèi)C就是把農(nóng)場(chǎng)分割成的五個(gè)部分的運(yùn)費(fèi)相加，而這五個(gè)部分的運(yùn)費(fèi)又分別等于它們的產(chǎn)量和到倉(cāng)庫(kù)的距離的乘積再乘以每噸每公里的運(yùn)費(fèi)，即