2021高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)測(cè)試小題基礎(chǔ)練（五）

小題基礎(chǔ)練(五)數(shù)學(xué)文化1．饕餮(tāotiè)紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現(xiàn)在距今五千年前長(zhǎng)江下游地區(qū)的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，有一點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經(jīng)過3次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B的概率為()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，跳3次的所有基本事件有：(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8種不同的跳法(線路)，符合題意的只有(下，下，右)這1種，所以3次跳動(dòng)后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B的概率為eq\f(1,8).答案：B2．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，雨水、驚蟄、春分、清明日影之和為三丈二尺，前七個(gè)節(jié)氣日影之和為七丈三尺五寸，問立夏日影長(zhǎng)為()A．七尺五寸 B．六尺五寸C．五尺五寸 D．四尺五寸解析：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，雨水、驚蟄、春分、清明日影之和為三丈二尺，前七個(gè)節(jié)氣日影之和為七丈三尺五寸，設(shè)十二節(jié)氣第n(n∈N*)個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)為an，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＋a6＋a7＋a8＝4a1＋22d＝32，,S7＝7a1＋\f(7×6,2)d＝7a1＋21d＝，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(27,2)，,d＝－1，))所以a10＝a1＋9d＝eq\f(27,2)－9＝eq\f(9,2)，因此，立夏日影長(zhǎng)為四尺五寸．答案：D3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，卷一《方田》中有如下兩個(gè)問題：[三三]今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？[三四]又有宛田，下周九十九步，徑五十一步．問為田幾何？翻譯為：[三三]現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)30步，直徑長(zhǎng)16步．問這塊田面積是多少？[三四]又有一扇形田，弧長(zhǎng)99步，直徑長(zhǎng)51步．問這塊田面積是多少？則下列說法正確的是()A．問題[三三]中扇形的面積為240平方步B．問題[三四]中扇形的面積為eq\f(5049,4)平方步C．問題[三三]中扇形的面積為60平方步D．問題[三四]中扇形的面積為eq\f(5049,2)平方步解析：依題意，問題[三三]中扇形的面積為eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×30×eq\f(16,2)＝120平方步，問題[三四]中扇形的面積為eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×99×eq\f(51,2)＝eq\f(5049,4)平方步．答案：B4．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于eq\f(4,5)，則需要操作的次數(shù)n的最小值為________．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771()A．3 B．4C．5 D．6解析：第一次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f(1,3)；第二次操作去掉兩個(gè)長(zhǎng)度為eq\f(1,9)的區(qū)間，長(zhǎng)度和為eq\f(2,9)；第三次操作去掉四個(gè)長(zhǎng)度為eq\f(1,27)的區(qū)間，長(zhǎng)度和為eq\f(4,27)；…第n次操作去掉2n－1個(gè)長(zhǎng)度為eq\f(1,3n)的區(qū)間，長(zhǎng)度和為eq\f(2n－1,3n).＋eq\f(2n－1,3n)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)，由題意，1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≥eq\f(4,5)，即nlgeq\f(2,3)≤lgeq\f(1,5)，解得：n≥，又n為整數(shù)，所以n的最小值為4.答案：B5．我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家劉徽的杰作《九章算術(shù)注》是中國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)之一，書中記載了他計(jì)算圓周率所用的方法．先作一個(gè)半徑為1的單位圓，然后做其內(nèi)接正六邊形，在此基礎(chǔ)上做出內(nèi)接正6×2n(n＝1，2，…)邊形，這樣正多邊形的邊逐漸逼近圓周，從而得到圓周率，這種方法稱為“劉徽割圓術(shù)”．現(xiàn)設(shè)單位圓O的內(nèi)接正n邊形的一邊為AC，點(diǎn)B為劣弧eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，則BC是內(nèi)接正2n邊形的一邊，現(xiàn)記AC＝Sn，AB＝S2n，則()A．S2n＝eq\r(2－\r(4－Seq\o\al(2,n))) B．S2n＝eq\r(2＋\r(4－Seq\o\al(2,n)))C．S2n＝2eq\r(2＋\r(4－Seq\o\al(2,n))) D．S2n＝eq\r(4－3\r(4－Seq\o\al(2,n)))解析：法一設(shè)∠AOB＝θ，則在△AOB中，由余弦定理得Seq\o\al(2,2n)＝2－2cosθ，設(shè)AC與OB相交于點(diǎn)D，則OD⊥AD，所以cosθ＝eq\f(OD,OA)＝eq\r(1－\f(Seq\o\al(2,n),4))，所以Seq\o\al(2,2n)＝2－2eq\r(1－\f(Seq\o\al(2,n),4))＝2－eq\r(4－Seq\o\al(2,n))，故選A.法二設(shè)AC與OB相交于點(diǎn)D，則OD⊥AD，因?yàn)锳D＝eq\f(1,2)Sn，所以O(shè)D＝eq\r(1－\f(Seq\o\al(2,n),4))，所以BD＝1－OD＝1－eq\r(1－\f(Seq\o\al(2,n),4))，所以S2n＝eq\r(BD2＋AD2)＝eq\r(2－\r(4－Seq\o\al(2,n)))，故選A.答案：A6.玉琮是中國(guó)古代玉器中重要的禮器，神人紋玉琮王是新石器時(shí)代良渚文化的典型玉器，1986年出土于杭州市余杭區(qū)反山文化遺址．玉琮王通高8.8cm，孔徑4.9cm、外徑17.6cm.琮體四面各琢刻一完整的獸面神人圖像．獸面的兩側(cè)各淺浮雕鳥紋．器形呈扁矮的方柱體，內(nèi)圓外方，上下端為圓面的射，中心有一上下垂直相透的圓孔．試估計(jì)該神人紋玉琮王的體積約為(單位：cm3)()A．6250 B．3050C．2850 D．2350解析：由題可知，該神人紋玉琮王可看作是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為17.6cm，高為8.8cm的正四棱柱中挖去一個(gè)底面直徑為4.9cm，高為8.8cm的圓柱，此時(shí)求得體積記為V1，V1＝(17.6)2×－π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,2)))eq\s\up12(2)×≈2560cm3，記該神人紋玉琮王的實(shí)際體積為V，則V<V1，且由題意可知，V>π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,2)))eq\s\up12(2)×－π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,2)))eq\s\up12(2)×≈1975cm3，故1975<V<2560，故選D.答案：D7．南北朝時(shí)期的偉大數(shù)學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．其含義是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體的體積分別為V1、V2，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面面積分別為S1、S2，則命題p：“V1、V2相等”是命題q：“S1、S2總相等”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：由祖暅原理可知，若S1、S2總相等，則V1、V2相等，即必要性成立；假設(shè)夾在兩平行平面間的底面積為S的棱柱和底面積為3S的棱錐，它們的體積分別為V1、V2，則V1＝V2，這兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面的面積分別為S1、S2，但S1與S2不總相等，即充分性不成立．因此，命題p是命題q的必要不充分條件．答案：B8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載問題：“今有垣厚八尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”，意思是“今有土墻厚8尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時(shí)打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞長(zhǎng)度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長(zhǎng)度是前一天的一半，問兩鼠幾天打通相逢？”兩鼠相逢需要的天數(shù)最小為()A．2 B．3C．4 D．5解析：設(shè)需要n天時(shí)間才能打通相逢，則eq\f(2n－1,2－1)＋eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))≥8，化為：2n－eq\f(1,2n)－8≥0，令2n＝t，則t2－8t－1≥0?t≤4－eq\r(17)(舍去)或t≥4＋eq\r(17)所以2n>8，所以n>3，n的最小整數(shù)為4.答案：C9．《周髀算經(jīng)》中給出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列的結(jié)論．已知某地立春與雨水兩個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)分別為尺和尺，現(xiàn)在從該地日影長(zhǎng)小于9尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取2個(gè)節(jié)氣進(jìn)行日影長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)，則所選取這2個(gè)節(jié)氣中恰好有1個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于5尺的概率為()A.eq\f(3,7) B.eq\f(4,7)C.eq\f(13,21) D.eq\f(5,7)解析：設(shè)這十二節(jié)氣中第n(n∈N*)個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)為an尺，可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，由題意得a4＝，a5＝，所以d＝a5－a4＝－1，所以an＝a4＋(n－4)d＝－(n－4)＝－n.令an＝－n<9，解得n；令an＝－n<5，解得n>9.5.從該地日影長(zhǎng)小于9尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取2個(gè)節(jié)氣，所有的基本事件有：(a6，a7)、(a6、a8)、(a6、a9)、(a6、a10)、(a6、a11)、(a6、a12)、(a7、a8)、(a7、a9)、(a7、a10)、(a7、a11)、(a7、a12)、(a8、a9)、(a8、a10)、(a8、a11)、(a8、a12)、(a9、a10)、(a9、a11)、(a9、a12)、(a10、a11)、(a10、a12)、(a11、a12)，共21個(gè)，其中，事件“所選取這2個(gè)節(jié)氣中恰好有1個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于5尺”所包含的基本事件有：(a6、a10)、(a6、a11)、(a6、a12)、(a7、a10)、(a7、a11)、(a7、a12)、(a8、a10)、(a8、a11)、(a8、a12)、(a9、a10)、(a9、a11)、(a9、a12)，共12個(gè)，因此，所求事件的概率為eq\f(12,21)＝eq\f(4,7).答案：B10．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2均在x軸上，C的面積為2eq\r(3)π，且短軸長(zhǎng)為2eq\r(3)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,12)＋y2＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,3)＝1解析：由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝\f(2\r(3)π,π)，,2b＝2\r(3)，))解得a＝2，b＝eq\r(3)，因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在x軸上，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：B11．我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”意思是兩個(gè)同高的幾何體，如果在等高處的截面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的圓的三分之一，則該幾何體的體積為()A.eq\f(2\r(2),3)π B.eq\f(4\r(2),3)πeq\r(2)π D.eq\f(8,3)π解析：由題意可知，該幾何體的體積等于圓錐的體積，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖恰為一個(gè)半徑為3的圓的三分之一，所以圓錐的底面周長(zhǎng)為eq\f(2π×3,3)＝2π，所以圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.從而所求幾何體的體積為V＝eq\f(2\r(2),3)π.答案：A12．據(jù)記載，歐拉公式eix＝cosx＋isinx(x∈R)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．特別是當(dāng)x＝π時(shí)，得到一個(gè)令人著迷的優(yōu)美恒等式eπi＋1＝0，這個(gè)恒等式將數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的數(shù)(自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率π，虛數(shù)單位i，自然數(shù)的單位1和零元0)聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“最完美的公式”．根據(jù)歐拉公式，若復(fù)數(shù)z＝eeq\f(3π,4)i的共軛復(fù)數(shù)為z，則z＝()A．－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i B．－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)iC．eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)i D．eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i解析：歐拉公式eix＝cosx＋isinx(x∈R)，則z＝eeq\f(3π,4)i＝coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)i，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義可知z＝－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i，故選A.答案：A13．德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分?jǐn)?shù)三角形(單位分?jǐn)?shù)是指分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù))，稱為萊布尼茲三角形．根據(jù)前5行的規(guī)律，則第6行的左起第3個(gè)數(shù)為________．eq\f(1,1)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,20)eq\f(1,5)……解析：由數(shù)表可知，第n行第一個(gè)數(shù)為eq\f(1,n)，所以第6行的第1個(gè)數(shù)和最后1個(gè)數(shù)是eq\f(1,6)，中間的某個(gè)數(shù)等于下一行“兩個(gè)腳”的和，所以第6行的第2個(gè)數(shù)為eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,30)，第6行的第3個(gè)數(shù)為eq\f(1,20)－eq\f(1,30)＝eq\f(1,60)，故答案為eq\f(1,60).答案：eq\f(1,60)14．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，這條直線稱為“歐拉線”．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，其“歐拉線”的直線方程為x－y＋2＝0，則△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)__________．解析：設(shè)C(m，n)，由重心坐標(biāo)公式得△ABC的重心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋m,3)，\f(4＋n,3)))，代入歐拉線方程得eq\f(2＋m,3)－eq\f(4＋n,3)＋2＝0整理得m－n＋4＝0①因?yàn)锳B的中點(diǎn)為(1，2)，kAB＝eq\f(4－0,0－2)＝－2，所以AB的中垂線的斜率為eq\f(1,2)，所以AB的中垂線方程為y－2＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,x－y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))所以△ABC的外心為(－1，1)則eq\r(（m＋1）2＋（n－1）2)＝eq\r(（2＋1）2＋12)，②聯(lián)立①②得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4，當(dāng)m＝0，n＝4時(shí)，點(diǎn)B、C兩點(diǎn)重合，舍去；所以m＝－4，n＝0即△ABC的頂點(diǎn)