開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)課件

本章主要內(nèi)容根軌跡基本概念繪制根軌跡的基本依據(jù)及規(guī)則參數(shù)根軌跡串聯(lián)校正的綜合（自學(xué)）4-1.根軌跡基本概念開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某一參數(shù)從0變到∞時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上的變化軌跡。根軌跡的定義：D1(s)Y(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)-D2(s)E(s)常規(guī)根軌跡參數(shù)根軌跡R(s)Y(s)-例：-20××j由根軌跡圖分析系統(tǒng)性能:１.穩(wěn)定性因?yàn)楦壽E全部位于左半Ｓ平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)所有的Ｋ>0都是穩(wěn)定的。２.暫態(tài)性能

0<K≤0.5時(shí)，特征根為實(shí)根，過(guò)阻尼系統(tǒng)，響應(yīng)為非振蕩型；K＞0.5時(shí)，特征根為共軛復(fù)根，欠阻尼系統(tǒng)，響應(yīng)為衰減振蕩；可根據(jù)性能要求設(shè)置閉環(huán)極點(diǎn)。３．穩(wěn)態(tài)性能開(kāi)環(huán)傳函有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)I型系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0；閉環(huán)極點(diǎn)確定→K確定→其他響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差確定。

j0-2-112-2K=0K=0K=0.5-1K=1K=2.5K=1K=2.5當(dāng)特征方程>2階時(shí)無(wú)法求解，如何繪制根軌跡圖？特征方程為：

1+G(s)H(s)=0即：G(s)H(s)=-1相角條件4-2.繪制根軌跡的基本依據(jù)和條件G(s)H(s)-R(s)Y(s)幅值條件-10jGH平面-20××js平面零極點(diǎn)表達(dá)形式下的幅值條件和相角條件：

相角條件及特征方程是繪制根軌跡的主要依據(jù)幅值條件主要用于特征根s確定時(shí)求Kg

幅值條件和相角條件的幾何意義×p2×p1s0×p3Oz14-3.繪制根軌跡的基本規(guī)則二．根軌跡的對(duì)稱性特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)，其特征根為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。三．根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)對(duì)應(yīng)于時(shí)的特征根位置，終點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于時(shí)的特征根位置。一．根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)=n，

與開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同。特征方程可改寫(xiě)為當(dāng)，必有，即起點(diǎn)是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)；當(dāng)，必有，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)是終點(diǎn)。對(duì)于控制系統(tǒng)，一般n>m（有n-m個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處零點(diǎn)），所以有m條根軌跡終止于m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，剩下的n-m條根軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處（終止于n-m個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處零點(diǎn)）。如前面的二階系統(tǒng)，起點(diǎn)：0，-2，無(wú)零點(diǎn)，n=2，m=0，n-m=2，兩條根軌跡→∞Kg=0

Kg=0××Kg∞Kg∞-1jωσKg=0.5-20四．實(shí)軸上的根軌跡

在實(shí)軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。jωσ××××依據(jù)：１．共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)到s1的相角之和為0°，相互抵消；２．實(shí)軸上s1點(diǎn)左側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)提供的相角為0°，而右側(cè)的相角均為180°。例：①

∵有三個(gè)極點(diǎn)，根軌跡有三條分支②

∵n=3,

m=2

∴有３-２＝１條

根軌跡→∞，２條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)?！痢痢?2-4σjωoo-3-1③實(shí)軸上右邊開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)的線段為根軌跡仿真結(jié)構(gòu)圖取Kg=2,5,10,50系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)Kg=2Kg=50Kg=5Kg=10Kg↑極點(diǎn)與虛軸距離↑，2個(gè)極點(diǎn)→零點(diǎn)（偶極子）快速性↑五．根軌跡的漸近線１．根軌跡中（n－m）條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處分支的漸近線的傾角為當(dāng)時(shí)，求得的漸近線傾角最小，k增大，傾角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨(dú)立的漸近線只有（n－m）條．漸近線的交點(diǎn)總在實(shí)軸上，即必為實(shí)數(shù)．共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)的虛部相互抵消計(jì)算時(shí)只須代入開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部．２.漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)例：求根軌跡。解：①在s平面中確定開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的位置；

×××-1-2σjω②確定實(shí)軸上的根軌跡；③n=3,m=0,應(yīng)有三個(gè)分支，并且都趨向

無(wú)窮遠(yuǎn)處；④確定漸近線的位置-0.423Kg=6Kg=6-60°60°六.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)兩條根軌跡分支在Ｓ平面上某一點(diǎn)相遇，然后又立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。求解：特點(diǎn)：Kg在分離點(diǎn)上取極值，或特征方程有重根。注：兩式等價(jià)，只須用其中之一，且只是必要條件續(xù)前例：求分離點(diǎn)上的坐標(biāo)。系統(tǒng)的特征方程為即上式的根分離點(diǎn)在０至-１之間，應(yīng)取s1=-0.423

用幅值條件確定分離點(diǎn)的增益：×××-1-2σjω-0.423Kg=6Kg=6-60°60°七.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處，特征方程出現(xiàn)虛根。計(jì)算：（1）將s=jω

代入特征方程求解；（2）利用勞斯判據(jù)確定（見(jiàn)教材）。續(xù)前例，將代入特征方程。實(shí)部虛部×××-1-2σjω-0.423Kg=6Kg=6-60°60°利用MATLAB繪制根軌跡圖

Command：a=zpk([],[0,-1,-2],1)

rlocus(a)或a=tf([1],[1320])利用MATLAB根軌跡圖獲取信息Command：a=zpk([],[0,-1,-2],1)rlocus(a)sgrid繪制等阻尼比線仿真結(jié)構(gòu)圖取Kg=0.2,0.385,0.5,1,5（分離點(diǎn)）（ζ=0.84）（ζ=0.51）（ζ=0.035）系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)Kg=0.2Kg=0.385Kg=5Kg=0.5Kg=1八.根軌跡的出射角和入射角出射角：根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的切線方向與正實(shí)軸方向的夾角．入射角：根軌跡到達(dá)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的切線方向與正實(shí)軸方向的夾角．j出射角入射角出射角和入射角的計(jì)算：j出射角入射角則開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布及實(shí)軸上的根軌跡如圖p2p1p3p4z1z2z3j1-1-2-1如何從p2,3

出發(fā)并趨向z2,3？根軌跡從p2出發(fā)的出射角:p2p1p3p4z1z2z31-1-2-1根軌跡到達(dá)z2的入射角:p2p1p3p4z1z2z31-1-2-1j根軌跡圖響應(yīng)性能與Kg的關(guān)系?仿真結(jié)構(gòu)圖取Kg=0.5,1,5,10,20,50系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)Kg=0.5Kg=1Kg=5Kg=20Kg=10Kg=50九.特征方程的根之和=開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和

（n-m≥2）計(jì)算時(shí)只須代入實(shí)部．上式說(shuō)明當(dāng)某些根軌跡向左移動(dòng)時(shí)，必有另一些根軌跡向右移動(dòng)（見(jiàn)前面例）；還可用于求解一個(gè)未知實(shí)數(shù)極點(diǎn)（其他已知時(shí)）。閉環(huán)極點(diǎn)及傳遞函數(shù)的確定：根據(jù)性能要求確定主導(dǎo)極點(diǎn)由主導(dǎo)極點(diǎn)確定根軌跡增益由根軌跡增益和已確定的極點(diǎn)計(jì)算其他閉環(huán)極點(diǎn)要求一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比ζ=0.707續(xù)前例：×××-1-2σjω-0.423Kg=6Kg=6-60°60°1.畫(huà)出ζ線并確定主導(dǎo)極點(diǎn)2．主導(dǎo)極點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增益值用幅值條件求0.731.660.54如何用計(jì)算的辦法確定主導(dǎo)極點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的Kg？分別令實(shí)部和虛部為零，可得虛部≠實(shí)部

時(shí)如何求？3．求另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)若為單位反饋系統(tǒng)（H=1），

則閉環(huán)傳函為4．求閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)-R(s)Y(s)零度根軌跡與根軌跡族的概念G(s)H(s)-R(s)Y(s)K1從0變到+∞時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡稱為零度根軌跡。

零度根軌跡還可用于分析正反饋系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)（有右半s平面零點(diǎn)或極點(diǎn)）。有右半s平面零點(diǎn)或極點(diǎn)的系統(tǒng)：有右半s平面極點(diǎn)的情況同理。G(s)H(s)-R(s)Y(s)G(s)H(s)R(s)Y(s)正反饋系統(tǒng)：根軌跡族：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有多個(gè)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)在s平面上的變化軌跡。例：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，繪制以α為可變參數(shù)

（從0變到

∞）的根軌跡.--4-4.參數(shù)根軌跡相當(dāng)于一種反饋校正（1）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)與特征方程特征方程為（2）以為參變量，特征方程可改寫(xiě)為即繪制的根軌跡（等效開(kāi)環(huán)傳函）--等效開(kāi)環(huán)傳函與原開(kāi)環(huán)傳函所對(duì)應(yīng)的特征方程相同即改寫(xiě)前后的特征方程或特征根等效。（3）開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（4）實(shí)軸上的根軌跡（5）會(huì)合點(diǎn)求，得

（6）出射角若要求閉環(huán)極點(diǎn)s1,2=-1，如何求閉環(huán)傳函？α對(duì)響應(yīng)性能的影響？注意：閉環(huán)極點(diǎn)確定后求閉環(huán)傳函時(shí)要用原開(kāi)環(huán)傳函Gk，不能用等效開(kāi)環(huán)傳函。求閉環(huán)傳遞函數(shù)：--α=1練習(xí)：通過(guò)仿真驗(yàn)證α的作用G(s)H(s)-R(s)Y(s)例：繪制以b為參變量的根軌跡。特征方程為繪制以Kb為參數(shù),Gb

的根軌跡