2020屆高三(理)圓錐曲線：第5講直線與圓錐曲線(解析版)5480

直線與圓錐曲線1．無一個(gè)兩個(gè)(1)①相交②相切③相離1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(2)平行或重合平行或重合直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度來看有三種：相離時(shí)，直線與圓錐曲線______公共點(diǎn)；相切時(shí)，直線與圓錐曲線有______公共點(diǎn)；相交時(shí)，直線與橢圓有______公共點(diǎn)，直線與雙曲線、拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)．一般通過它們的方程來研究：b2－4ac||abc||2．(1)－1＋k2x＝1＋k2－xaa12【基礎(chǔ)自測】設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0與二次曲線C：f(x，y)＝0，x21雙曲線4－y2＝1與直線y＝kx＋1有惟一公共點(diǎn)，則k的值為()Ax＋By＋C＝0，由消元，如果消去y后得：ax＋bx＋c＝0，2f（x，y）＝022C．±22D．±22或±21A．2B．－2(1)當(dāng)a≠0時(shí)，①Δ＞0，則方程有兩個(gè)不同的解，直線與圓錐曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓錐曲線________；②Δ＝0，則方程有兩個(gè)相同的解，直線與圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓錐曲線________；③Δ＜0，則方程無解，直線與圓錐曲線沒有公共點(diǎn)，直線與圓錐曲線________．(2)注意消元后非二次的情況，即當(dāng)a＝0時(shí)，對應(yīng)圓錐曲線只可能是雙曲線或拋物線．當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是________；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是________．解得k＝±22.綜上知D正確，故選D.(3)直線方程涉及斜率k要考慮其不存在的情形．2．直線與圓錐曲線相交的弦長問題xy222已知直線x＝1過橢圓＋＝1的焦點(diǎn)，則直線y＝kx＋2與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是y＝kx＋m，4b2(1)直線l：y＝kx＋m與二次曲線C：f(x，y)＝0交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由f（x，y）＝0()1111B．k∈－∞，－∪，＋∞22得ax＋bx＋c＝0(a≠0)，則x1＋x2＝________，x1x2＝________，＝．2||ABA．k∈－，22(2)若弦過焦點(diǎn)，可得焦點(diǎn)弦，可用焦半徑公式來表示弦長，以簡化運(yùn)算．3．直線與圓錐曲線相交弦的中點(diǎn)問題2C．k∈－22，2D．k∈－∞，－∪2，＋∞222中點(diǎn)弦問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解．xy22解：易知橢圓中c＝a－b＝4－b＝1，即b＝3，∴橢圓方程是＋＝1.聯(lián)立y＝kx＋2可得(3＋4k)x222222243(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系：將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個(gè)一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式求解．11＋16kx＋4＝0.由Δ≤0可解得k∈－，.故選A.22(2)點(diǎn)差法：若直線l與圓錐曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，一般地，首先設(shè)出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入55x23已知兩點(diǎn)M1，，N－4，－，給出下列曲線方程：①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③＋y2442曲線方程，通過作差，構(gòu)造出x＋x，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，從而建立中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系．12x2無論哪種方法都不能忽視對判別式的考慮．＝1；④－y＝1.在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|＝|PN|的所有曲線方程是()22A．①③B．②④C．①②③D．②③④【答案】解：∵點(diǎn)P滿足|MP|＝|PN|，∴點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線l上，l的方程為y＝－2x－3.第1頁共9頁解法一：曲線①是直線，且與直線l平行，故點(diǎn)P不在曲線①上；∵A(x1，y1)與B(2－x，2－y1)都滿足方程4x＋9y－13＝0，∴4x＋9y－13＝0即為所求．1曲線②是圓心(0，0)，半徑為3的圓，圓心到直線l的距離為d＝35＜3，即直線l與圓相交，故存4x21＋9y12＝36，①解法三：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是弦的兩個(gè)端點(diǎn)，代入橢圓方程，得x4＋9＝36，②2y222在點(diǎn)P在曲線②上；將直線l的方程代入曲線③的方程得9x將直線l的方程代入曲線④的方程得7x＋24x＋16＝0，Δ＝0，即存在點(diǎn)P在曲線③上；2＋24x＋20＝0，Δ＞0，即存在點(diǎn)P在曲線④上．2綜上所述：曲線②③④滿足題意．解法二：易知曲線①是直線；曲線②是圓心為(0，0)，半徑為3的圓；曲線③是橢圓；曲線④是雙曲線．作出它們的圖形，用數(shù)形結(jié)合來驗(yàn)證．故選D.4過點(diǎn)(2，4)作直線與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有________條．解：注意到點(diǎn)(2，4)是拋物線上的點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合知滿足題意的直線有兩條，其一是過該點(diǎn)的切線；其二是過該點(diǎn)且與對稱軸平行的直線．故填2.(2)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P(－1，0)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段||AB的中點(diǎn)．若FQ＝2，則直線l的斜率等于________．5已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為__________．ykx＝（＋1），解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝k(x＋1)，聯(lián)立得k＋(2k－4)x＋kx2222x＋xy2＝4，x＝0，x＋x＝－＝－2＋k42，y＋y＝k(x1＋x2)＋2k＝4k，設(shè)Q(x0，y0)，則x＝2k－42＝－1＋k22，21k221212022222【典例】＋yy22222kk||y＝12＝k，即－1＋，，又F(1，0)，∴＝－1＋－1＋＝2，解得k＝±1.故QFQ0kk類型一弦的中點(diǎn)問題填±1.例一(1)已知一直線與橢圓4x＋9y＝36相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1，1)，求直線22【評析】(1)本題的三種解法很經(jīng)典，各有特色，解法一思路直接，但計(jì)算量大，解法三計(jì)算簡捷，所“整齊、美觀，對稱性強(qiáng)”，但消去x，x，y，y時(shí)，要求靈活性高，整體意識(shí)強(qiáng)．(2)本題解答看似正確，但細(xì)想會(huì)發(fā)現(xiàn)：缺少對“直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)”這一幾何條件的檢驗(yàn)(這是易出≠0，AB的方程．列式子1212解法一：設(shè)通過點(diǎn)M(1，1)的直線AB的方程為y＝k(x－1)＋1，代入橢圓方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為x，x，12kx＋x9k（1－k）k29＋449錯(cuò)的地方，切記)，即解得k∈(－1，0)∪(0，1)，而當(dāng)k＝±1時(shí)，直線l恰Δ＝（2k2－4）－4k4>0，則122＝－＝1，解之得k＝－.2好與拋物線相切，似與題意不符．本節(jié)課時(shí)作業(yè)第8題對本題已知條件數(shù)據(jù)作了修改，使?jié)M足題意的直線l是存在的，進(jìn)而可求得直線l的斜率．故直線AB的方程為y＝－94(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0.解法二：設(shè)A(x1，y1)．∵AB中點(diǎn)為M(1，1)，∴B點(diǎn)坐標(biāo)是(2－x，2－y1)．1將A，B點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程4x＋9y＝36，得4x＋9y1－36＝0，①－16x1－36y1＋16＝0.②21變式已知雙曲線2xy＝2.－2222212及4(2－x1)＋9(2－y1)＝36，化簡為4x＋9y(1)求以M(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線的方程；2221①－②，得16x1＋36y1－52＝0，化簡為4x1＋9y1－13＝0.同理可推出4(2－x1)＋9(2－y1)－13＝0.PP(2)過點(diǎn)N(1，1)能否作直線l，使直線l與所給雙曲線交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)N是弦PP的中點(diǎn)？若1212存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．第2頁共9頁解：(1)設(shè)以(1)問設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)，利用圓的半徑、弦的一半和弦心距組成的直角三角形求解，第A，B兩點(diǎn)在雙曲線上，∴2x－y＝2，2x－y＝2，兩式相減得2(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)．問設(shè)直線方程y＝kx＋b和軌跡方程聯(lián)立，再設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意知直線BP和BQ的斜率互為相22221122反數(shù)，導(dǎo)出k和b的關(guān)系，最后應(yīng)用方程特點(diǎn)證明直線過定點(diǎn)．解析幾何解答題的一般命題模式是根據(jù)已知的關(guān)系確定一個(gè)曲線的方程，然后再結(jié)合直線方程與所求曲線方程把問題引向深入，其中的M(2，1)為中點(diǎn)的弦兩端點(diǎn)為A(x，y1)，B(x2，y2)，則x＋x＝4，y＋y＝2.【評析】第(2)11212又∵y－y2（x＋x）x≠，∴k＝＝4.－xy＋y先由雙曲線的對稱性知1x12＝12x12AB212∴所求直線的方程為y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.熱點(diǎn)問題有：參數(shù)范圍、最值、直線或曲線過定點(diǎn)、某些量為定值等．在直線與圓錐曲線交于不同兩點(diǎn)的相關(guān)問題中，一般是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后確定點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系(特別是直線是動(dòng)直線時(shí)這個(gè)方法是必需的)，再進(jìn)行整體處理(通常是利用韋達(dá)定理處理這類問題)．xy22變式若直線l：y＝kx＋m與橢圓C：＋＝1相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為43直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．類型二定點(diǎn)問題例二已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4，0)，且在(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)B(－1，0)，設(shè)不垂直于x軸的直線平分線，證明直線l過定點(diǎn)．(1)如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心O(x，y)，由題意，y軸上截得弦MN的長為8.l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角||||解：OA＝OM，當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O作O1H⊥MN111112（4m式得4k2＋3－12）（k＋1）8km（km－2）4k＋3222||||||OM＝x2＋42.1交MN于點(diǎn)H，則H是MN的中點(diǎn)，MH＝MN＝4，∴－＋4＋m＝0，2||22222又OA＝（x－4）＋y，∴（x－4）＋y＝x2＋42，化簡得y＝8x(x≠0)；7164（m＋2k）（4k2＋372k）m2＋mk＋k2m＋271整理得＝0，即＝0.解得m＝－k或－2k.4k＋32當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O與O重合，點(diǎn)O的坐標(biāo)(0，0)也滿足方程y2＝8x，112222k＝k－，過定點(diǎn)，0；77∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x.當(dāng)m＝－k時(shí)，y＝kx－x77(2)證明：如圖，設(shè)直線得k＋(2kb－8)x＋b＝0，其中8－2kbl的方程為Δ＝(2kb－8)－4k＝64－32kb>0，得kb<2.b222y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y＝kx＋b代入y2＝8x中，當(dāng)＝－m2時(shí)，＝－kykxk2，過定點(diǎn)(2，0)，即過橢圓右頂點(diǎn)，與題意矛盾．2x222所以直線l過定點(diǎn)，0.7b2x＋x＝，①xx＝，k②k221212由根與系數(shù)的關(guān)系知類型三定值問題yy2，∵x軸是∠PBQ的角平分線，∴1＝－x2y6l與橢圓C：＋＝1交于P(x，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，且△OPQ的面積S＝，其中32212x＋1x＋112例三已知直線即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx＋b)(x2＋1)＋(kx＋b)(x1＋1)＝0，2kxx＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③1212O為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：x2＋x和y＋y均為定值．2221212將①②代入③得2kb＋(k＋b)(8－2bk)＋2kb＝0，22化簡得k＝－b，此時(shí)Δ>0，∴直線l的方程為y＝k(x－1)，且過定點(diǎn)(1，0)．第3頁共9頁ay1，(2)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且OM→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，證明：22證明：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝a(|a|＜3)，代入橢圓C的方程得＋＝λ＋μ2為定值．232xy22aa解：(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(c，0)，則直線AB的方程為y＝x－c，代入橢圓方程得(a＋b)x－2acx＋a(c－b)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，222222222ab22即y＝±21－，∴|PQ|＝|y－y2|＝221－.3312，161a|a|·221－＝，解之得a＝＋x＝2a＝3，y＋y＝2.22222221212263∵△OPQ的面積S＝，∴.∴x2232(2)由(1)知，a＝3b2，故橢圓方程可化為x2＋3y2＝3b2.設(shè)M(x，y)，則OM→＝(x，y)，2x＝λx＋μx2，1由已知得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，即6kmx＋x＝－，xx＝3k＋23k＋23（m2－2）y＝λy＋μy2.由韋達(dá)定理得.1122122∵M(jìn)(x，y)在橢圓上，∴(λx＋μx2)＋3(λy1＋μy2)＝3b，22)＋2λμ(xx12＋3yy12)＝3b，①21∴|PQ|＝1＋k|x－x2|＝（1＋k）[（x＋x）－4xx]22211212即λ2(x2＋3y2)＋μ222(x2＋3y211236km12（m2－2）26·3k2＋2－m23k2＋2323c.∴xx＋3yy12＝xx＋3(x1－c)(x2－c)＝4xx12－3c(x1＋x2)＋3c222＝（1＋k2）－＝1＋k2·.由(1)知，x＋x＝c，xx＝＝0.28（3k＋2）3k＋222212121212∵A，B在橢圓上，∴x＋3y＝3b，x＋3y＝3b，代入①式得λ＋μ＝1，故λ＋μ為定值1.22222222221122|m|6l的距離為d＝，△OPQ的面積S＝，21＋k∵原點(diǎn)O到直線2類型四與弦有關(guān)的范圍與最值問題4x(x＞－3)，直線l過點(diǎn)M(1，0)交曲線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是AB的1226·3k2＋2－m2·＝6.|m|＋k例四已知曲線C：y＝－2∴·1＋k·23k2＋2122中點(diǎn)，EP是AB的中垂線，E點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，0)，試求x的取值范圍．0023k＋26km26（m－2）2解：由題意可知，直線l與x軸不垂直，可設(shè)l：y＝k(x－1)，代入曲線C的方程令3k2＋2＝t，化簡得t＝2m，即3k＋2＝2m.x＋x＝(x＋x2)－2xx＝－＝－2222223k＋2212112得3.k2x2＋2(2－k2)x＋k2＝0(－3＜x≤0)，①12km22y＋y＝(kx＋m)2＋(kx＋m)2＝k2(x＋x)＋2km(x1＋x2)＋2m2＝3k2－＋2m＝2.2122212223k＋2122綜上知，x＋x＝3，y＋y＝2，即均為定值．22221212【評析】(1)繁難的代數(shù)運(yùn)算是定值問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡化運(yùn)算；(2)對題目的兩個(gè)幾何特征的代數(shù)形式要有合理的預(yù)判，以便設(shè)計(jì)解題思路優(yōu)化解題過程．由方程①得x＋x＝變式已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于AB→→A，B兩點(diǎn)，OA＋OB與a＝(3，－1)共線．(1)求橢圓的離心率；第4頁共9頁2（k2－2）1，x＝k－2y＝k(x－1)＝－，2k2類型五對稱問題(x＋x)＝，k22k2PABPP例五已知拋物線y＝ax－1(a≠0)上總有關(guān)于直線x＋y＝0對稱的相異兩點(diǎn)，求a的取值范圍．2212－2k∴直線EP的方程為y＋＝－－k.x解：設(shè)A(x1，y1)和B(x2，y2)為拋物線y＝ax－1上的關(guān)于直線x＋y＝0對稱的兩相異點(diǎn)，則y＝ax2－12kk2123令y＝0，得x＝－1－.∵4＜k＜1，∴－113＜x＜－0111，y＝ax2－1.3，即x的取值范圍是－，－3.223k200【評析】對于參數(shù)的取值范圍問題，要能從幾何特征的角度去分析參數(shù)變化的原因，誰是自變量，定義域是什么，這實(shí)際是函數(shù)問題，要學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)分析這類問題．1(a＞b＞0)的離心率為36，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3.y2x2變式已知橢圓C：a＋＝2b2(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為23，求△AOB面積的最大值．1聯(lián)立直線AB與拋物線的方程并消去y，得－＋－1＝0.axx2ac63＝，＝1，所求橢圓方程為x3＋y2＝1.a解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意得c＝2，b＝a－c222213434－1，＋∞依題意，上面的方程有兩個(gè)相異實(shí)根，∴Δ＝1－4aa＞0，解得a＞.∴a的取值范圍是a＝(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，|m|3，|AB|＝3.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，【評析】應(yīng)用判別式法解決此類對稱問題，要抓住三點(diǎn)：(1)中點(diǎn)在對稱軸上；(2)兩個(gè)對稱點(diǎn)的連線與對稱軸垂直；(3)兩點(diǎn)連線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故Δ＞0.一般通過“設(shè)而不求”、“點(diǎn)差法”得到對稱點(diǎn)連線再與曲線方程聯(lián)立，由判別式不等式求出參數(shù)范圍．33(k2設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m.由已知＝，得m＝＋1)．2421＋k2的方程，xy22變式已知橢圓C：＋＝1，試確定m的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y＝4x＋43m對稱．3x2＋4y21＝12，1解：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上符合條件的兩點(diǎn)，M(x，y)是PQ的中點(diǎn)，則有x3＋4＝12，2y222兩式相減，得3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.3－1436km12（2－1）12（1＋k2）（3k＋1－m2）3（1＋k2）（9k＋1）xyy22m22≠22k∵k＝－，∴y＝3..PQ∵x，x＋x＝x，y＋y＝y(tǒng)，∴＝－12＝－x＝(1＋k)－＝＝x24y－x（3k＋1）3k＋1（3k2＋1）（3k2＋1）121212xPQ222221212k12112＝，即k＝±33時(shí)等號(hào)成立．≤3＋＝4(k≠0)．當(dāng)且僅當(dāng)9k22×3＋69k2＋＋12＝3＋＝3＋9k＋6k＋12k246k2當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝3.綜上所述：|AB|max＝2.12×|AB|max×23＝23.∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB的面積取得最大值S＝第5頁共9頁的取值是任意的，若方程中含有雙參數(shù)，應(yīng)考慮兩3．給出曲線上的點(diǎn)到直線的最短(長)距離或求動(dòng)點(diǎn)到直線的最也可借助于圖形的性質(zhì)(如三角形的公理、對稱性等)求解．4．圓錐曲線上的點(diǎn)關(guān)于某一直線對稱的問題，通常利用圓錐曲線上的兩點(diǎn)所在直線與已知直線)垂直，圓錐曲線上兩點(diǎn)連成線段的中點(diǎn)一定在對稱軸直線l上，再利用判別式或中點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系求解．但l的方程對點(diǎn)(－2，1)恒成立，所以直線l過定點(diǎn)(－2，1)．個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系．短(長)距離時(shí)，可歸納為求函數(shù)的最值問題，l(或者是直線系5．要重視對數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，以達(dá)到優(yōu)化解題思路、簡化解題過程的目的．(1)方程思想解析幾何題不少以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就能簡化運(yùn)算(2)函數(shù)思想【名師點(diǎn)睛】f(x，y)＝0中，求中點(diǎn)為(m，n)的弦AB所在直線方程或動(dòng)弦中點(diǎn)M(x，y)軌跡對于圓錐曲線上的一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線段的1．在給定的圓錐曲線A(x，y1)，B(x2，y2)，利用A，B兩點(diǎn)在曲線上，得f(x，y1)＝0，f(x2，y2)＝0及x＋x長度及a，b，c，e，p之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，1函數(shù)思想在處理這類問題時(shí)就很有效．時(shí)，一般可設(shè)112(3)對稱思想y－y，最后由點(diǎn)斜式寫出直線AB的方程，或者x1＝2m(或2x)，y＋y＝2n(或2y)，從而求出斜率k＝12－x12AB由于圓錐曲線和圓都具有對稱性，所以可使分散的條件相對集中，減少一些變量和未知量，簡化計(jì)算，2得到動(dòng)弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系，整體消去x，x，y，y，得到點(diǎn)M(x，y)的軌跡1212提高解題速度，促成問題的解決．(4)參數(shù)思想方程．2．對滿足一定條件的直線或者曲線過定點(diǎn)問題，可先設(shè)出該直線或曲線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在參數(shù)思想是辯證思維在數(shù)學(xué)中的反映，一旦引入?yún)?shù)，用參數(shù)來劃分運(yùn)動(dòng)形式設(shè)為(x，y)，即可將參數(shù)視為常量，以相對靜止來控制變化，實(shí)現(xiàn)變與不變的于有些參數(shù)，視具體情況可在解題過程中將其消去，達(dá)到“設(shè)而不求”的效果．變化狀態(tài)，把圓、橢圓、雙直線或曲線上以及切線、點(diǎn)共線或共圓、對稱等條件，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程或方程組．為簡化運(yùn)曲線上的點(diǎn)用參數(shù)00算應(yīng)多考慮曲線的幾何性質(zhì)，求出相應(yīng)的含參數(shù)的直線或曲線，再利用直線或曲線過定點(diǎn)的知識(shí)加以轉(zhuǎn)化；另外，對解決.(5)轉(zhuǎn)化思想以“求直線l：y＝kx＋2k＋1(k為參數(shù))是否過定點(diǎn)？”為例，有以下常用方法：解決圓錐曲線問題時(shí)要充分注意直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的除上述常用思想方法外，數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體思想、構(gòu)造思想也是不可忽視的思想方法，復(fù)習(xí)時(shí)也應(yīng)給予足夠的重視．聯(lián)系及轉(zhuǎn)化，達(dá)到優(yōu)化解題的目的．①待定系數(shù)法：假設(shè)直線l過點(diǎn)(c，c)，則y－c2＝k(x－c1)，即y＝kx－c1k＋c2，通過與已知直線方程12比較得c＝－2，c＝1.所以直線l過定點(diǎn)(－2，1)．12個(gè)由參數(shù)組成的表達(dá)式．令k＝0，得l：y＝1；令k＝1，得l：y＝x＋3，求出題中“k”個(gè)參數(shù)，還可以是一②賦值法：標(biāo)代入直線系得1＝－【針對訓(xùn)練】l與l的交點(diǎn)(－2，1)，將交點(diǎn)坐．若雙曲線－y＝1的右支上一點(diǎn)P(a，b)到直線y＝x的距離為2，則a＋b＝()x22121212k＋2k＋1恒成立，所以直線l過定點(diǎn)(－2，1)．A．－B．C．±D．±1；第二步：驗(yàn)證其是否恒滿足直111222賦值法由兩步構(gòu)成，第一步：通過給參數(shù)賦值，求出可能的定點(diǎn)坐標(biāo)|a－b|距離公式得＝2，即|a－b|＝2.線方程．解：由點(diǎn)到直線的2③參數(shù)集項(xiàng)法：對直線l的方程中的參數(shù)集項(xiàng)得y＝k(x＋2)＋1，令k的系數(shù)為0，得x＝－2，y＝1，k第6頁共9頁5mnmn22227555又點(diǎn)P(a，b)在雙曲線的右支上，∴P點(diǎn)在直線y＝x的下方，a－b＞0.∴a－b＝2.解：由已知得＞5，即m2＋n2＜5.又＋≤＋＜1，所以點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，因此過點(diǎn)P的m＋n221又a－b＝1，即(a－b)(a＋b)＝1，∴a＋b＝.故選B.222一條直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．故選C.2．設(shè)斜率為2的直線過拋物線y＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OFA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的222xy6．橢圓C：＋＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A，A，點(diǎn)P在C上且直線PA斜率的取值范圍是[－2，43122面積為4，則拋物線的方程為()－1]，那么直線PA斜率的取值范圍是()A．y2＝±4xB．y2＝±8xaC．y2＝4xD．y2＝8x1133313D.，14A.，B.，，1C.解：焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，0，設(shè)直線的方程為24842432a1aa··－＝＝4，解得2a2a216解：由題意知點(diǎn)P在第一象限，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)y＝·4－x2，由PA2的斜率知y＝2x－，則A點(diǎn)縱坐標(biāo)為－，△OFA的面積為S＝a＝±8.故選B.4249kx＋y＝18k2x(k∈R，且k≠0)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．423·4－x222||3．直線y＝2k與曲線2≤－1，∵2－x>0，2＋x>0，∴上式可化為1≤23·2＋x≤2，即23≤2－x2＋x4≤.∴PA12－x3-2≤x－22||||9x18x43·4－x的斜率2222||222||22解：將y＝2k代入9kx＋y＝18k，得－＋＝，∵k∈R，且，∴－＋x9kx18kx4k0k≠0k＝＝23·∈，.故選22－x33842＋xB.x＋2555||2||x1±＝0，即9(－－＝，解得＝，＝或－，因此公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為故選4.D.x1)50x1±1±333xyl被橢圓＋＝1截得線段的中點(diǎn)，則直線l的方程為________．369227．已知P(4，2)是直線4．已知橢圓mx2＋ny2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點(diǎn)，過AB中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜解：線段兩端點(diǎn)為A(x，y1)，B(x2，y2)，則x＋x＝8，y＋y＝4.22m率為，則＝()11212nxy212＋1＝1，369232∵A，B在橢圓上，∴A．B．C．1D．222xy22＋＝1，369228．設(shè)F為拋物線C：y＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P(－，的直線10)l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段2xy22||5．若直線mx＋ny－5＝0與圓x2＋y2＝5沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的一條直線與橢圓＋＝1的AB的中點(diǎn)．若FQ＝23，則直線l的斜率等于________．75y＝k（x＋1），y＝k(x＋1)，聯(lián)立得kx＋(2k－4)x＋k2222公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()解：設(shè)A(x，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為1y＝4x，2A．0B．1C．2D．1或2第7頁共9頁≠0，→MQ＝(4－t，4k＋m)．∴MP→·MQ→＝－－t(4－t)＋mk＋3＝－t(4－t)＋3＝4（4－）tk12（4－4）tkk2－442＋，y1＋y2＝k(x1k2＝0，由解得k∈(－1，0)∪(0，1)，x1＋x2＝－＝－mmk2k2Δ＝（2k－4）－24>0，2k44k（t－1）4＋2＋xxyy2＋x2)＋2k＝，設(shè)Q(x0，y0)，則x0＝＝－1＋，y＝212＝，即Q－1＋，，又F(1，0)，mkk22kk022＋t－t－＝，當(dāng)t＝，等式恒成立．∴坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M(1，，0)使得以PQ(1)(3)01122k為直徑的圓恒過點(diǎn)M.2||－1＋k－1＋＝，解得222k222∴FQ＝23k＝故填±.±.→→3上，M點(diǎn)滿足MB∥OA，MA·AB2211．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，－1)，B點(diǎn)在直線y＝－9．如圖，M是拋物線y＝x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME，MF分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，且MA＝MB.若M為2定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值．＝MB→·BA→，M點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；證明：設(shè)M(y0，y0)，直線ME的斜率為k(k＞0)，則直線MF的斜率為－k，2(2)P為C上的動(dòng)點(diǎn)，直線l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到直線l的距離的最小值．解：(1)設(shè)M(x，y)，∵M(jìn)B∥OA，∴B(x，－3)．∴直線ME的方程為y－y0＝k(x－y)．20－＝（－yykxy2），1－ky消去x，得－y＋y0(1－ky0)＝0.解得y＝，ky02kE聯(lián)立1)，∴MA→＝(－x，－1－y)，MB→＝(0，－1＋(－4－2y)·(－2)＝0，即y＝－2.x243－y)，AB→＝(x，－2)．00又∵A(0，－y2＝