培優(yōu)專題13-等腰三角形(含答案)(同名2977)

-PAGE4-9、等腰三角形【知識精讀】（－）等腰三角形的性質(zhì)1.有關(guān)定理及其推論定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形；2.定理及其推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定1.有關(guān)的定理及其推論定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”。）推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。2.定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點。3.等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時需要作頂角的平分線，有時則需要作高或中線，這要視具體情況來定。【分類解析】例1.如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M。求證：M是BE的中點。分析：欲證M是BE的中點，已知DM⊥BC，所以想到連結(jié)BD，證BD＝ED。因為△ABC是等邊三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可證∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，從而問題得證。證明：因為三角形ABC是等邊三角形，D是AC的中點所以∠1＝∠ABC又因為CE＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足為M所以M是BE的中點（等腰三角形三線合一定理）例2.如圖，已知：中，，D是BC上一點，且，求的度數(shù)。證明：因為，所以又因為所以又D是BC的中點，所以所以所以，所以說明：證法二：連結(jié)AD，通過證明即可5、題形展示：例1.如圖，中，，BD平分。求證：。分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計算可以得出。證明一：在BC上截取，連結(jié)DE、DF在和中，又而即分析二：如圖，可以考慮延長BD到E，使DE＝AD，這樣BD＋AD=BD+DE=BE，只需證明BE＝BC，由于，只需證明易證，，故作的角平分線，則有，進而證明，從而可證出。證明二：延長BD到E，使DE＝AD，連結(jié)CE，作DF平分交BC于F。由證明一知：則有DF平分，在和中，而在和中，在中，說明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學習中要善于從不同角度去思考、去體會，進一步提高自身的解題能力?！緦崙?zhàn)模擬】1.選擇題：等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，則腰長為（）A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不對2.如圖，是等邊三角形，，則的度數(shù)是________。3.求證：等腰三角形兩腰中線的交點在底邊的垂直平分線上.4.中，，AB的中垂線交AB于D，交CA延長線于E，求證：。

【試題答案】1.B2.分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。解：因為是等邊三角形所以因為，所以所以在中，因為所以，所以所以3.分析：首先將文字語言翻譯成數(shù)學的符號語言和圖形語言。已知：如圖，在中，，D、E分別為AC、AB邊中點，BD、CE交于O點。求證：點O在BC的垂直平分線上。分析：欲證本題結(jié)論，實際上就是證明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個三角形全等。證明：因為在中，所以（等邊對等角）又因為D、E分別為AC、AB的中點，所以（中線定義）在和中，所以所以（全等三角形對應(yīng)角相等）。所以（等角對等邊）。即點O在BC的垂直平分線上。說明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號語言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OB＝OC”是關(guān)鍵的一點。（2）實際上，本題也可改成開放題：“△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AC、AB上的中點，BD、CE交于O。連結(jié)AO后，試判斷AO與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其解決方法是和此題解法差不多的。4.分析：此題沒有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取BC的中點。證明：過點A作BC邊的垂線AF，垂足為F。31在中，31所以所以（等腰三角形三線合一性質(zhì)）。所以（鄰補角定義）。所以又因為ED垂直平分AB，所以