正余弦定理練習(xí)題含答案

正余弦定理練習(xí)題含答案1.在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，a=2，求b的長(zhǎng)度。答案：D.262.在三角形ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，求b的長(zhǎng)度。答案：B.433.在三角形ABC中，已知∠A=60°，a=43，b=42，求∠B的度數(shù)。答案：A.45°或135°4.在三角形ABC中，已知a:b:c=1:5:6，求sinA:sinB:sinC的比值。答案：A.1:5:65.在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，若∠A=105°，∠B=45°，b=2，求c的長(zhǎng)度。答案：C.26.在三角形ABC中，若cosA/cosB=1，求三角形ABC的形狀。答案：D.等腰三角形或直角三角形7.已知三角形ABC中，AB=3，AC=1，∠B=30°，求三角形ABC的面積。答案：3/2或3/2√38.在三角形ABC中，已知c=2，b=6，∠B=120°，求a的長(zhǎng)度。答案：B.29.在三角形ABC中，已知a=1，c=3，∠C=π/3，求∠A的度數(shù)。答案：43°10.在三角形ABC中，已知a=√3，b=4，∠A=30°，求sinB的值。答案：1/211.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=120°，b=12，求a+c的值。答案：不確定，可能需要更多信息才能確定。12.在三角形ABC中，已知a=2bcosC，求三角形ABC的形狀。答案：等腰三角形13.在三角形ABC中，∠A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，求sinA-2sinB+sinC的值。答案：不確定，可能需要更多信息才能確定。14.在三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，a=1，求sinA-2sinB+sinC的值。答案：不確定，可能需要更多信息才能確定。15.在三角形ABC中，已知a=32，cosC=1/3，S△ABC=43，求b的長(zhǎng)度。答案：不確定，可能需要更多信息才能確定。16.在三角形△ABC中，已知b=43，C=30°，c=2，求此三角形的組數(shù)解。17.貨輪以40km/h的速度沿著方位角為140°的方向航行，到達(dá)B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°，半小時(shí)后到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角為65°，求貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)與燈塔A的距離。18.在三角形△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，已知a=23，sin(A)cos(B)=1/4，sin(B)sin(C)=cos(A)，求角A、B及b、c。19.在三角形△ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且cos(2A)=3/10，sin(B)=5/10。求：(1)角A+B的值；(2)若a-b=2-1，求a、b、c的值。20.在三角形△ABC中，ab=603，sin(B)=sin(C)，且△ABC的面積為153，求邊b的長(zhǎng)度。高一數(shù)學(xué)余弦定理綜合練習(xí)題1.在三角形△ABC中，如果BC=6，AB=4，cos(B)=1/2，那么AC等于多少？2.在三角形△ABC中，a=2，b=3-√3，C=30°，求邊c的長(zhǎng)度。3.在三角形△ABC中，已知a=b+c+3bc，求∠A的度數(shù)。4.在三角形△ABC中，已知(a+c-b)tan(B)=3ac，求∠B的度數(shù)。5.在三角形△ABC中，已知a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，求acos(B)+bcos(A)的值。6.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新的三角形的形狀為什么？7.在銳角三角形ABC中，|AB|=4，|AC|=1，且△ABC的面積為3，求AB·AC的值。8.在三角形△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，求邊a的長(zhǎng)度。解析：選B.應(yīng)用正弦定理得：＝，解得sinB＝，所以角B＝135°.bc4．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，C＝120°，則c等于()B．5C．6D．7解析：選A.應(yīng)用余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得c＝5.5．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，c＝5，則cosA等于()A．3/5B．4/5C．1/5D．2/5解析：選B.應(yīng)用余弦定理得：cosA＝，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得cosA＝4/5.b2＋c2－a22bc6．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，c＝5，則sinA等于()B．4/5C．3/5D．1/5解析：選C.應(yīng)用正弦定理得：sinA＝，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得sinA＝3/5.c7．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，∠C＝90°，則cosB等于()B．3/5C．4/5D．1/5解析：選B.應(yīng)用余弦定理得：cosB＝，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得cosB＝4/5.a8．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，∠C＝90°，則sinB等于()A．3/5B．4/5C．1/5D．2/5解析：選A.應(yīng)用正弦定理得：sinB＝，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得sinB＝3/5.c9．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為()D．2解析：選D.根據(jù)中線定理，中線AD＝，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得AD＝2.21010．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度數(shù)()B．120°C．150°D．180°解析：選C.設(shè)最大角為C，則sinC＝10sinA＝10(2sinB/3)＝20sinB/3.又因?yàn)閟inA＋sinB＋sinC＝2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得sinC＝1/2，所以角C＝150°.11．已知a、b、c是△ABC的三邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝53，則邊c的值為()C．12D．13解析：選D.應(yīng)用海倫公式得s＝(a＋b＋c)/2＝9，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得c＝13.12．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則cosA∶cosB∶cosC＝()B．3∶2∶1解析：選B.應(yīng)用正弦定理和余弦定理，得cosA∶cosB∶cosC＝3∶2∶1.13．在△ABC中，a＝32，cosC＝，S△ABC＝43，則b＝()A．21B．27C．29D．31解析：選B.應(yīng)用余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得b＝27.14．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝7，BC＝5，AC＝6，則AB·BC的值為()B．19C．26D．35解析：選A.應(yīng)用余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosC，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得AB·BC＝19.15．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，且面積S＝，則角C＝()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：選C.應(yīng)用正弦定理和海倫公式，得sinC＝，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得角C＝120°.2ab16．(2011年廣州調(diào)研)三角形的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角為鈍角，則最小角的余弦值為()C．1/2解析：選C.設(shè)最小角為A，則有A＋(A＋1)＋(A＋2)＝180°，解得A＝29°.應(yīng)用余弦定理得cosA＝1/2.17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x－23x＋2＝的兩根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的長(zhǎng)()A．1B．2C．3D．4解析：選B.由題意得a＋b＝23，ab＝2.應(yīng)用余弦定理和解方程，得AB＝2.18．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a＝b，cosC＝，則角A的度數(shù)為()D．30°解析：選D.由a＝b和余弦定理得c2＝2a2(1－cosC)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得c＝a√2.應(yīng)用余弦定理得cosA＝(2a2－c2)/2ab＝(2a2－2a2)/4a2＝1/2，所以角A＝30°.19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA，則AB的值為()C．4D．6解析：選C.應(yīng)用正弦定理和代數(shù)方法，得AB＝4.20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，確定△ABC的形狀()B．等腰三角形解析：選B.將(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab化簡(jiǎn)得c2＝ab，代入2cosAsinB＝sinC得cosAsinB＝1/2，說(shuō)明角A和角B是一個(gè)45°，一個(gè)90°，所以△ABC是等腰三角形。4．在三角形ABC中，已知a∶b∶c＝1∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC＝1∶5∶6。根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinB/b=sinC/c，代入a∶b∶c＝1∶5∶6，得到sinA∶sinB∶sinC＝1∶5∶6。5．在三角形ABC中，已知角A＝105°，角B＝45°，邊b＝2，則根據(jù)正弦定理，b/sinB=c/sinC，代入角B和邊b的值，得到c=2×sin30°/sin45°=1。6．在三角形ABC中，若cosBsinA=cosAsinB，則根據(jù)正弦定理和余弦定理，sin2A=sin2B，即2A=2B或2A+2B=π。因此，A=B或A+B=π/2。所以三角形ABC可能是等腰三角形或直角三角形。7．已知三角形ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，則根據(jù)正弦定理，sinC=3/(2×3)=1/2。由于AB＞AC，∠C有兩個(gè)可能的值，即∠C＝60°或120°。因此，∠A＝90°或30°。根據(jù)海倫公式S△ABC=AB×AC×sinA/2，可以求得三角形ABC的面積為3/4或3/2。8．在三角形ABC中，已知c＝2，b＝6，B＝120°，則根據(jù)正弦定理，sinC/sinB=c/b=1/3。由于∠B＝120°是銳角，所以∠C＝30°，∴∠A＝30°，且三角形ABC是等腰三角形，所以a＝c＝2。9．在三角形ABC中，已知a＝1，c＝3，C＝π/3，則根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinC/c，代入已知的值，得到sinA=1/2。因?yàn)閍＜c，所以A＜C＝π/3，因此A=π/6。10．在三角形ABC中，已知a＝√3，b＝4，A＝30°，則根據(jù)正弦定理，sinB/b=sinA/a，代入已知的值，得到sinB=√3/2。此三角形無(wú)解。11.已知三角形ABC中，∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，則根據(jù)正弦定理可得a＝c＝12×sin30°/sin120°＝4.3，因?yàn)椤螦＝∠C，所以a＋c＝8.6＝83/2。12.已知a＝2bcosC，根據(jù)正弦定理可得a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入a＝2bcosC可得sinA＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，整理可得sin(B－C)＝0，因?yàn)椤螧＋∠C＝120°，所以B＝C，即三角形ABC為等腰三角形。13.已知三角形ABC中，∠A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，根據(jù)正弦定理可得c＝6，代入a＋b＋c＝126可得a＋b＋c＝126，因?yàn)閟inA＝a/2R，sinB＝b/2R，sinC＝c/2R，所以sinA＋sinB＋sinC＝a+b+c/2R，代入可得a+b+c＝126sinA＋sinB＋sinC。14.已知三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，根據(jù)正弦定理可得sinA＝1/2，sinB＝√3/2，sinC＝√2/2，代入可得sinA－2sinB＋sinC＝1/2－2√3/2＋√2/2＝－√3/2，因此sinA－2sinB＋sinC＝－√3/2。15.已知三角形ABC中，a＝32，cosC＝3/2，S△ABC＝43，根據(jù)正弦定理可得sinC＝√1－cos2C＝√7/2，代入可得b＝2S△ABC/sinC＝46/√7。16.已知三角形ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，根據(jù)正弦定理可得sinA＝b/2R＝43/2R，代入a2＝b2＋c2－2bccosA可得a2＝432＋22－2×43×2×cos30°＝1874，因?yàn)閍2＞b2＋c2，所以此三角形無(wú)解。在海上，貨輪以40km/h的速度沿著方位角為140°的方向航行。為了確定船位，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°。半小時(shí)后船到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角是65°。求貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是多少？解：在△ABC中，BC=40×0.5=20，∠ABC=140°-110°=30°，∠ACB=(180°-140°)+65°=105°，所以∠A=180°-(30°+105°)=45°。由正弦定理得AC=BC·sin∠ABC/sinA=20sin30°/sin45°=102(km)。即貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是102km。在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若a=23，sin(A)cos(B)=1/4，sin(B)sin(C)=cos(A)。求∠A、∠B及b、c。解：由sin(A)cos(B)=1/4，得sin(C)=4/23。又C∈(0，π)，所以C=arcsin(4/23)或C=π-arcsin(4/23)。由sin(B)sin(C)=cos(A)，得cos(B-C)=1，所以B=C或B=π-C（舍去）。由A=π-(B+C)得∠A=π/3。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，得b=c=a·sinB/sinA=2。所以∠B=∠C=π/6，b=c=2。在△ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且cos2A=3/10，sinB=5/10。求A+B的值；若a-b=2-1，求a、b、c的值。解：由cos2A=3/10，得sinA=√(1-cos^2(2A)/2)=√(21/50)，cosA=√(29/50)。由sinB=5/10，得cosB=1-sin^2B=3/10。由cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，得cos(A+B)=25/50=1/2。由A、B為銳角，得A+B=π/3。由a-b=2-1，得a=b+1，代入正弦定理得b=sinB(a/sinA)=10/√21，c=sinC(a/sinA)=8/√21，a=3/√21。由正弦定理可得：sinA/sinB=b/asinA/sinC=c/a設(shè)sinB=x，則sinC=x則有b=ax,c=ax又已知a=2b,c=5b則有b=1,a=2,c=5因此，邊b的長(zhǎng)為2。題目20：在△ABC中，ab=603，sinB=sinC，△ABC的面積為153，求邊b的長(zhǎng)。解：由S=absinC得，153=(ab/2)sinC即sinC=306/603=1/2因此，∠C=30°或150°又因?yàn)閟inB=sinC，所以∠B=∠C當(dāng)∠C=30°時(shí)，∠B=30°，∠A=120°又因?yàn)閍b=603，sinAsinB=(ab/2)sinC代入已知數(shù)據(jù)，可得b=215當(dāng)∠C=150°時(shí)，∠B=150°（舍去）因此，邊b的長(zhǎng)為215。題目1：在△ABC中，如果BC=6，AB=4，cosB=1/3，那么AC等于？解：由余弦定理，可得AC=√(AB^2+BC^2-2AB·BCcosB)=6。題目2：在△ABC中，a=2，b=3-1，C=30°，則c等于？解：由余弦定理，可得c^2=a^2+b^2-2abcosC=2因此，c=√2。題目3：在△ABC中，a^2=b^2+c^2+3bc，則∠A等于？解：由余弦定理，可得cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=-3/2因此，0°＜∠A＜180°，∠A=150°。題目4：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若(a^2+c^2-b^2)tanB=3ac，則∠B的值為？由余弦定理和正切公式可得cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，tanB=3/2cosB/sinB因此，sinB=2/3，∠B=5π/6或2π/3。題目5：在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，則acosB+bcosA等于？由余弦定理和正弦定理可得acosB+bcosA=c。題目6：如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新的三角形的形狀為等腰直角三角形。A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.由增加的長(zhǎng)度決定解析：選A。設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c且滿足a2+b2=c2。設(shè)增加的長(zhǎng)度為m，則有c+m>a+m和c+m>b+m。又有(a+m)2+(b+m)2=a2+b2+2(a+b)m+2m2>c2+2cm+m2=(c+m)2。因此，三角形的三個(gè)角都是銳角，即新的三角形是銳角三角形。7.已知銳角三角形ABC中，AB=4，AC=1，△ABC的面積為3，則AB·AC的值為()A.2B.-2C.4D.-4解析：選C。在銳角三角形ABC中，由正弦定理可得AB·AC/2=3，又因?yàn)閟inA=3/2，cosA=1/2，所以AB·AC=4。8.在△ABC中，b=3，c=3，B=30°，則a為()A.2B.23C.23或2D.2222解析：選C。根據(jù)余弦定理得b=a+c-2accosB，即3=a+9-3a*cos30°，解得a=2或2/3。9.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足2B=A+C，且AB=1，BC=4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為()解析：根據(jù)中線定理可得AD2=2AB2+2AC2-BC2/4，代入AB=1，BC=4，2B=A+C，AC2=BC2+AB2-2AB·BCcosB可得AD=3/2。10.△ABC中，sinA:sinB:sinC=(3-1):(3+1):10，求最大角的度數(shù)。解析：根據(jù)比例關(guān)系可設(shè)a=2k，b=4k，c=10k，則有sinA:sinB:sinC=2k:4k:10k=(3-1):(3+1):10，解得k=1/5。由余弦定理可得cosC=(a2+b2-c2)/2ab=-3/4<0，因此角C是鈍角，最大角度數(shù)為180°。11.已知a、b、c是△ABC的三邊，S是△ABC的面積，若a=4，b=5，S=5√3，則邊c的值為()解析：由海倫公式可得S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。代入a=4，b=5，S=5√3可得c=6?！郺＋b＝23，ab＝－2，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝529，∵在△ABC中，a2＋b2－2abcosC＝c2，∴c＝√(a2＋b2－2abcosC)＝√(529－4)＝√525＝5√21，又由余弦定理，AB2＝a2＋b2－2abcosC，∴AB＝√(a2＋b2－2abcosC)＝√(529－4cos2(A＋B))＝√(529－4(2cos2(A)cos2(B)－1))＝√(529－8(cos2A+cos2B)+4)＝√(533－8cosAcosB)．由cos(A＋B)＝cosC＝－1/2，可得cosAcosB－sinAsinB＝－1/4，∴cosAcosB＝－1/4＋sinAsinB＝－1/4＋(cos(A＋B)－cosC)/2＝－1/4＋(－1/2＋cosC)/2＝－1/4＋(－1/2－1/2cosC)/2＝－1/4＋(－1/2－1/2(AB2－a2－b2)/2ab)/2＝－1/4＋(－1/4－AB2/4ab＋a2/4ab＋b2/4ab)/2＝－1/4－AB2/8ab＋5/16，∴8cosAcosB＝－2＋5AB2/4ab，∴AB2＝(8cosAcosB＋2)4ab/5，∴AB＝√[(8cosAcosB＋2)4ab/5]＝2√(2cosAcos