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哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ鞧odelsIncompletenessTheorems序希爾伯特的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題TheHilbertChallenge目標(biāo):不完備性定理的內(nèi)容與歷史緣由何謂公理就最初淺的意義而言,公理是指一些“我們先決接受為真”的東西,用以作為我們討論一科學(xué)的起點(diǎn)Eⅹ1對(duì)於物理學(xué)而言,“能量守恆”是一條公理Eⅹ2對(duì)於歐氏幾何而言’“平行線永不相交公理應(yīng)該要是互相獨(dú)立的由於公理可以說(shuō)是一糸列存而不證的假設(shè),所以我們希望公理是越少越好而若是有一條公理’它能夠由其他的公理所推出來(lái)’那這條公理就是多餘的因此,公理之間應(yīng)該是互相獨(dú)立的,也就是說(shuō)你不能由其中若干條推出另一條出來(lái)公理糸統(tǒng)應(yīng)該要是完備的作為一門科學(xué)的基礎(chǔ)’一套公理應(yīng)該要容許我們能夠?qū)@門科學(xué)下的每條命題加以判別為真或?yàn)榧僖虼恕粋€(gè)公理糸統(tǒng)應(yīng)該是完備的’應(yīng)該能夠?qū)ο到y(tǒng)下的每條命題加以證明或否證·也就是說(shuō),不應(yīng)該容許不可判定命題的出現(xiàn),例如本命題不可被證明”請(qǐng)注意以下兩者的差別:“本命題是假的”是既不真也不假,“沒(méi)有真假值”的句子本命題不可被證明”是不能被證明為真也不能被證明為假它可能還是有真假值希爾伯特想知道說(shuō)’我們的數(shù)學(xué)體系究竟是不是完備的?是否在數(shù)學(xué)中,存在有不可判定命題?他認(rèn)為數(shù)學(xué)體系是完備的,並嘗試去證明他的想法是,幾何可以用座標(biāo)體系一一對(duì)應(yīng)到數(shù)域上’而整個(gè)數(shù)域又以算術(shù)∶整數(shù)和加減乘除為基礎(chǔ),因此’只要證明算術(shù)系統(tǒng)是完備的’就能證明整個(gè)數(shù)學(xué)體系是完備的第二問(wèn)題算術(shù)公理的完備性證明皮亞諾算術(shù)公理糸統(tǒng)是完備的’進(jìn)而證明整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)是完備的就算是完備的又如何?如果是完備的’希爾伯特想要用它來(lái)證明像是第一問(wèn)題之類的東西

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