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...wd......wd......wd...軸對稱中幾何動點最值問題總結軸對稱的作用是“搬點移線〞,可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形〞中,為應用某些基本定理提供方便。比方我們可以利用軸對稱性質求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對稱的性質解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個:〔1〕兩點之間線段最短;〔2〕三角形兩邊之和大于第三邊;〔3〕垂線段最短。初中階段利用軸對稱性質求最值的題目可以歸結為:兩點一線,兩點兩線,一點兩線三類線段和的最值問題。下面對三類線段和的最值問題進展分析、討論。兩點一線的最值問題:〔兩個定點+一個動點〕問題特征:兩個定點位于一條直線的同一側,在直線上求一動點的位置,使動點與定點線段和最短。核心思路:這類最值問題所求的線段和中只有一個動點,解決這類題目的方法是找出任一定點關于直線的對稱點,連結這個對稱點與另一定點,交直線于一點,交點即為動點滿足最值的位置。方法:1.定點過動點所在直線做對稱。2.連結對稱點與另一個定點,則直線段長度就是我們所求。變異類型:實際考題中,經常利用本身就具有對稱性質的圖形,比方等腰三角形,等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形,即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上。1.如圖,直線和的同側兩點A、B,在直線上求作一點P,使PA+PB最小。一點兩線的最值問題:〔兩個動點+一個定點〕問題特征:一個定點位于平面內兩相交直線之間,分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最短。核心思路:這類問題實際上是兩點兩線段最值問題的變式,通過做這一定點關于兩條線的對稱點,實現(xiàn)“搬點移線〞,把線段“移〞到同一直線上來解決。變異類型:1.如圖,點P是∠MON內的一點,分別在OM,ON上作點A,B。使△PAB的周長最小。2.如圖,點A是∠MON外的一點,在射線OM上作點P,使PA與點P到射線ON的距離之和最小。兩點兩線的最值問題:〔兩個動點+兩個定點〕問題特征:兩動點,其中一個隨另一個動〔一個主動,一個從動〕,并且兩動點間的距離保持不變。核心思路:用平移方法,可把兩動點變成一個動點,轉化為“兩個定點和一個動點〞類型來解。變異類型:1.如圖,點P,Q為∠MON內的兩點,分別在OM,ON上作點A,B。使四邊形PAQB的周長最小。如圖,A〔1,3〕,B〔5,1〕,長度為2的線段PQ在x軸上平行移動,當AP+PQ+QB的值最小時,點P的坐標為()
兩點兩線的最值問題:〔兩個動點+兩個定點〕問題特征:兩動點分別在兩條直線上獨立運動,一動點分別到一定點和另一動點的距離和最小。核心思路:利用軸對稱變換,使一動點在另一動點的對稱點與定點的線段上〔兩點之間線段最短〕,且這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線〔連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短〕時,兩線段和最小,最小值等于這條垂線段的長。變異類型:演變?yōu)槎噙呅沃荛L、折線段等最值問題。1.如圖,點A是∠MON內的一點,在射線ON上作點P,使PA與點P到射線OM的距離之和最小。二、常見題目Part1、三角形1.如圖,在等邊△ABC中,AB=6,AD⊥BC,E是AC上的一點,M是AD上的一點,且AE=2,求EM+EC的最小值。2.如圖,在銳角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的動點,則BM+MN的最小值是____。3.如圖,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,假設在AC、AB上各取一點M、N,使BM+MN的值最小,則這個最小值。Part2、正方形1.如圖,正方形ABCD的邊長為8,M在DC上,丐DM=2,N是AC上的一動點,DN+MN的最小值為_________。即在直線AC上求一點N,使DN+MN最小。2.如下列圖,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內,在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為〔〕A.B.C.3D.3.在邊長為2㎝的正方形ABCD中,點Q為BC邊的中點,點P為對角線AC上一動點,連接PB、PQ,則△PBQ周長的最小值為____________㎝〔結果不取近似值〕。4.如圖,四邊形ABCD是正方形,AB=10cm,E為邊BC的中點,P為BD上的一個動點,求PC+PE的最小值;Part3、矩形1.如圖,假設四邊形ABCD是矩形,AB=10cm,BC=20cm,E為邊BC上的一個動點,P為BD上的一個動點,求PC+PD的最小值;Part4、菱形1.如圖,假設四邊形ABCD是菱形,AB=10cm,∠ABC=45°,E為邊BC上的一個動點,P為BD上的一個動點,求PC+PE的最小值;Part5、直角梯形1.直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,點P在BC上
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