高等數(shù)學(xué)講義第八章

nn=0第八章無窮級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、基本概念與性質(zhì)1.基本概念無窮多個數(shù)u,u,%,???,u，…依次相加所得至【」的表達(dá)式123n藝u二u+u+u+???+u+…稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)（簡稱級數(shù)）。n123nn=1=工u=u+u+u+——+u（n=1,2,3,…）稱為級數(shù)的前n項(xiàng)的部分和，TOC\o"1-5"\h\znk123n｝（n=1,2,3,…）稱為部分和數(shù)列。n若limS（存在）=S,則稱級數(shù)藝u是收斂的,且其和為S,記以無u=SnnnnT8..n=1n=1若limS不存在，則稱級數(shù)另u是發(fā)散的，發(fā)散級數(shù)沒有和的概念。（注：在某些nnnTg.n=1特殊含義下可以考慮發(fā)散級數(shù)的和，但在基礎(chǔ)課和考研的考試大綱中不作這種要求。）2．基本性質(zhì)（1）如果藝u和藝v皆收斂，a,b為常數(shù),則藝（au+bv）收斂，且等于a藝u+b藝vnnnnnnn=1n=1n=1n=1n=1（2）在級數(shù)中增加或減少或變更有限項(xiàng)則級數(shù)的收斂性不變。（3）收斂級數(shù)具有結(jié)合律，也即對級數(shù)的項(xiàng)任意加括號所得至的新級數(shù)仍收斂，而且其和不變。發(fā)散級數(shù)不具有結(jié)合律，引言中的級數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號后得至級數(shù)的情形就不同。（4）級數(shù)藝u收斂的必要條件是limu=0nnnTgn=1（注：引言中提到的級數(shù)蘭（-1）n+1,具有l(wèi)im（-d+i不存在，因此收斂級數(shù)的必要條nTgn=1件不滿足，遲（-1）+1發(fā)散。調(diào)和級數(shù)乞丄滿足lim1=0,但乞1卻是發(fā)散nnTgnnn=1n=1n=1的，所以滿足收斂級數(shù)的必要條件limu=0，而乞u收斂性尚不能確定。）nnnTgn=13．兩類重要的級數(shù)（1）等比級數(shù)（幾何級數(shù)）無arn（a豐0）精選文庫精選文庫3．3．#1）當(dāng)P<1時，則另u收斂nn=12）當(dāng)p>1時（包括p=+g），則另u發(fā)散nn=13）當(dāng)p=1時，此判別法無效（注：如果lim不存在時，此判別法nsUn也無法用）4.根值判別法（柯西）設(shè)U>0,而limnU=PnVnns1）當(dāng)p<1時，則另u收斂nn=12）當(dāng)p>1時（包括p=+g），則另u發(fā)散nn=13）當(dāng)p=1時，此判別法無效事實(shí)上，比值判別法和根值判別法都是與等比級數(shù)比較得出相應(yīng)的結(jié)論，應(yīng)用時，根據(jù)所給級數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們在p=1情形下都無能為力。數(shù)學(xué)上有更精細(xì)一些的判別法，但較復(fù)雜，對考研來說不作要求。三、交錯級數(shù)及其萊布尼茲判別法1．交錯級數(shù)概念若u>0,工（-1）n+1U稱為交錯級數(shù)。nnn=12．萊布尼茲判別法設(shè)交錯級數(shù)工(-1)n+1U滿足：nn=1u<u(n=1,2,3,)且0<乞n=1且0<乞n=1(-1)n+1u<un1limu=0，則遲(-1)n+1u收斂,nnnfg.n=1四、絕對收斂與條件收斂1．定理若乞|u|收斂，則為u一定收斂；反之不然。TOC\o"1-5"\h\znnn=1n=12．定義若工UI收斂，則稱遲U為絕對收斂；nnn=1n=1若工U收斂，而乞U|發(fā)散，則稱乞U為條件收斂。nnnn=1nn=1n=1n=13．有關(guān)性質(zhì)1)絕對收斂級數(shù)具有交換律，也即級數(shù)中無窮多項(xiàng)任意交換順序，得到級數(shù)仍是絕對收斂，且其和不變。2)條件收斂級數(shù)的正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的級數(shù)，即工-(U|+u)或?yàn)?(u—|u|)2nn2nnn=1n=1一定是發(fā)散的。4．一類重要的級數(shù)設(shè)工(-1)n+1npn=1當(dāng)p>1時，工匕1竺是絕對收斂的npn=1當(dāng)0<p<1時，乞匕血是條件收斂的npn=1當(dāng)p<0時，工匕1^1是發(fā)散的npn=1冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其收斂域與和函數(shù)(數(shù)學(xué)一)1．函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)u(x)(n=1,2,3,…)皆定義在區(qū)間I上，則工u(x)稱為區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。nnn=12．收斂域設(shè)XGl，如果常數(shù)項(xiàng)級數(shù)為o設(shè)XGl，如果常數(shù)項(xiàng)級數(shù)為o

n=1

則稱x是工on=1工u(X)發(fā)散，non=1合就稱為收斂域。(Xo)收斂’則稱xo是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)工u(x)的收斂點(diǎn),如果nn=1(X)的發(fā)散點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為u(X)的所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集nn=1所有發(fā)散點(diǎn)構(gòu)成的集合你為發(fā)散域。3．和函數(shù)在工u(X)的收斂域的每一點(diǎn)都有和，它與X有關(guān)，因此S(x)=工u(X)，XG收斂域nnn=1n=1稱S(x)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為u(x)的和函數(shù)，它的定義域就是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域。nn=1二、冪級數(shù)及其收斂域1．冪級數(shù)概念￡a(x-x)n稱為(x-x)的幕級數(shù)，a(n=0,1,2,…)稱為幕級數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)，當(dāng)x=0

noonon=0時，另axn稱為x的幕級數(shù)。一般討論另axn有關(guān)問題，作平移替換就可以得出有關(guān)nnn=0n=0

藝a（x-x）n的有關(guān)結(jié)論。n0n=02．冪級數(shù)的收斂域幕級數(shù)另axn的收斂域分三種情形：nn=0（1）收斂域?yàn)椋??,+?），亦即另axn對每一個X皆收斂，我們稱它的收斂半徑R=+8nn=0（2）收斂域僅為原點(diǎn)，除原點(diǎn)外幕級數(shù)藝axn皆發(fā)散，我們稱它的收斂半徑R=0。nn=0（3）收斂域?yàn)椋?R,R）或（-R,R或I-R,R就I-R,R中的一種，我們稱它的收斂半徑為R（0<R<+8）所以求幕級數(shù)的收斂半徑R非常重要，（1）（2）兩種情形的收斂域就確定的。而（3）的情形,還需討論土R兩點(diǎn)上的斂散性。an+1an=l（包括+或lim血=l（包括+8）,則收斂半徑R=1（若l=+8,%“l(fā)則R=0,若l=0則R=+8）,如果上述兩極限不成立,那么就要用其它方法求收斂半徑,后面有所討論.如果limns1nns一、幕級數(shù)的性質(zhì)1．四則運(yùn)算設(shè)區(qū)1axn=f(x),|x|<R；乞bxn=g(x),|x|<Rn1n:n=0n=0則區(qū)(a土b)xn=f(x)土g(x),nnn=0(區(qū)axn)(區(qū)bxn)=區(qū)(ab++ab++ab)xn=f(x)-g(x)nn0nkn-kn0n=0n=0n=02.分析性質(zhì)設(shè)幕級數(shù)另axn的收斂半徑R>0，S(x)=另axn為和函數(shù)，則有下列重要性質(zhì)。nnn=0n=0S(x)在(-R,R)內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式S'(x)=(另axn)=S(axn)=另naxn-1求導(dǎo)后幕級數(shù)的收斂半徑不變，因此得出nnnn=0n=0n=1S(x)在(-R,R)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，公式為S(k)(x)=n(n—1).…(n—k+1)axn-k,nn=kS(x)在(-R,R)內(nèi)有逐項(xiàng)積分公式fS(t)dt=區(qū)Jatndt=^-a^-xn+1且這個幕級數(shù)的收斂半徑也不變。nn+1|x|<min(R,R)|x|<Rn=00n=0|x|<min(R,R)(k=1,2,3,…)(3)若￡axn=S(x)在x=R(-R)成立，則有下列性質(zhì):nn=0(i)limS(x)=SaRn成立(i)limS(x)=SaRn成立(limS(x)=Sa(-R)n成立)xTR-(ii)nRn+1n+1n=0ann=0成立(fS(x)dx=SHn(-R)n+1成立)XT(-R)+(iii)0n=0-RSnaxn-1在x=R(-R)不一定收斂nnn+1n=0n=1也即藝naxn-i=S'(R)不一定成立.nn=1如果Saxn在x=R(-R)發(fā)散，那么逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級數(shù)nn=0Snaxn-1在x=R(-R)一定發(fā)散，而逐項(xiàng)積分后的級數(shù)nn=1S人n+1n=0xn+1在xn=1S人n+1n=0xn+1在x=R(-R)有可能收斂.四、冪級數(shù)求和函數(shù)的基本方法1．把已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式(§8.3將討論)反過來用。下列基本公式應(yīng)熟背S1xn=1-x(1)lxl<1(2)(3)n=0的xnS=exn!n=0￡(-1)n-8(2n+1)!x2n+1(4)n=0藝(-1)(5)n=0S(-1)nx2n(2)!=COSx,x<+8xn+1n=0=ln(1+x),(-1<x<1)n+1(6)1+S里口(a-n+1)xn=(1+x)a,-1<x<1Q為實(shí)常數(shù))(6)n=n=1n=12、用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法以及等比級數(shù)求和公式3、用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法化為和函數(shù)的微分方程從而求出微分方程的解?！?.3將函數(shù)展開成冪級數(shù)(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)的概念1．基本概念l<5內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則級數(shù)另￥(x-x0)nn=0設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X的某一領(lǐng)域lx-x010稱為函數(shù)f(x)在x處的泰勒級數(shù).(注:這里泰勒級數(shù)是否收斂?是否收斂于f(x)都不知0道),特別地，當(dāng)x=0,則級數(shù)0藝也型xn稱為f(x)的麥克勞林級數(shù)n!n=02.函數(shù)展成幕級數(shù)的條件設(shè)f(x)在|x-x0<R內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)它的泰勒公式f(x)=/(x)+八x)(x-x)+丄(x-x)2HH丄(x-x)n+R(x)0002!0