高考立體幾何知識(shí)點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)

八、立體幾何一、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：1）線線平行的判斷：⑴平行于同一直線的兩直線平行。⑶如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。⑹如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（12）垂直于同一平面的兩直線平行。2）線線垂直的判斷：⑺在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。⑻在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。⑽若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。3）線面平行的判斷：⑵如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。⑸兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。4）線面垂直的判斷：⑼如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。⑴）如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。(⑷一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。(⑹如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面。面面平行的判斷：⑷一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。(13)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。面面垂直的判斷：(⑸—個(gè)平面經(jīng)過另—個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。二、其他定理：確定平面的條件：①不公線的三點(diǎn)：②直線和直線外一點(diǎn)：③相交直線：直線與直線的位置關(guān)系:相交：平行：異面：直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi)：平行：相交(垂直是它的特殊情況)：平面與平面的位置關(guān)系：相交：：平行：等角定理：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；射影定理(斜線長、射影長定理)：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中射影相等的兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也較長；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短。最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角異面直線的判定：①反證法；過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線。過已知點(diǎn)與一條直線垂直的直線都在過這點(diǎn)與這條直線垂直平面內(nèi)。如果—直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)平面的交線。如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面。三、唯一性定理：過已知點(diǎn)，有且只能作一直線和已知平面垂直。過已知平面外一點(diǎn)，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。四、空間角的求法:（所有角的問題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：Oo<讓90o；注意：若異面直線中一條直線是三角形的一邊，則平移時(shí)可找三角形的中位線。有的還可以通過補(bǔ)形，如：將三棱柱補(bǔ)成四棱柱；將正方體再加上三個(gè)同樣的正方體，補(bǔ)成一個(gè)底面是正方形的長方體。（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為0o；②線面垂直：線面所成的角為90o；斜線與平面所成的角：范圍Oo<a<90o；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。（3）二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；S'注意：還可以用射影法：cos9=；其中0為二面角a-1-卩的大小，S為a內(nèi)的S一個(gè)封閉幾何圖形的面積；S'為a內(nèi)的一個(gè)封閉幾何圖形在0內(nèi)射影圖形的面積。一般用于解選擇、填空題。五、距離的求法：（1）點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線段的長、點(diǎn)與線、面間的距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計(jì)算。注意：求點(diǎn)到面的距離的方法：直接法：直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上）；轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)）；體積法：利用三棱錐體積公式。（2）線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：

定義法，關(guān)鍵是確定出a,b的公垂線段;轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為a與過b而平行于a的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個(gè)平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；（3）線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點(diǎn)線間距離常常相互轉(zhuǎn)化；六、常用的結(jié)論：（1）若直線l在平面內(nèi)的射影是直線l，直線m是平面a內(nèi)經(jīng)過l的斜足的一條直線，l與廠所成的角為0，1'與m所成的角為。,1與m所成的角為°，則這三個(gè)角之間12的關(guān)系是cos0=cos0cos0（2）如何確定點(diǎn)在平面的射影位置：①I、如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角兩邊距離相等，那么這點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；II、經(jīng)過一個(gè)角的頂角引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線和這個(gè)角的兩邊夾角相等,那么斜線上的點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線所在的直線上；III、如果平面外一點(diǎn)到平面上兩點(diǎn)的距離相等，則這一點(diǎn)在平面上的射影在以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上。垂線法：如果過平面外一點(diǎn)的斜線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這一點(diǎn)在這平面上的射影在過斜足且垂直于平面內(nèi)直線的直線上（三垂線定理和逆定理）；垂面法：如果兩平面互相垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)任一點(diǎn)在另一平面上的射影在這兩面的交線上（面面垂直的性質(zhì)定理）；整體法：確定點(diǎn)在平面的射影，可先確定過一點(diǎn)的斜線這一整體在平面內(nèi)的射影。（3）在四面體ABCD中：①若AB丄CD,BC丄AD，則竺丄竺；且A在平面BCD上的射影是ABCD的垂心。若AB=AC=AD，則A在平面BCD上的射影是ABCD的外心。若A到BC,CD,BD邊的距離相等，則A在平面BCD上的射影是ABCD的內(nèi)心。4）異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式：若異面直線所成的角為0，它們公垂

線段AA'的長為d，在a,b上分別取一點(diǎn)E,F，設(shè)A'E=m,AF=n；貝|JEF=、：d2+m2+n2土2mncos0（如果ZE'AF為銳角，公式中取負(fù)號(hào)，如果ZE'AF為鈍，公式中取正號(hào)）七、多面體：（1）棱柱：①定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱側(cè)棱不垂直于底面*斜棱柱側(cè)棱垂直于底面卜直棱柱底面是正多邊形棱柱側(cè)棱不垂直于底面*斜棱柱側(cè)棱垂直于底面卜直棱柱底面是正多邊形*正棱柱；底面是矩開形長方體底面是正方形?正四棱柱棱長都相等正方體。四棱柱底面是平行四邊形十平行六面體側(cè)棱垂直于底面.直平行六面體②性質(zhì)：丨、側(cè)面都是平行四邊形；II、兩底面是全等多邊形；川、平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形；IV、長方體一條對(duì)角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和。面積：S直棱柱側(cè)ch（c是底周長，h是高）體積：匕=Sh=1Sd（S為底面積，h為高，d為已知側(cè)面與它對(duì)棱的距離）棱柱2側(cè)面（2）棱錐：①定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐；正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐；②性質(zhì)：I、平行于底面的截面和底面相似，截面的邊長和底面的對(duì)應(yīng)邊邊長的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方

比；II、正棱錐性質(zhì)：各側(cè)面都是全等的等腰三角形；通過四個(gè)直角三角形RZOH,③面積：RtAPOB，RtAPBH，RtABOH實(shí)現(xiàn)邊，高，斜高間的換算③面積：CS+土，=ch（c為底周長，h'為斜咼）正棱錐2C④體積：V.=[Sh（S為底面積，h為高）棱錐3④體積：3）正四面體：對(duì)棱間的距離為才a（正方體的邊長）對(duì)于棱長為a正四面體的問題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長為fa的正方體問題。對(duì)棱間的距離為才a（正方體的邊長）J62,正四面體的高丁a（=31正方體體對(duì)角線）正四面體的體積為害a3（V-4V3正6正方體體對(duì)角線2正方體體對(duì)角線12正方體6正方體體對(duì)角線2正方體體對(duì)角線正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為1：3（=[l外接球的半徑為乎a（是正方體的外接球，則半徑=21正方體體對(duì)角線）61內(nèi)切球的半徑為尋a（是正四面體中心到四個(gè)面的距離，則半徑=61正方體體對(duì)角線）4）正多面體：①定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的多面體叫做正多面體。正四面體正六面體正八面體正十一面體正二十面體面數(shù)F4681220頂點(diǎn)數(shù)V4862012棱數(shù)E612123030面的形狀正三角形正方形正三角形正五邊形正三角形頂點(diǎn)的棱數(shù)33435②歐拉公式：V+F-E二2（V為簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)，F(xiàn)為面數(shù)，E為棱數(shù)）n+n+A+nm+m+A+mE=T2F=12422（n表示各個(gè)面上的棱數(shù)，m表示過各個(gè)頂點(diǎn)的棱數(shù)）ii八、球（1）定義：①球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成