廣東省惠陽高級中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，則M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}2．已知函數(shù)在定義域上有兩個極值點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是（）A．0 B．-1 C．-2 D．-84．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞5．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，對任意實數(shù)都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．已知在處有極值0，且函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則的最大值為（）A．-6 B．-9 C．-11 D．-47．已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實數(shù)等于（）A．2 B．1 C．0或1 D．-18．某班數(shù)學(xué)課代表給全班同學(xué)出了一道證明題.甲說：“丙會證明.”乙說：“我不會證明.”丙說：“丁會證明.”丁說：“我不會證明.”以上四人中只有一人說了真話，只有一人會證明此題.根據(jù)以上條件，可以判定會證明此題的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．盒中裝有10個乒乓球，其中6個新球，4個舊球，不放回地依次取出2個球使用，在第一次取出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為（）A． B． C． D．10．（）A． B． C． D．11．函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為()A．25,-2 B．50,-2 C．50,14 D．50,-1412．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù),若對任意,存在,，則實數(shù)的取值范圍為_____.14．2014年11月，北京成功舉辦了亞太經(jīng)合組織第二十二次領(lǐng)導(dǎo)人非正式會議，出席會議的有21個國家和地區(qū)的領(lǐng)導(dǎo)人或代表．其間組委會安排這21位領(lǐng)導(dǎo)人或代表合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領(lǐng)導(dǎo)人站在第一排正中間位置，美俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人站在與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰的兩側(cè)，如果對其他領(lǐng)導(dǎo)人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有種（用排列組合表示）．15．設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，若，則__________．16．太極圖被稱為“中華第—圖”，從孔廟大成殿梁柱至白外五觀的標(biāo)識物；從道袍、卦攤、中醫(yī)、氣功、武術(shù)到南韓國旗、新加坡空軍機徽…，太極圖無不躍其上，這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在—起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.在如圖所示的陰陽魚圖案中，陰影部分的區(qū)域可用不等式組或來表示，設(shè)是陰影中任—點，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某商場舉行促銷活動，有兩個摸獎箱，箱內(nèi)有一個“”號球，兩個“”號球，三個“”號球、四個無號球，箱內(nèi)有五個“”號球，五個“”號球，每次摸獎后放回，每位顧客消費額滿元有一次箱內(nèi)摸獎機會，消費額滿元有一次箱內(nèi)摸獎機會，摸得有數(shù)字的球則中獎，“”號球獎元，“”號球獎元，“”號球獎元，摸得無號球則沒有獎金．（1）經(jīng)統(tǒng)計，顧客消費額服從正態(tài)分布，某天有位顧客，請估計消費額（單位：元）在區(qū)間內(nèi)并中獎的人數(shù).（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）附：若，則，.（2）某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎機會，求其中中獎人數(shù)的分布列.（3）某顧客消費額為元，有兩種摸獎方法，方法一：三次箱內(nèi)摸獎機會；方法二：一次箱內(nèi)摸獎機會.請問：這位顧客選哪一種方法所得獎金的期望值較大.18．（12分）（江蘇省南通市高三最后一卷---備用題數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求函數(shù)處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個極值點，求的取值范圍；（3）若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知在中，，，.（1）求邊的長；（2）設(shè)為邊上一點，且的面積為，求.20．（12分）已知雙曲線，為上的任意點．（1）求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，求的最小值.21．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若方程恰有兩個實數(shù)根，求a的值.22．（10分）某種產(chǎn)品的廣告費用支出與銷售額之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)：（1）畫出散點圖，并說明銷售額與廣告費用支出之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求回歸直線方程；（3）據(jù)此估計廣告費用為10時，銷售收入的值.（參考公式：，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析：求出集合M中不等式的解集，確定出M，找出M與N的公共元素，即可確定出兩集合的交集．解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故選A點評：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2、B【解析】

根據(jù)等價轉(zhuǎn)化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數(shù)根，然后利用根的分布情況，可得，最后利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】令，依題意得方程有兩個不等正根，，則，，令，在上單調(diào)遞減，，故的取值范圍是，故選：B【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點求參數(shù)，還考查二次函數(shù)根的分布問題，難點在于使用等價轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡，屬中檔題.3、B【解析】根據(jù)流程圖可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第4次循環(huán)：；此時程序跳出循環(huán)，輸出.本題選擇B選項.4、B【解析】

設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．5、B【解析】令,,所以函數(shù)是減函數(shù)，又，所以不等式的解集為本題選擇B選項.6、C【解析】

利用函數(shù)在處有極值0，即則，解得，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，在區(qū)間上存在最大值可得，從而可得的最大值．【詳解】由函數(shù)，則，因為在，處有極值0，則，即，解得或，當(dāng)時，，此時，所以函數(shù)單調(diào)遞增無極值，與題意矛盾，舍去；當(dāng)時，，此時，，則是函數(shù)的極值點，符合題意，所以；又因為函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，因為，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則極大值為，且，所以，解得，則的最大值為：.故選C．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性以及函數(shù)單調(diào)性，求解參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.7、B【解析】分析：由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得實部等于0且虛部不等于0.求解即可得到答案.詳解：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，解得.故選B.點睛：此題考查復(fù)數(shù)的概念，思路：純虛數(shù)是實部為0.虛部不為0的復(fù)數(shù).8、B【解析】如果甲會證明，乙與丁都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意；排除選項；如果丙會證明，甲乙丁都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意，排除選項；如果丁會證明，丙乙都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意，排除選項，故選B.9、C【解析】試題分析：在第一次取出新球的條件下，盒子中還有9個球，這9個球中有5個新球和4個舊球，故第二次也取到新球的概率為考點：古典概型概率10、C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，即可得到答案．【詳解】由，故選C．【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

求導(dǎo)，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值和兩端點的函數(shù)值，可得函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2在區(qū)間[﹣4，2]上的最大值和最小值．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2，∴f′（x）＝6x2+18x，當(dāng)x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)x∈（﹣3，0）時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，故函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2在區(qū)間[﹣4，2]上的最大值和最小值分別為50，﹣2，故選：B．【點睛】本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值及函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于中檔題．12、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】，因此，該復(fù)數(shù)的虛部為，故選B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)虛部的計算，解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把對任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）轉(zhuǎn)化為g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．【詳解】解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，當(dāng)x∈（﹣1，0）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，∴f（x）min＝f（0）＝1．對任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函數(shù)g（x）＝x2﹣bx+4的對稱軸為x＝．當(dāng)≤3，即b≤6時，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；當(dāng)≥4，即b≥2時，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥2；當(dāng)3＜＜4，即6＜b＜2時，g（x）在（3，4）上先減后增，，由≤1，解得或b，∴6＜b＜2．綜上，實數(shù)b的取值范圍為[4，+∞）．故答案為：[4，+∞）．【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．14、【解析】試題分析：先讓中國領(lǐng)導(dǎo)人站在第一排正中間位置共一種站法，再讓美俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人站在與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰的兩側(cè)共站法，最后，另外個領(lǐng)導(dǎo)人在前后共位置任意站，共有種站法，所以，根據(jù)分步計數(shù)乘法原理，不同的排法共有種，故答案為.考點：排列組合及分步計數(shù)乘法原理的應(yīng)用.15、3【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因為，所以，即，故.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義.16、3【解析】

根據(jù)題目可知，平移直線，當(dāng)直線與陰影部分在上方相切時取得最大值，根據(jù)相切關(guān)系求出切點，代入，即可求解出答案?！驹斀狻坑深}意知，與相切時，切點在上方時取得最大值，如圖;此時，且，解得所以的最大值為3，故答案為3?！军c睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，形如題目中所示的目標(biāo)函數(shù)?；瘹w為求縱截距范圍或極值問題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)中獎的人數(shù)約為人.(2)分布列見解析.(3)這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大.【解析】分析：（1）依題意得，，得，消費額在區(qū)間內(nèi)的顧客有一次箱內(nèi)摸獎機會，中獎率為，人數(shù)約，可得其中中獎的人數(shù)；（2）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎中獎率都為，三人中中獎人數(shù)服從二項分布，，，從而可得分布列；（3）利用數(shù)學(xué)期望的計算公式算出兩種方法所得獎金的期望值即可得出結(jié)論.詳解：（1）依題意得，，得，消費額在區(qū)間內(nèi)的顧客有一次箱內(nèi)摸獎機會，中獎率為人數(shù)約人其中中獎的人數(shù)約為人（2）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎中獎率都為，三人中中獎人數(shù)服從二項分布，，故的分布列為（或）（或）（或）（或）（3）箱摸一次所得獎金的期望為箱摸一次所得獎金的期望為方法一所得獎金的期望值為，方法二所得獎金的期望值為，所以這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：①“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義；②“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率加法公式、獨立事件的概率公式以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；③“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；④“求期望”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望．對于某些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布），則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度．18、(1).(2).(3).【解析】

（1）首先將代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的切線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，化簡求得結(jié)果；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)存在兩個極值點，是方程的兩個不等正根，韋達(dá)定理得到關(guān)系，將化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求得結(jié)果；（3）將恒成立問題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究，分類討論，求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，故，且，故所以函數(shù)在處的切線方程為（2）由，可得因為函數(shù)存在兩個極值點，所以是方程的兩個不等正根，即的兩個不等正根為所以，即所以令，故，在上單調(diào)遞增，所以故得取值范圍是（3）據(jù)題意，對任意的實數(shù)恒成立，即對任意的實數(shù)恒成立.令，則①若，當(dāng)時，，故符合題意；②若，（i）若，即，則，在上單調(diào)贈所以當(dāng)時，，故符合題意；（ii）若，即，令，得（舍去），，當(dāng)時，，在上單調(diào)減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以存在，使得，與題意矛盾，所以不符題意.③若，令，得當(dāng)時，，在上單調(diào)增；當(dāng)時，，在上單調(diào)減.首先證明：要證：，即要證：，只要證：因為，所以，故所以其次證明，當(dāng)時，對任意的都成立令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，則所以當(dāng)時，對任意的都成立所以當(dāng)時，即，與題意矛盾，故不符題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，涉及到的解題思想是分類討論，注意思路清晰是解題的關(guān)鍵.19、（1）3；（2）.【解析】

（1）利用三角形內(nèi)角和定理，將轉(zhuǎn)化為，化簡已知條件求得，然后求得，利用等腰三角形求得的長.（2）利用三角形面積列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值.【詳解】解：（1）由及，得，展開得，即，所以.所以，即，所以.（2）由，解得.在中，，所以.由，得，所以.【點睛】本小題主要考查三角形內(nèi)角和定理，考查三角恒等變換，考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，綜合性較強，屬于中檔題.20、（1）證明見解析．（2）的最小值為【解析】

試題分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)點利用點到直線的距離公式，即可得到結(jié)論，寫出距離的乘積，再利用點在雙曲線上得出定值；（2）用點點距公式表示出|PA|