選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程課件

選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、重要概念1.極坐標(biāo)系：(1)在平面內(nèi)取一個定點O，叫做_____，自極點O引一條射線Ox，叫做_____；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.(2)通常以平面直角坐標(biāo)系的_________為極點，以____的正半軸為極軸，從而建立極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系.極點極軸坐標(biāo)原點x軸2.點的極坐標(biāo)：對于極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的任一點M，若設(shè)|OM|=ρ(ρ≥0)，以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角為θ，則點M可用有序數(shù)對________表示.(ρ,θ)二、必記公式1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式：設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(x,y)，極坐標(biāo)為(ρ,θ),則(ρ,θ)?(x,y)(x,y)?(ρ,θ)ρcosθρsinθx2+y22.直線、圓與橢圓的參數(shù)方程:特征普通方程參數(shù)方程直線過點M0(x0,y0)傾斜角為αx=x0(α=90°)y-y0=tanα(x-x0)(α≠90°)_______________________圓心(a,b)，半徑為r(x-a)2+(y-b)2=r2_______________________(t為參數(shù))(θ為參數(shù))特征普通方程參數(shù)方程焦點在x軸上，長軸長為2a，短軸長為2b(a＞b＞0)______________________(θ為參數(shù))1.(2013·北京模擬)在極坐標(biāo)系中，曲線ρ=4cosθ圍成的圖形面積為

.【解析】由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4.曲線ρ=4cosθ是半徑為2的圓，其面積為πr2=4π.答案：4π2.(2013·宜昌模擬)已知直線l:(t為參數(shù))與圓C：

(θ為參數(shù))，則直線的傾斜角及圓心C的直角坐標(biāo)分別是

、

.【解析】直線消去參數(shù)得直線方程為y=-x，所以斜率k=-1，即傾斜角為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4，圓心坐標(biāo)為(1，0).答案：

(1,0)3.(2013·天津模擬)已知圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0.在以原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，該圓的方程為

.【解析】因為在極坐標(biāo)系中,x=ρcos

θ,y=ρsinθ,代入方程x2+y2-2x=0得ρ2=2ρcosθ,即ρ=2cosθ.答案：ρ=2cosθ4.(2013·廣東高考)已知曲線C的參數(shù)方程為

(t為參數(shù))，C在點(1,1)處的切線為l，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則l的極坐標(biāo)方程為

.【解析】曲線C是圓x2+y2=2，在點(1,1)處的切線l為x+y=2，其極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=2，化簡得答案：熱點考向1極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化【典例1】(1)(2013·北京高考)在極坐標(biāo)系中，點到直線ρsinθ=2的距離等于

.(2)直線2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ相交的弦長為

.【解題探究】(1)極坐標(biāo)系中求點到直線的距離的思路.①點

的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)是______.②把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是____.③用直角坐標(biāo)系中點到直線的距離公式的特殊情況求解.(2)直線2ρcosθ=1化為直角坐標(biāo)方程是_____.圓ρ=2cosθ化為直角坐標(biāo)方程是________.y=2x2+y2=2x【解析】(1)極坐標(biāo)系中點

對應(yīng)直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為

極坐標(biāo)系中直線ρsinθ=2對應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線方程為y=2，所以距離為1.答案：1(2)直線2ρcosθ=1可化為2x=1，即圓ρ=2cosθ兩邊同乘以ρ得ρ2=2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程是x2+y2=2x，解方程組

得

即

所以弦長是答案：【方法總結(jié)】極坐標(biāo)系中距離與弦長的計算(1)把點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.(2)直角坐標(biāo)系中點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離為：(3)設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線和圓相交所得弦長為(4)可在極坐標(biāo)中數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為解三角形求解.【變式訓(xùn)練】圓

的圓心的極坐標(biāo)是________(ρ＞0,0≤θ＜2π).【解析】方程變形為:化為直角坐標(biāo)方程為即所以圓心的直角坐標(biāo)為由

得因為θ∈［0,2π)，點

在第四象限，所以由得ρ=5.故圓心的極坐標(biāo)為答案：熱點考向2求曲線的方程【典例2】(1)(2013·陜西高考)如圖,以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù),則圓x2+y2－x=0的參數(shù)方程為

.(2)在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點

圓心為直線

與極軸的交點，則圓C的極坐標(biāo)方程為_______.【解題探究】(1)設(shè)P(x,y)，由圓的直角坐標(biāo)方程確定圓的半徑r=___，由三角函數(shù)的定義_____________確定圓的參數(shù)方程.(2)圓C的圓心坐標(biāo)為_______.圓C的半徑r為__.(1，0)1【解析】(1)圓的方程

圓的半徑r=?|OP|=cosθ·2r=cosθ?x=|OP|·cosθ=cos2θ,y=|OP|·sinθ=cosθ·sinθ.所以圓的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù)).答案：

(θ為參數(shù))(2)因為圓C圓心為直線

與極軸的交點，所以在

中，令θ=0，得ρ=1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為C(1，0).因為圓C經(jīng)過點如圖，由余弦定理得圓C的半徑為所以圓C經(jīng)過極點.故圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.答案：ρ=2cosθ【方法總結(jié)】在極坐標(biāo)系中求曲線極坐標(biāo)方程的方法類比平面直角坐標(biāo)系中求曲線方程的方法，可得求曲線極坐標(biāo)方程的一般步驟：(1)用(ρ,θ)表示曲線上任意一點Q的坐標(biāo).(2)觀察點Q滿足的條件，并結(jié)合圖形把條件轉(zhuǎn)化為方程.(3)化簡方程.【變式訓(xùn)練】從原點O引直線交直線2x+4y-1=0于點M，P為直線OM上一點，已知|OP||OM|=1,則點P的軌跡的極坐標(biāo)方程為

.【解析】以O(shè)為極點，x軸的正方向為極軸建立極坐標(biāo)系，直線方程化為2ρcosθ+4ρsinθ-1=0，設(shè)M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),則2ρ0cosθ0+4ρ0sinθ0-1=0.①由

得代入①式得即ρ=2cosθ+4sinθ.答案：ρ=2cosθ+4sinθ熱點考向3參數(shù)方程及其應(yīng)用【典例3】(1)(2013·湖南高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若l:(t為參數(shù))過橢圓C:(φ為參數(shù))的右頂點，則常數(shù)a的值為

.(2)直線

(t為參數(shù))與曲線

(α為參數(shù))的交點個數(shù)為

.【解題探究】(1)橢圓

的頂點坐標(biāo)是________________.(2)思路一：直線化為普通方程為________.曲線化為直角坐標(biāo)方程為_______.思路二：直線和曲線聯(lián)立可得參數(shù)方程為_________________整理可得_________.(±a,0),(0,±b)x+y-1=0x2+y2=9(2+t)2+(-1-t)2=9,t2+3t-2=0【解析】(1)直線l的普通方程是x－y－a=0，橢圓C的普通方程是

其右頂點為(3,0)，代入直線方程得a=3.答案：3(2)方法一：將直線

(t為參數(shù))與曲線

(α為參數(shù))的參數(shù)方程分別化為普通方程，得x+y-1=0,x2+y2=9，曲線為圓，其圓心為原點，到直線的距離所以直線與圓相交，交點個數(shù)為2.方法二：由直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的參數(shù)方程聯(lián)立得(2+t)2+(-1-t)2=9，整理得t2+3t-2=0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以直線與曲線的交點個數(shù)為2.答案：2【方法總結(jié)】參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法(1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法.(2)三角恒等式法：利用sin2α+cos2α=1消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運用三角恒等式法.(3)常見消參數(shù)的關(guān)系式：①③【變式訓(xùn)練】已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p>0,焦點為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E.若|EF|=|MF|，點M的橫坐標(biāo)是3，則p=

.【解析】

焦點如圖，由題意可知，△MEF是正三角形，且邊長為由題意，設(shè)M(3,y0)，則所以故

因為p＞0，解得p=2.答案：2熱點考向4極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【典例4】(1)(2013·湖北高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為

(φ為參數(shù)，a>b>0)，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為

(m為非零數(shù))與ρ=b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為

.(2)(2013·汕頭模擬)已知直線l方程是(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2,則圓C上的點到直線l的距離最小值是

.

【解題探究】(1)橢圓C的普通方程為__________，其焦點坐標(biāo)為________，離心率為e=___.(2)直線

化為普通方程為________.圓C的直角坐標(biāo)方程為_______.點(x0,y0)到直線的距離公式為_________________.(±c,0)x-y-4=0x2+y2=4【解析】(1)橢圓的參數(shù)方程化為普通方程為

焦點為(±c,0).由

可得ρsin

θ+ρcosθ=m,即直線l的普通方程為x+y-m=0,經(jīng)過焦點(±c,0)，m=±c,圓O的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=b2,直線與圓相切，答案：(2)直線l的普通方