2023年高考數(shù)學(xué)強基計劃模擬試卷含答案（十三）

2023年高考數(shù)學(xué)強基計劃模擬題(十三)

7.

(滿分100分，測試時間：60分鐘)

記Qi={xeQ\x>1}.設(shè)函數(shù)/：Qi-R對于任意心yGQ1滿足不等式|f(%+y)-/(x)-/(y)|<￡,這里

一'填空題。(每小題10分)

￡是某個大于零的實數(shù).證明：存在q€R,使得對于任意XWQi,都有|竽-q|V2￡.

1.

設(shè)集合S={1,2,…,15},A={%,。2，%}是5的子集，且(％,。2，。3)滿足1<a1<a2<a3<15,a3-a2<6,

那么滿足條件的集合4的個數(shù)為_____.

2.

在三棱錐P-4BC中，底面是邊長為3的正三角形，旦|P*=3,|PB|=4,|PC|=5,則三棱錐P-ABC

的體積4_ABC=____-

3.

在區(qū)間(0,+8)上，若方程W-x=lnx有唯?解.則a的值為____.

a

4.

在△48。中，若鬻+萼=3,則sin4的最大值為_____.

tanatanc

二、解答題(每小題20分)

5.

已知分=〃1+打.小.+:

(1)。5是否為有理數(shù)?并寫出證明過程.

(2)證明以為嚴格單調(diào)遞增數(shù)列，且存在上界，并求出一個上界.

6.

在平面直角坐標(biāo)系xOyU」，已知橢圓G:?+/=l(a>b>0),直線h：y=kx+與橢圓G交于48兩

點,直線，2：y=依+7門2(7721Hg)與橢圓G交于C,D兩點,且|AB|=|CD|.

(1)證明：m1+m2=0;

(2)求四邊形A8C。的面積S的最大值.

答案.h2+c21a]c、、2

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號.故Sin4<爭.

1.【答案】371

【解析】當(dāng)2VazV9時，（<h，az）有點種選擇方法，有6種選擇方法，所以（即的,。3）共有6x量=216種

5.r答案】(l)as不是有理數(shù).引理：若XCQ,yfEQ,則"萬任Q.

選擇方法;當(dāng)10<a2<14時，一旦。2取定，%有。2-1種選擇方法，。3有15-。2種選擇方法，所以選擇

證明：x=*(m,n)=1,若不然Jx+y=；,(p,q)=1,貝Ijy='即:3",(m,n)=1.(p,q)=1.所以(mp?-

（%,。2，。3）的方法有E恐1（。2-1）（15-a2）=9x54-10x4+llx3+12x2+13xl=155種.

ng2,mg2)=1,yEQ,矛盾.因為遙任Q,所以CQ.

綜上所述，滿足條件的子集共有371個.

(2)因為

2.【答案】g

【解析】易知SBC是直角三角形，取斜邊PC的中點為0,因為|研二團8|=“|’所以點4在平面PBC上

的射影為宜角△P8C的外心。.連接力0,即有力。1平面P8C.

在RtAAOP中，

Vp-ABC=VA-PBC=1.S&P8C'|4°l=g.6?—VlT.所以“為嚴格單調(diào)遞增數(shù)列.又

3.【答案】a=1或。<0

【解析】二—％=Inx<=>-=

aaxe-x+..

令f(%)=寫竺，則,住)=土、普.由尸(%)=。得X=1.

當(dāng)0V#V1時，/'(X)>0；當(dāng)X>1時，/'(%)<0.所以fCOmax=/(I)=1.又/(%)一一8G-*0+),/(X)->

故6為一個上界.

0(%T+8),所以當(dāng)方程有唯解時，：=1或：<0,即Q=1或QV0.

【解析】略

4.【答案】等6.【答案】(1)

\AB\=y/(x-x)2+(y-y)2=>/l-k2?+小一一4」必

(解析】=3=+^7)=tan4"“片?=3<=>tan4siiL4=3sinBsinC=siM4=1212

tanotanCvsin?sinC'smosinc

22

)------------I2a2kmi、a2m?—ab

3sinFsinCcos/lJl".(--------------------^)-4?—----------5-

22

Jb+dik臣+a2k2

<=>a2=3/JCCOSA.

/2abja2k2-m?+b2

又a?=b2+c2-2bccosA,于是可得5+短

同理,將此式與式③結(jié)合，可知

-----2abja2k2-m2+b2

2m/(l)—(m-1)￡—(7i—1)￡<7i/(^)<m/(l)+(m—1)￡+(n—1)E,

因為|48|=|CD|,所以即

_lazk2-m?+b2______Ja2k2-ml+b2

m/(l)—(m+n—2)s<nf需)<m/(l)+(m+n—2)e,

2ab\!1+/c2----5——=2a6Vl+k2----———

"+a2k2/+a2F

因為7711裝瓶2，所以卅1+巾2=。?兩邊除以m,得

_叫一吵|

(2)由題意得四邊形4BCD是平行四邊形，設(shè)兩條平行線力8,CD間的距離為d,則4f⑴-(i+黑)”版令</(i)+a+詈尤.

J1+必,

」_12mli

因為拼1+機2=0，所以"一北言，故喏=x,則有

隋-/(1)|<(1+詈)e<(1+1)?<2e.

所以，令g=f(l)即可知結(jié)論成立.

因此