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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)強基計劃模擬題(十三)
7.
(滿分100分,測試時間:60分鐘)
記Qi={xeQ\x>1}.設(shè)函數(shù)/:Qi-R對于任意心yGQ1滿足不等式|f(%+y)-/(x)-/(y)|<£,這里
一'填空題。(每小題10分)
£是某個大于零的實數(shù).證明:存在q€R,使得對于任意XWQi,都有|竽-q|V2£.
1.
設(shè)集合S={1,2,…,15},A={%,。2,%}是5的子集,且(%,。2,。3)滿足1<a1<a2<a3<15,a3-a2<6,
那么滿足條件的集合4的個數(shù)為_____.
2.
在三棱錐P-4BC中,底面是邊長為3的正三角形,旦|P*=3,|PB|=4,|PC|=5,則三棱錐P-ABC
的體積4_ABC=____-
3.
在區(qū)間(0,+8)上,若方程W-x=lnx有唯?解.則a的值為____.
a
4.
在△48。中,若鬻+萼=3,則sin4的最大值為_____.
tanatanc
二、解答題(每小題20分)
5.
已知分=〃1+打.小.+:
(1)。5是否為有理數(shù)?并寫出證明過程.
(2)證明以為嚴格單調(diào)遞增數(shù)列,且存在上界,并求出一個上界.
6.
在平面直角坐標(biāo)系xOyU」,已知橢圓G:?+/=l(a>b>0),直線h:y=kx+與橢圓G交于48兩
點,直線,2:y=依+7門2(7721Hg)與橢圓G交于C,D兩點,且|AB|=|CD|.
(1)證明:m1+m2=0;
(2)求四邊形A8C。的面積S的最大值.
答案.h2+c21a]c、、2
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號.故Sin4<爭.
1.【答案】371
【解析】當(dāng)2VazV9時,(<h,az)有點種選擇方法,有6種選擇方法,所以(即的,。3)共有6x量=216種
5.r答案】(l)as不是有理數(shù).引理:若XCQ,yfEQ,則"萬任Q.
選擇方法;當(dāng)10<a2<14時,一旦。2取定,%有。2-1種選擇方法,。3有15-。2種選擇方法,所以選擇
證明:x=*(m,n)=1,若不然Jx+y=;,(p,q)=1,貝Ijy='即:3",(m,n)=1.(p,q)=1.所以(mp?-
(%,。2,。3)的方法有E恐1(。2-1)(15-a2)=9x54-10x4+llx3+12x2+13xl=155種.
ng2,mg2)=1,yEQ,矛盾.因為遙任Q,所以CQ.
綜上所述,滿足條件的子集共有371個.
(2)因為
2.【答案】g
【解析】易知SBC是直角三角形,取斜邊PC的中點為0,因為|研二團8|=“|’所以點4在平面PBC上
的射影為宜角△P8C的外心。.連接力0,即有力。1平面P8C.
在RtAAOP中,
Vp-ABC=VA-PBC=1.S&P8C'|4°l=g.6?—VlT.所以“為嚴格單調(diào)遞增數(shù)列.又
3.【答案】a=1或。<0
【解析】二—%=Inx<=>-=
aaxe-x+..
令f(%)=寫竺,則,住)=土、普.由尸(%)=。得X=1.
當(dāng)0V#V1時,/'(X)>0;當(dāng)X>1時,/'(%)<0.所以fCOmax=/(I)=1.又/(%)一一8G-*0+),/(X)->
故6為一個上界.
0(%T+8),所以當(dāng)方程有唯解時,:=1或:<0,即Q=1或QV0.
【解析】略
4.【答案】等6.【答案】(1)
\AB\=y/(x-x)2+(y-y)2=>/l-k2?+小一一4」必
(解析】=3=+^7)=tan4"“片?=3<=>tan4siiL4=3sinBsinC=siM4=1212
tanotanCvsin?sinC'smosinc
22
)------------I2a2kmi、a2m?—ab
3sinFsinCcos/lJl".(--------------------^)-4?—----------5-
22
Jb+dik臣+a2k2
<=>a2=3/JCCOSA.
/2abja2k2-m?+b2
又a?=b2+c2-2bccosA,于是可得5+短
同理,將此式與式③結(jié)合,可知
-----2abja2k2-m2+b2
2m/(l)—(m-1)£—(7i—1)£<7i/(^)<m/(l)+(m—1)£+(n—1)E,
因為|48|=|CD|,所以即
_lazk2-m?+b2______Ja2k2-ml+b2
m/(l)—(m+n—2)s<nf需)<m/(l)+(m+n—2)e,
2ab\!1+/c2----5——=2a6Vl+k2----———
"+a2k2/+a2F
因為7711裝瓶2,所以卅1+巾2=。?兩邊除以m,得
_叫一吵|
(2)由題意得四邊形4BCD是平行四邊形,設(shè)兩條平行線力8,CD間的距離為d,則4f⑴-(i+黑)”版令</(i)+a+詈尤.
J1+必,
」_12mli
因為拼1+機2=0,所以"一北言,故喏=x,則有
隋-/(1)|<(1+詈)e<(1+1)?<2e.
所以,令g=f(l)即可知結(jié)論成立.
因此
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