線性代數(shù)15-1矩陣的初等變換課件

矩陣的初等變換與初等矩陣（I）

在這一講，我們重點(diǎn)介紹矩陣的初等變換1.5.1

初等變換

CONTENTS定義1.11（初等行變換）對(duì)矩陣施行下列三種變換稱為矩陣的初等行變換(elementaryrow

operations)：矩陣的初等變換定義（2）用非零數(shù)k乘以矩陣某行的每個(gè)元素;（3）把某一行的所有元的倍數(shù)加到另一行的對(duì)應(yīng)元上.

（1）交換矩陣的某兩行的位置;換法變換倍法變換消法變換記作記作記作另外，我們也可以定義矩陣的初等列變換，記號(hào)把”r”換成“c”.初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.例如：對(duì)矩陣A

作如下初等行變換：顯然，以上每一步變換都是可以逆回去的，具體如下：（1）初等變換是可逆的，其逆變換是同一類的初等變換.（2）初等變換之后的矩陣與原矩陣一般不再相同.于是，容易得到（3）矩陣B是行階梯形矩陣.……Question（1）任何矩陣都能通過初等變換化為行階梯形矩陣嗎？（2）初等變換之后的矩陣與原矩陣有什么聯(lián)系呢？定理1.3任意m×n矩陣A總可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣.定理1.4任意m×n行階梯形矩陣A總可以經(jīng)過有限次初等行變換化為簡化行階梯形矩陣.這2個(gè)定理蘊(yùn)含著利用初等變換化一個(gè)矩陣為（簡化）行階梯形的一般方法證明請(qǐng)學(xué)生課下閱讀【例1.19】設(shè)矩陣?yán)贸醯刃凶儞Q，求（1）先將A化為行階梯形矩陣，再化為簡化行階梯形

矩陣；（2）不通過求A的行階梯形，直接將A化為簡化行階

梯形矩陣.板書講解觀察例1.19得到（1）利用初等變換將一個(gè)矩陣化為階梯形矩陣的方法是不唯一的，得到的行階梯形矩陣也不唯一.（2）如果再對(duì)其中的C施行列的換法變換，則有例如:

這里的都是行階梯形矩陣.但是，所有這些行階梯形矩陣的非零行數(shù)是相等的.如果對(duì)矩陣M再施以列的消法變換，可得特征：左上角為單位陣，其余元素全部為零標(biāo)準(zhǔn)形矩陣定義1.12（標(biāo)準(zhǔn)形矩陣）如果一個(gè)非零矩陣的左上角為單位矩陣，其它位置的元素都為零，則稱這個(gè)矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.例如：分塊矩陣表達(dá)為任意矩陣有限次初等行變換行階梯形矩陣有限次初等行變換行最簡形矩陣有限次初等列變換

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等變換定理1.5任意m×n矩陣總可以經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.定義1.13（矩陣的等價(jià)）若矩陣A經(jīng)過一系列初等行變換化為矩陣B，則稱A與B行等價(jià)，記作A

B；若矩陣A經(jīng)過一系列初等列變換化為矩陣B，則稱A與B列等價(jià)，記作A

B；若矩陣A經(jīng)過一系列初等變換化為矩陣B，則稱

A與B等價(jià)，記作AB.矩陣的初等變換是矩陣的一種運(yùn)算，變換前后的兩個(gè)矩陣一般不會(huì)相等.但兩者又有千絲萬縷的聯(lián)系.（1）反身性：A～A；（2）對(duì)稱性：若A～B，則B～A；（3）傳遞性：若A～B，B～C，則A～C.矩陣的等價(jià)是一種關(guān)系，它具有下列性質(zhì)：定理1.6任何矩陣都有與它行等價(jià)的行階梯形矩陣和簡化行階梯形矩陣.顯然有如下結(jié)論定理1.7任何一個(gè)m×n矩陣都等價(jià)于一個(gè)如下形式的標(biāo)準(zhǔn)形：此標(biāo)準(zhǔn)形由三個(gè)數(shù)m,n和r唯一確定，其中r是行階梯矩陣的非零行數(shù).稱為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形問題1.1對(duì)于任給定的矩陣

A，它的等價(jià)行階梯形不唯一，

所有等價(jià)行階梯中非零行數(shù)是否都相等呢？進(jìn)一步地，矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形唯一嗎？如果唯一，其中的

是由哪個(gè)量決定的呢？關(guān)于這個(gè)問題，讀者將會(huì)在學(xué)習(xí)完第三章第3.3.1節(jié)之后有深入的理解和答案．所有與矩陣

A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡單的矩陣.小結(jié)初等變換的定