九年級上數(shù)學(xué)《2412-垂直于弦的直徑》課件

回顧圓1、填空：（1）圓的定義是什么？根據(jù)圓的定義，“圓”指的是“

”，是

線，而不是“圓面”。（2）圓心和半徑是確定一個圓的兩個必需條件，圓心決定圓的

，半徑?jīng)Q定圓的

，二者缺一不可。（3）同一個圓的半徑

相等。圓周曲位置大小處處2.回憶弦的概念，過圓上一固定點可以作圓的最長弦有()條.A.1B.2C.3D.無數(shù)條A3.回憶弧的概念問題情境你知道趙州橋嗎?

它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m。你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？新課導(dǎo)入實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？活動一圓是軸對稱圖形．任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸．發(fā)現(xiàn)OABCDE

是軸對稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對稱軸。大膽猜想已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，

CD⊥AB，垂足為E．下圖是軸對稱圖形嗎？活動二為什么？

你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？?思考·OABCDE線段：

AE=BE⌒⌒?。海粒茫剑拢?，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒活動二為什么？大膽猜想連接OA,OB,則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點A和點B關(guān)于CD對稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.驗證猜想疊合法DOABEC看一看B.OCAEDO.CAEBDAE≠BEAE＝BECD⊥AB∵CD是直徑，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE老師提示:垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運用自如.知識要點垂徑定理

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是不是是不是OEDCAB深化：

1．在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE解：答：⊙O的半徑為5cm．練習(xí)：2.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.練習(xí)：

你能利用垂徑定理解決求趙州橋拱半徑的問題嗎?實踐應(yīng)用37.4m7.2mABOCD關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。圓心到弦的距離、半徑、弦構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在的圓的圓心為O，半徑為r.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與AB交于點C，則D是AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高.∴AB=37.4m，CD=7.2m∴AD=1/2AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2∵∴解得r=27.9（m）即主橋拱半徑約為27.9m.⌒⌒

弓形的弦長為6cm，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為________．cm練習(xí)：

在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．

求證：AC＝BD．證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE．

AE－CE＝BE－DE．所以，AC＝BDE．ACDBO隨堂練習(xí)AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB①直徑過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊☆}設(shè)結(jié)論DOABEC垂徑定理將題設(shè)與結(jié)論調(diào)換過來，還成立嗎？這五條進(jìn)行排列組合，會出現(xiàn)多少個命題？①直徑過圓心③平分弦②垂直于弦④平分弦所對優(yōu)弧⑤平分弦所對的劣?。?）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。箯蕉ɡ淼耐普?DOABEC已知：CD是直徑，AB是弦，CD平分AB求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒（1）如何證明？探究：·OABCDE已知：如圖，CD是⊙O的直徑，AB為弦，且AE=BE.證明：連接OA，OB，則OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴AD=BD,⌒⌒求證：CD⊥AB，且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC一個圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直．因此這里的弦如果是直徑，結(jié)論不一定成立．OABMNCD注意為什么強調(diào)這里的弦不是直徑？①直徑過圓心④平分弦所對優(yōu)?、燮椒窒尧诖怪庇谙尧萜椒窒宜鶎Φ牧踊〈箯蕉ɡ淼耐普?（2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。阎篊D是直徑，AB是弦，并且AC＝BC

求證：CD平分AB，CD⊥AB，AD＝BD⌒⌒⌒⌒DOABEC①直徑過圓心⑤平分弦所對的劣弧③平分弦④平分弦所對優(yōu)?、诖怪庇谙掖箯蕉ɡ淼耐普?（2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。阎篊D是直徑，AB是弦，并且AD＝BD

求證：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦③平分弦①直徑過圓心④平分弦所對優(yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。箯蕉ɡ淼耐普?已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求證：CD是直徑，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦④平分弦所對優(yōu)?、僦睆竭^圓心③平分弦⑤平分弦所對的劣弧推論1的其他命題......②垂直于弦⑤平分弦所對的劣?、僦睆竭^圓心③平分弦④平分弦所對優(yōu)?。?）垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直徑過圓心，并且平分弦和所對的另一條?。燮椒窒尧芷椒窒宜鶎?yōu)?、僦睆竭^圓心②垂直于弦⑤平分弦所對的劣弧（5）平分弦并且平分弦所對的一條弧的直徑過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對的另一條弧

．③平分弦⑤平分弦所對的劣?、僦睆竭^圓心②垂直于弦④平分弦所對優(yōu)?、芷椒窒宜鶎?yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊、僦睆竭^圓心②垂直于弦③平分弦（6）平分弦所對的兩條弧的直徑過圓心，并且垂直平分弦．根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說。如果具備（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論結(jié)論CDABE已知：AB．求作：AB的中點．⌒⌒點E就是所求AB的中點．⌒作法：1．連結(jié)AB．2．作AB的垂直平分線CD，交AB于點E．⌒小練習(xí)ABCDE已知：AB．求作：AB的四等分點．⌒⌒作法：1．連結(jié)AB．3．連結(jié)AC．2．作AB的垂直平分線，交AB于點E．⌒4．作AC的垂直平分線，交AC于點F．⌒5．點G同理．點D、C、E就是AB的四等分點．⌒ABC作AC的垂直平分線作BC的垂直平分線這種方法對嗎？等分弧時一定要作弧所夾弦的垂直平分線．×CABO你能確定AB的圓心嗎？⌒作法：1．連結(jié)AB．2．作AB的垂直平分線，交AB于點C．⌒3．作AC、BC的垂直平分線．4．三條垂直平分線交于一點O．點O就是AB的圓心．⌒你能破鏡重圓嗎？ABCmnO作弦AB、AC及它們的垂直平分線m、n，交于O點；以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．作法：依據(jù)：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。阎骸袿中弦AB∥CD．求證：AC＝BD⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB．

∵AB∥CD，∴MN⊥CD．則AM＝BM，CM＝DM

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒．MCDABON你能用一句話概括一下嗎？垂徑定理的推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等．ABCD兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論2有這兩種情況：OOABCD垂徑定理三角形d+h=rdhar有哪些等量關(guān)系？在a，d，r，h中，已知其中任意兩個量，可以求出其它兩個量．課堂小結(jié)1．圓是軸對稱圖形任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸．O

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。?．垂徑定理DOABEC條件結(jié)論命題①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧．平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對的兩條?。怪庇谙也⑶移椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直線經(jīng)過圓心，并且平分弦和所對的另一條弧．平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對的另一條弧．平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心，并且垂直平分弦．3．垂徑定理的推論

經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件．4．解決有關(guān)弦的問題

1．判斷：（1）垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所對的兩?。ǎ?）平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一?。ǎ?）經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦．（）（4）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行．