《近世代數(shù)》課程教學(xué)大綱

PAGE1PAGE6近世代數(shù)基礎(chǔ)BasicAbstractAlgebra【課程編號】BJ25120【課程類別】專業(yè)必修課【學(xué)分?jǐn)?shù)】4【適用專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)【學(xué)時(shí)數(shù)】60【適用專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（本科）【先修課程】數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，復(fù)變函數(shù)一、教學(xué)目的、任務(wù)近世代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）的一門科學(xué)，是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)必修課。近世代數(shù)不僅在數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，而且在學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用，如理論物理、計(jì)算機(jī)學(xué)科等。其研究的方法和觀點(diǎn)，對其他學(xué)科產(chǎn)生了越來越大的影響。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對近世代數(shù)的最基本的知識有較全面了解，初步掌握其理論和方法，以便能更深入地理解過去所學(xué)習(xí)的相關(guān)代數(shù)的知識，并為進(jìn)一步學(xué)習(xí)提高打下基礎(chǔ)。二、課程教學(xué)的基本要求群、環(huán)、域、模是本課程的基本內(nèi)容，要求學(xué)生熟練掌握群、環(huán)、域的基本理論和方法，并對模的概念有所理解。三、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配（一）第一章基本概念4學(xué)時(shí)主要內(nèi)容：1、集合：子集與真子集，并集、交集。2、映射：映射的定義，以及象與逆象的概念。3、代數(shù)運(yùn)算：代數(shù)運(yùn)算的定義及表示法，二元運(yùn)算的概念。4、結(jié)合律：結(jié)合律的定義。5、交換律：交換律的定義。6、分配律：分配律的定義。7、一一映射：滿射、單射、一一映射；變換、單射變換、滿射變換及一一變換。8、同態(tài)：同態(tài)映射、同態(tài)滿射。9、同構(gòu)、自同構(gòu)：同構(gòu)映射、自同構(gòu)。10、等價(jià)關(guān)系與集合：關(guān)系、等價(jià)關(guān)系，分類、全體代表團(tuán)、剩余類。重點(diǎn)：一一映射、同態(tài)、同構(gòu)、自同構(gòu)、分類。難點(diǎn)：建立映射關(guān)系與同構(gòu)關(guān)系，等價(jià)關(guān)系與分類之間的相互轉(zhuǎn)換。教學(xué)要求：1、理解集合的概念，了解元素與集合之間的關(guān)系，以及集合之間的運(yùn)算。2、理解映射的概念，能在集合之間建立映射關(guān)系，并能判斷兩個(gè)映射是否相同。3、掌握代數(shù)運(yùn)算與映射的關(guān)系，能建立有限集合之間的運(yùn)算表。4、掌握將結(jié)合律、交換律、第一、第二分配律推廣到n元的定理，并能判斷給定的運(yùn)算能否滿足結(jié)合律、交換律以及兩種分配律。5、掌握一一映射的定義，并能建立兩個(gè)集合之間的滿射、單射、一一映射，能判定給定的映射是否是一一映射。6、掌握同態(tài)映射的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射的關(guān)系，并能判定映射是否是同態(tài)滿射，掌握具有同態(tài)滿射的集合之間的聯(lián)系。7、掌握同構(gòu)映射和自同構(gòu)的概念，能區(qū)分同態(tài)與同構(gòu)的差別，理解兩個(gè)具有同構(gòu)關(guān)系的集合之間的關(guān)系，并能判定給定的映射和運(yùn)算是否是同構(gòu)關(guān)系，能建立兩個(gè)集合之間的同構(gòu)映射。8、理解關(guān)系和等價(jià)關(guān)系的概念，掌握等價(jià)關(guān)系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，熟練判定給定的關(guān)系是否是等價(jià)關(guān)系，并熟悉剩余類的基本特性，以便為群、環(huán)提供典型的范例，能建立整數(shù)間給定的模的剩余類。其它教學(xué)環(huán)節(jié)：習(xí)題課1個(gè)課時(shí)，課后練習(xí)題的講解。（二）第二章群論16學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)+課程實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：1、群的定義：群的第一定義、群的第二定義，左、右單位元，左、右逆元，群的階，有限群和交換群的定義。2、單位元、逆元、消去律：單位元的存在性和唯一性，逆元的概念，元的階，消去律。3、有限群的另一定義：有限群的另一定義。4、群的同態(tài)：和一個(gè)群同態(tài)的非空集合也是一個(gè)群。在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元a的逆元的象是a的象的逆。5、變換群：恒等變換，集合的若干個(gè)變換（包含恒等變換）構(gòu)成的集合作成群，變換群的定義與基本定理。6、置換群：置換、置換群，對稱群，k-循環(huán)置換，循環(huán)置換的乘積，有限群與置換群的關(guān)系。7、循環(huán)群：循環(huán)群、生成元，整數(shù)加群，剩余類加群，生成元的階。8、子群：子群的定義，子集成群的充分必要條件，有限子集成群的充分必要條件，S生成的子群。9、子群的陪集：右陪集、左陪集，左、右陪集個(gè)數(shù)的關(guān)系，指數(shù)，Lagrange定理，有限群中群的階和元的階的關(guān)系。10、不變子群、商群：不變子群、商群。重點(diǎn)：群的定義、變換群及其基本定理，置換群、子群。難點(diǎn)：變換群、子群的陪集、商群。教學(xué)要求：1、了解群的第一、第二定義，并掌握兩者之間的等價(jià)轉(zhuǎn)換，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念。2、充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，能熟練掌握群與階的關(guān)系，會計(jì)算群元素的周期。3、了解有限群的定義，并理解該定義不適用無限群的原因。4、理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握和一個(gè)群同態(tài)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的有關(guān)性質(zhì)，并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元a的逆元的象是a的象的逆。5、掌握循環(huán)群的定義和由生成元決定循環(huán)群的性質(zhì)與特點(diǎn)，熟練掌握剩余類加群，并能證明任一循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為n的剩余類加群同構(gòu)，以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。6、熟練掌握變換的符號的運(yùn)用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個(gè)群都同一個(gè)變換群同構(gòu)的定理的證明。掌握元素求逆等運(yùn)算。7、理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個(gè)n元置換都可以寫成若干個(gè)互相沒有共同數(shù)字的（不相連）的循環(huán)置換的乘積的證明與運(yùn)用。理解有限群與置換群的同構(gòu)關(guān)系。8、了解子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關(guān)系，以及子群與子群之間的關(guān)系。9、掌握陪集的定義，以及與等價(jià)關(guān)系和分類之間的關(guān)系，了解子群與陪集之間的映射關(guān)系，并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素?cái)?shù)的群一定為循環(huán)群的證明。10、了解不變子群的定義，能掌握一個(gè)群的子群是不變子群的充分必要條件的定理，理解商群的定義，了解的意義及其應(yīng)用。11、能證明一個(gè)群同它的每一個(gè)商群同態(tài)的定理，了解核的定義，掌握兩個(gè)具有同態(tài)關(guān)系的群之間子群或不變子群的象的性質(zhì)。并能將子群或不變子群的性質(zhì)運(yùn)用到循環(huán)群、變換群等中。其它教學(xué)環(huán)節(jié)：習(xí)題課2個(gè)課時(shí)，課后練習(xí)題的講解。（三）第三章環(huán)與域15學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)+課程實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：1、加群、環(huán)的定義：加群、負(fù)元、零元，環(huán)。2、交換律、2、單位元、零因子、整環(huán)：交換律、交換環(huán)，單位元、逆元、零因子、模n的剩余類環(huán)、整環(huán)。3、除環(huán)、域：除環(huán)、域，除環(huán)的乘群，四元數(shù)除環(huán)。4、無零因子環(huán)的特征：沒有零因子的環(huán)的性質(zhì)，特征的定義，整環(huán)、除環(huán)以及環(huán)的特征的性質(zhì)。5、子環(huán)、環(huán)的同態(tài)：子環(huán)、子除環(huán)，子整環(huán)、子域，同態(tài)環(huán)或子環(huán)的性質(zhì)，同構(gòu)環(huán)的性質(zhì)。6、多項(xiàng)式環(huán)：多項(xiàng)式、系數(shù)，多項(xiàng)式環(huán)，未定元，次數(shù)，多項(xiàng)式的系數(shù)、無關(guān)未定元。7、理想：理想子環(huán)（理想），零理想，單位理想，主理想。8、剩余類環(huán)、同態(tài)與理想：模ц的剩余類環(huán)，剩余類環(huán)，在環(huán)到環(huán)的同態(tài)映射下的性質(zhì)。9、最大理想：最大理想。10、商域：商域，商域適合的計(jì)算規(guī)則。重點(diǎn)：環(huán)、域，理想。難點(diǎn)：環(huán)的同態(tài)，最大理想，商域。教學(xué)要求：1、掌握加群的定義，熟悉環(huán)的定義，環(huán)中的計(jì)算規(guī)則。2、理解交換環(huán)的定義，熟悉單位元、逆元和零因子的性質(zhì)并能熟練運(yùn)用。掌握消去律與零因子的關(guān)系。3、了解除環(huán)的定義，與能舉出域的例子，除環(huán)與加群、乘群的關(guān)系，理順環(huán)——交換環(huán)、有單位元環(huán)和無零因子環(huán)——整環(huán)、除環(huán)——域的關(guān)系。4、熟悉無零因子環(huán)中的計(jì)算規(guī)則，掌握無零因子環(huán)中特征的性質(zhì)5、理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫出子整環(huán)、子域的概念，熟悉子除環(huán)的子集作成子除環(huán)的條件，了解同態(tài)、同構(gòu)環(huán)之間的性質(zhì)，并對環(huán)、除環(huán)的中心有一定的了解。6、了解多項(xiàng)式成環(huán)，熟悉多項(xiàng)式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無關(guān)未定元的作用。7、理解理想子環(huán)的構(gòu)成，以及零理想、單位理想和主理想的構(gòu)成，能判斷一個(gè)環(huán)是否是理想子環(huán)，和理想子環(huán)是否為主理想子環(huán)。8、理解一個(gè)環(huán)的所有模ц的剩余類作成的集合也是環(huán)，且與原來的環(huán)同態(tài)。了解在同態(tài)映射下的兩個(gè)環(huán)相互之間的關(guān)系、性質(zhì)。9、了解什么是最大理想，且和剩余類環(huán)的關(guān)聯(lián)。10、掌握沒有零因子的交換環(huán)一定是一個(gè)域的子環(huán)，了解商域的構(gòu)成，并掌握同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)的定理。其它教學(xué)環(huán)節(jié)：習(xí)題課2個(gè)課時(shí)，課后練習(xí)題的講解。（四）第四章整環(huán)里的因子分解9學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)+課程實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：1、素元、唯一分解：整除，單位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解。2、唯一分解環(huán)：唯一分解環(huán)，唯一分解環(huán)的性質(zhì)，公因子、最大公因子，最大公因子的存在性。3、主理想環(huán)：主理想環(huán)，主理想和最大理想、分解環(huán)的關(guān)系。4、歐氏環(huán)：歐氏環(huán)的定義，歐氏環(huán)和主理想環(huán)的關(guān)系。5、多項(xiàng)式環(huán)的因子分解：本原多項(xiàng)式的定義及其引理。6、因子分解與多項(xiàng)式的根：多項(xiàng)式的根、重根、導(dǎo)數(shù)，重根的判別定理。重點(diǎn)：唯一分解，主理想環(huán)，多項(xiàng)式和多項(xiàng)式的根。難點(diǎn)：唯一分解環(huán)，主理想、最大理想，歐氏環(huán)。教學(xué)要求：1、了解整除，單位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整環(huán)中不等于零的元有真因子的充分而且必要的條件，掌握唯一分解的定義，了解整環(huán)中的元是否都有唯一分解。2、知道唯一分解環(huán)的定義和性質(zhì)，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判別唯一分解環(huán)的方法。3、理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。4、了解歐氏環(huán)的定義，理解歐氏環(huán)、整數(shù)環(huán)都是主理想環(huán)與唯一分解環(huán)的證明，并能證明域一定是一個(gè)歐氏環(huán)。5、知道本原多項(xiàng)式的定義，理解本原多項(xiàng)式的性質(zhì)，和本原多項(xiàng)式的唯一分解性，并對分解環(huán)有進(jìn)一步的認(rèn)識。6、了解多項(xiàng)式的根和性質(zhì)，掌握重根和導(dǎo)數(shù)的定理和推論。其它教學(xué)環(huán)節(jié)：習(xí)題課2個(gè)課時(shí)，課后練習(xí)題的講解。（五）第五章擴(kuò)域8學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)+課程實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：1、擴(kuò)域、素域:擴(kuò)域，素域，擴(kuò)域的結(jié)構(gòu)，添加有限元所得的子域，單擴(kuò)張。2、單擴(kuò)域：代數(shù)元，超越元，單代數(shù)擴(kuò)域，單超越擴(kuò)域，單擴(kuò)域的結(jié)構(gòu)，極小多項(xiàng)式、次數(shù)。3、代數(shù)擴(kuò)域：代數(shù)擴(kuò)域，擴(kuò)域在域上的次數(shù)，有限擴(kuò)域，無限擴(kuò)域。4、多項(xiàng)式的分裂域：代數(shù)閉域，多項(xiàng)式在域上的分裂域的定義、性質(zhì)、存在性和唯一性定理。5、有限域：有限域定義、性質(zhì)、存在，有限域與素域的關(guān)系。重點(diǎn)：擴(kuò)域，素域，多項(xiàng)式的分裂域，有限域。難點(diǎn)：擴(kuò)域，素域，多項(xiàng)式的分裂域，有限域。教學(xué)要求：1、了解擴(kuò)域的概念和研究域的方法，掌握素域的概念及同構(gòu)定理，討論添加有限元所得的子域，單擴(kuò)張的定義。2、知道代數(shù)元、超越元、單代數(shù)擴(kuò)域和單超越擴(kuò)域的定義和結(jié)構(gòu)，以及極小多項(xiàng)式、次數(shù)的概念。3、理解代數(shù)擴(kuò)域的概念，擴(kuò)域在域上的次數(shù)、有限擴(kuò)域、無限擴(kuò)域的定義和定理。4、了解代數(shù)閉域和多項(xiàng)式的分裂域的定義，理解多項(xiàng)式的分裂域的性質(zhì)、存在唯一性定理及其證明，并能證明多項(xiàng)式的分裂域都同構(gòu)。5、知道有限域的定義，理解有限域的性質(zhì)，和有限域的存在定理，并對一個(gè)有限域一定是他所含素域的一個(gè)擴(kuò)張有進(jìn)一步的認(rèn)識。其它教學(xué)環(huán)節(jié)：習(xí)題課1個(gè)課時(shí)，課后練習(xí)題的講解。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及教學(xué)方法重點(diǎn)：群、正規(guī)子群、環(huán)、理想、同態(tài)基本原理。難點(diǎn)：商群、商環(huán)。教學(xué)方法：課堂講授