分析動力學(xué)基礎(chǔ)

分析動力學(xué)基礎(chǔ)1第1頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月動力學(xué)普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程的首次積分2023/7/302第2頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月運用矢量力學(xué)分析非自由質(zhì)點系，必然會遇到約束力多，方程數(shù)目多，求解煩瑣，能否建立不含未知約束力的動力學(xué)方程？將達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合，建立動力虛功方程，廣義坐標(biāo)化，能量化，化為第二類拉氏方程，實現(xiàn)用最少數(shù)目方程，描述動力系統(tǒng)。2023/7/303第3頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

一.方程的一般形式動力學(xué)普遍方程或達(dá)朗貝爾－拉格朗日原理理想約束，不論約束完整，定常與否均適用§9-1動力學(xué)普遍方程2.直角坐標(biāo)形式：1.矢量形式：2023/7/304第4頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月3.廣義坐標(biāo)形式設(shè)完整約束系統(tǒng)有K個自由度，可取廣義坐標(biāo).廣義主動力廣義慣性力注意:

包含了慣性力虛功!2023/7/305第5頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

圖示為離心式調(diào)速器已知：m1,m2

,l,,求：(θ)

的關(guān)系。BACllllθθ答：m1gm2gm1g2023/7/306第6頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例2已知求a?答:2023/7/307第7頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/308第8頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例3已知重量 輪純滾,水平面光滑,求三棱柱加速度。2023/7/309第9頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月解:加慣性力，受力如圖。選廣義坐標(biāo)。由有即(a)又由

有2023/7/3010第10頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月式(a)代入(b),可得令時，牽連慣性力并不為零；

令時，相對慣性力并不為零，兩者相互獨立。(b)即注意:2023/7/3011第11頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

例4

均質(zhì)圓柱1與薄壁圓筒2用繩相連，并多圈纏繞圓筒(繩與滑輪A的重量不計)。已知試求運動過程中輪心C與輪心O的加速度大小。

圖(a)2023/7/3012第12頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月圖(b)取兩輪轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，其受力與運動分析，如圖(b)所示，令

，由(a)有

(b)解:自由度k=22023/7/3013第13頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月將式(a)及代入(b)式，得(c)再令由有

聯(lián)立(c)和(d)式，可得即(d)圖(b)2023/7/3014第14頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月1.本題中如何求繩的張力及圓柱純滾的條件?2.用動力學(xué)普遍定理如何求解?3.計入滑輪A質(zhì)量,結(jié)果有何變化?圖(b)思考2023/7/3015第15頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

不便計算，拉格朗日方程利用兩個經(jīng)典微分關(guān)系。將能量化從而導(dǎo)出拉氏方程。

§9-2拉格朗日方程對于完整的約束系統(tǒng)，動力學(xué)普遍方程的廣義坐標(biāo)形式為1)

“同時消點”2)“交換關(guān)系”（求導(dǎo)）

2023/7/3016第16頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月一、拉氏方程的一般形式第二類拉氏方程，以t為自變量，為未知函數(shù)的二階常微分方程組，2k個積分常量，須2k個初始條件2023/7/3017第17頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月OARrM例1

均質(zhì)桿OA質(zhì)量為m1、可繞軸O轉(zhuǎn)動,大齒輪半徑為R，小齒輪質(zhì)量為m2，半徑為r

，其上作用一常力偶M，設(shè)機(jī)構(gòu)處于水平面。求：該桿的運動方程。答：2023/7/3018第18頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例2已知：m1,m2,R,f,F。求：板的加速度a。FCR答：Oxx2023/7/3019第19頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月解:本系統(tǒng)為完整約束，主動力非有勢，采用基本形式的拉氏方程求解。例３.

如圖所示，鉸盤半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，其上作用力偶矩為M的力偶，重物質(zhì)量分別為不計摩擦與滑輪質(zhì)量，求鉸盤的角加速度①判斷系統(tǒng)的自由度，取廣義坐標(biāo)。本題中，

，取

為廣義坐標(biāo)，2023/7/3020第20頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月②計算系統(tǒng)的T與則有2023/7/3021第21頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月③代入拉氏方程，得系統(tǒng)的運動微分方程。代入中，得(a)代入

中，得(b)④解方程，求加速度。，得2023/7/3022第22頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二、勢力場中的拉氏方程

若主動力有勢則有

引入拉格朗日函數(shù)注意到2023/7/3023第23頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例１.圖示兩均質(zhì)圓輪沿斜面純滾，均質(zhì)桿AB與兩輪心鉸接。已知試求系統(tǒng)微振動微分方程及圓頻率。

2023/7/3024第24頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月，代入拉氏方程

中，有

解:系統(tǒng)自由度為1。取輪心B沿斜面位移x為廣義坐標(biāo)。平衡位置為零勢能位置，則任意x位置時，系統(tǒng)的拉氏函數(shù):2023/7/3025第25頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月與簡諧振動微分方程對比可知振動圓頻率

即

為所求微分方程。

2023/7/3026第26頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

例２與剛度為k

的彈簧相連的滑塊A，質(zhì)量為m1,可在光滑水平面上滑動。滑塊A上又連一單擺，擺長l，擺錘質(zhì)量為m2

，試列出該系統(tǒng)的運動微分方程。答：2023/7/3027第27頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例３如圖所示，物A重為Ｇ１，物B重為Ｇ２，彈簧剛度系數(shù)為k，其O端固定于物A上，另一端與物B相連。系統(tǒng)由靜止開始運動，不計摩擦與彈簧質(zhì)量，且彈簧在初瞬時無變形，試求運動中物A的加速度。2023/7/3028第28頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月解：系統(tǒng)處于勢力場中，自由度為2，取A的絕對位移，B的相對位移(彈簧的絕對伸長量)為廣義坐標(biāo)。取系統(tǒng)的初始位置為零勢能位置。在任意時刻t,2023/7/3029第29頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月將以上各項代入下列拉氏方程得

(a)(b)2023/7/3030第30頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月由式(a)和式(b)消去，得

(c)其中由式(c)解得由

時，

，得

故(d)

2023/7/3031第31頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月將式(d)代入式(c)，再將式(c)和(d)代入式(b)得率為。

順便指出，由式(c)和(d)可知，物B相對于物A作在常力作用下的簡諧振動，其振幅為，固有頻2023/7/3032第32頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月思考：本題中，a)如何求A，B兩物塊所受光滑面的約束力?b)若初瞬時彈簧有一初始伸長結(jié)果有何變化?

c)試用質(zhì)心運動定理和動能定理求解本例，并比較各種方法特點。2023/7/3033第33頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.3拉格朗日方程的初積分

拉氏方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)的二階非線性常微分方程,尋求其解析解通常是十分困難的。但對于保守系統(tǒng)，在某些條件下，可經(jīng)首次積分降為一階，從而使得保守系統(tǒng)動力學(xué)問題的求解過程進(jìn)一步簡化。且具有明顯的物理意義。

循環(huán)坐標(biāo)－如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標(biāo)qr

,則該坐標(biāo)稱為系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)。一、廣義動量積分

保守系統(tǒng)拉格朗日方程的初積分包括：廣義動量積分、廣義能量積分。2023/7/3034第34頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月于是拉氏方程成為稱為循環(huán)積分稱為廣義動量，因此循環(huán)積分也可稱為系統(tǒng)的廣義動量積分。保守系統(tǒng)對應(yīng)于循環(huán)坐標(biāo)的廣義動量守恒。2023/7/3035第35頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月二.廣義能量積分廣義能量積分

保守系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)不顯含時間t時，保守系統(tǒng)的廣義能量守恒。

當(dāng)系統(tǒng)約束為定常時，系統(tǒng)的廣義能量積分式就是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。2023/7/3036第36頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月

一個系統(tǒng)循環(huán)積分可能不止一個，有幾個循環(huán)坐標(biāo)，便有幾個相應(yīng)的循環(huán)積分；但能量積分只可能有一個。

循環(huán)積分和能量積分都是由保守系統(tǒng)拉格朗日方程積分一次得到的，它們都是比拉格朗日方程低一階的微分方程。2023/7/3037第37頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例１質(zhì)量為m半徑為r的圓環(huán)在圓心A上鉸接一長度為l質(zhì)量亦為m的單擺B如圖示。試就以下兩種情況討論其拉格朗日方程的初積分：（1）圓環(huán)作純滑動；（2）圓環(huán)作純滾動。答：(1)圓環(huán)作純滑動

AxOφ(2)圓環(huán)作純滾動

2023/7/3038第38頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例２均質(zhì)輪與均質(zhì)桿質(zhì)量均為m，輪半徑為r，桿長l。若桿由水平靜止釋放，輪純滾。求時及。選x和θ為廣義坐標(biāo)。2023/7/3039第39頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月故有循環(huán)積分，常數(shù)(初始為0)又約束定常、完整、理想、且系統(tǒng)保守。即(b)x方向廣義動量守恒，并非系統(tǒng)x方向動量守恒。故常數(shù)2023/7/3040第40頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月時，(a)，(b)兩式為解之得1.若接觸平面光滑(f=0)，結(jié)果如何?2.若左邊連接一水平彈簧(k)，結(jié)果又如何?3.能否用動力學(xué)普遍定理求解?2023/7/3041第41頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月例3

如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為r的勻質(zhì)輪在質(zhì)量為、半徑為R的薄壁筒內(nèi)無滑動地滾動，設(shè)OC與重力方向夾角為，起始時系統(tǒng)靜止。試求運動中圓筒轉(zhuǎn)角與的關(guān)系。

2023/7/3042第42頁，課件共45頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)保守且約束完整、定常，自由度為2，取與為廣義坐標(biāo)。設(shè)圓輪角速度為，由，有。

因L不含(為循環(huán)坐標(biāo))，故相應(yīng)的廣義動量守恒，并考慮到時，設(shè)O為零勢能