條件概率與全概率公式課件

第二節(jié)隨機事件的概率第二節(jié)隨機事件的概率概率論集合論樣本空間（必然事件）Ω

全集不可能事件Φ

空集Φ子事件A?B

子集A?B和事件A∪B

并集A∪B積事件A∩B

交集A∩B

差事件A-B

差集A-B

對立事件補集小結概率論Venn圖演示集合的關系與運算事件之間的運算律

交換律

結合律

分配律

摩根律

Venn圖演示集合的關系與運算事件之間的運算律交換律

設試驗結果共有n個基本事件ω1，ω2，...，ωn

，而且這些事件的發(fā)生具有相同的可能性古典概型的概率計算

確定試驗的基本事件總數(shù)事件Ａ由其中的m個基本事件組成

確定事件A包含的基本事件數(shù)設試驗結果共有n個基本事件ω1，ω2，..幾何概型

GeometricProbability

將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。事件A就是所投擲的點落在S中的可度量圖形A中

幾何度量--------指長度、面積或體積

特點

有一個可度量的幾何圖形S試驗E看成在S中隨機地投擲一點幾何概型GeometricProbability將

給定一個隨機試驗，Ω是它的樣本空間，對于任意一個事件Ａ，賦予一個實數(shù)，如果滿足下列三條公理，非負性：

規(guī)范性：Ｐ(Ω)=1

可列可加性：那么，稱為事件Ａ的概率．概率的公理化定義Ｐ(Ａ)≥0兩兩互不相容時Ｐ（Ａ1∪Ａ2∪…）=Ｐ（Ａ1）+Ｐ（Ａ2）+…

給定一個隨機試驗，Ω是它的樣本空間，對于任意若AB，則P(B－A)=P(B)－P(A)若AB，則P(B－A)=P(練一練投擲兩顆骰子,試計算兩顆骰子的點數(shù)之和在4和10之間的概率（含4和10）.解設“兩顆骰子的點數(shù)之和在4和10”為事件A總的基本事件數(shù)為所包含的樣本點為所以練一練投擲兩顆骰子,試計算兩顆骰子的點數(shù)之解設“兩顆骰例已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,試在下列兩種情形下分別求出P(A-B)與P(B-A)(1)事件A,B互不相容(2)事件A,B有包含關系解(2)由已知條件和性質(zhì),推得必定有例已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,試在下列兩種(1)練一練

考察甲，乙兩個城市6月逐日降雨情況。已知甲城出現(xiàn)雨天的概率是0.3,乙城出現(xiàn)雨天的概率是0.4,甲乙兩城至少有一個出現(xiàn)雨天的概率為0.52,試計算甲乙兩城同一天出現(xiàn)雨天的概率.解設A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”則所以練一練考察甲，乙兩個城市6月逐日降雨情況。已知甲城出現(xiàn)練一練把6個小球隨機地投入6個盒內(nèi)(球,盒可識別),求前三個盒當中有空盒的概率.解設表示第個盒空著則所求概率為練一練把6個小球隨機地投入6個盒內(nèi)(球,盒解設1.3條件概率與全概率公式1.3條件概率與全概率公式一、條件概率

ConditionalProbability拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)A={出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}＝｛１，３，５｝B={出現(xiàn)的點數(shù)不超過3}＝｛１，２，３｝

若已知出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，求出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)的概率

即事件B已發(fā)生，求事件A

的概率Ｐ（Ａ｜Ｂ）

AB都發(fā)生，但樣本空間縮小到只包含Ｂ的樣本點一、條件概率ConditionalProbability

設Ａ，Ｂ為同一個隨機試驗中的兩個隨機事件,且Ｐ（Ｂ）＞０，則稱為在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率．

定義條件概率

ConditionalProbability設Ａ，Ｂ為同一個隨機試驗中的兩個隨機事件,Samplespace

ReducedsamplespacegiveneventB條件概率

P(A|B)的樣本空間SamplespaceReducedsamplesp概率

P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了區(qū)別：（1）在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同時發(fā)生。（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為。因而有概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都

例設某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).例設某種動物由出生算起活到20年以上的條件概率的性質(zhì)(自行驗證)條件概率的性質(zhì)(自行驗證)例如：例如：1)用定義：P(A|B)=P(AB)/P(B)；

2)減縮樣本空間：將S減縮為S′=B，在B中計算A的概率.

計算條件概率P(A|B)的方法1)用定義：P(A|B)=P(AB)/P(B)；計算例1

擲兩顆骰子，記B=“兩顆骰子點數(shù)相等”，A=“兩顆骰子點數(shù)之和為4”，求P(A|B).解:樣本空間

S=｛(1,1),(1,2),…,(1,6),

(2,1

)…,(2,6)，…，(6,6)｝,B=｛(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)｝,A=｛(1,3)，(2,2)，(3,1)｝,AB=｛(2,2)｝.于是

P(A|B)=P(AB)/P(B)=(1/36)/(6/36)=1/6.例1擲兩顆骰子，記B=“兩顆骰子點數(shù)相等”，A=另解：減縮樣本空間

S′=B=｛(1,1)，(2,2)，(3,3)，

(4,4)，(5,5)，(6,6)｝，

而

B中只有一個樣本點(2,2)屬于A，所以

P(A|B)=1/6

.另解：減縮樣本空間例2

設100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品．從中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解設Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，則

（1）因為100件產(chǎn)品中有70件一等品，所以（2）方法1：方法2：

因為95件合格品中有70件一等品，所以例2設100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二、乘法法則

推廣二、乘法法則推廣乘法公式的應用：乘法公式主要用于求幾個事件同時發(fā)生的概率.例

一批零件100個，其中10個不合格品，從中一個一個不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：記Ai=“第i次取出的是不合格品”，

Bi=“第i次取出的是合格品”，依題意：

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=(90/100)(89/99)(10/98)=0.0825.乘法公式的應用：解：記Ai=“第i次取出的是不合格品”，解

一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊?，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．設Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球,則（2）（3）（1）例解一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任取解三、全概率公式

因為Ｂ＝ＡＢ∪

，且ＡＢ與互不相容，所以＝0.6一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊?，求第二次取到白球的概率例A={第一次取到白球}B={第二次取到白球}解三、全概率公式因為Ｂ＝ＡＢ∪，且ＡＢ與互不相容，所全概率公式全概率公式定義完備事件組：設是試驗E的樣本空間，事件A1,A2,….,An是樣本空間的一個劃分，滿足：(1)A1∪A2∪….∪An=(2)A1,A2,….,An兩兩互不相容，則稱事件A1,A2,….,An組成樣本空間的一個完備事件組。定義完備事件組：引例.一箱中混裝有3個廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品,知:任取1件,求取到次品的概率.AΩA1A2A31廠占有1/2,次品率為2%,2廠占有1/4,次品率為2%,3廠占有1/4,次品率為4%,引例.一箱中混裝有3個廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品,知:任取1件,求取到定理

設S是樣本空間，事件組B1，B2，…，Bn為S

的一個劃分，且P(Bi

)

>0，A為一事件，則有

P(A)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…

+P(A|Bn)P(Bn)，并且稱此式為全概率公式.證明：由A=AS=A

(B1∪B2∪

…

∪Bn

)=AB1∪AB2∪

…

∪ABn

，由假設進而得到

P(A)

=P(AB1)+P(AB2)+…

+P(ABn)=

P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn).B1B2BnSA定理設S是樣本空間，事件組B1，B2，…，Bn為SB注：

全概率公式用于求復雜事件的概率；全概率公式是求“最后結果”的概率；使用全概率公式關鍵在于尋找另一組事件來“分割”樣本空間；全概率公式最簡單的形式：注：例.一箱中混裝有3個廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品,知:任取1件,求取到次品的概率.ASA1A2A3解::”取到產(chǎn)品屬于k廠”

設A:”取到次品”1廠占有1/2,次品率為2%,2廠占有1/4,次品率為2%,3廠占有1/4,次品率為4%,設稱A1A2A3

是S的1個3劃分例.一箱中混裝有3個廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品,知:任取1件,求取到次ASA1A2A3ASA1A2A3例

設播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概率．解

設從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構成完備事件組，又設Ｂ表示任選一顆種子所結的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825例設播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，四、貝葉斯公式Bayes’Theorem后驗概率四、貝葉斯公式Bayes’Theorem后驗概率

設A1，A2，…,An構成完備事件組，且諸P（Ai）>0)B為樣本空間的任意事件，P（B）>0,則有(k=1,2,…,n)證明貝葉斯公式Bayes’Theorem設A1，A2，…,An構成完備事件組，且諸P（

例設某工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%，35%，40%，而且各車間的次品率依次為5%，4%，2%．現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個次品，試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率．解

設Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，Ｂ表示產(chǎn)品為次品．顯然，Ａ1，Ａ2

，Ａ3

構成完備事件組．依題意，有Ｐ(Ａ1)＝25%,Ｐ(Ａ2)=35%,Ｐ(Ａ3)＝40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝5%,Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4%,Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝2%Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝

例設某工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)甲箱中有3個白球，2個黑球，乙箱中有1個白球，3個黑球?，F(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱任意取出一球。問從乙箱中取出白球的概率是多少？解設B=“從乙箱中取出白球”，A=“從甲箱中取出白球”，練一練利用全概率公式甲箱中有3個白球，2個黑球，乙箱中有1個白球，3個黑球?，F(xiàn)從已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，問其為男子的概率是多少？（設男子和女子的人數(shù)相等）。練一練解：設A=“男子”，B=“女子”C=“這人有色盲”

已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。例：通訊中，等可能地傳送字符AAAA、BBBB和CCCC三者之一．由于通訊中存在干擾，正確接收字母的概率為0.6，接收其他兩個字母的概率均為0.2．假定前后字母是否被扭曲互不影響．（1）求收到字符ABCA的概率；（2）若收到字符ABCA，求它本來是AAAA的概率又是多大？例：通訊中，等可能地傳送字符AAAA、解：記A4

表示事件“發(fā)AAAA”,B4表示事件“發(fā)BBBB”，C4

表示事件“發(fā)CCCC”，D表示事件“收ABCA”，由題意知P（A4

）=P（B4

）=P（C4

）=1/3且

P(D|A4)=0.62×0.22=0.0144,P(D|B4)=0.6×0.23=0.0048=P(D|C4)(1)由全概率公式得，P(D)=P(A4)P(D|A4

）+P(B4)P(D|B4）+P(C