第四章·幾何圖形初步·第2課時·直線、射線、線段和反向延長線

初中數學第四章《幾何圖形初步》“直線、射線、線段、反向延長線”培訓教程知識點精講幾何圖形中有四種線，即：直線、射線、線段和反向延長線。問(1)：在平面內，如何作一條直線？如何確定兩條直線相交？圖1圖2答：依據“直線公理”：兩點確定一條直線。如圖1，在平面內任取兩點A、B，把點A、B用直線連接起來，再把這條線的兩端延長，就作出了一條直線AB。答：當兩條直線只有一個公共點時，這兩條直線相交。這個公共點叫做這兩條直線的交點。如圖2，直線AB和CD只有一個公共點O，則這兩條直線相交，點O就是直線AB和CD的交點。問(2)：如何區(qū)分直線、射線、線段和反向延長線？答：依據定義區(qū)分，如圖所示：①直線就是沒有端點、可以向兩邊無限延伸、不能測量長度的線。如圖，就是直線，沒有端點，可以向兩端無限延伸。②射線就是有一個端點，可以向另一邊無限延伸、不能測量長度的線。如圖，、就是射線，有一個端點O，向另一邊無限延伸。③線段就是直線上任意兩點之間的部分，有兩個端點，可以測量長度的線。如圖，AB就是線段，有兩個端點A、B，可以測量長度。④反向延長線就是從一條射線或線段的端點出發(fā)，與從這個端點出發(fā)的射線或線段的方向相反，且和這條射線或線段在同一條直線上的射線或線段。任意一條射線或線段都有反向延長線，直線沒有反向延長線。如圖，射線OA從線段OB的端點O出發(fā)，與從點O出發(fā)的線段OB的方向相反，且和OB在同一條直線上且。此時，射線OA就是線段OB的反向延長線?！纠?】直線上點的個數和及其對應的線段條數如下表所示。由表中的數據分析：當直線上增至9個點時，直線上有多少條線段？直線上點的個數23456直線上線段的條數1361015解：分析表中的數據，可以發(fā)現以下規(guī)律：如表所示：直線上點的個數增至n個時，直線上線段的條數則對應增加n－1條?！喈斨本€上增至7個點時，直線上線段的條數則對應增加6條，線段的條數=15＋6=21條。當直線上增至8個點時，直線上線段的條數則對應增加7條，線段的條數=21＋7=28條。當直線上增至9個點時，直線上線段的條數則對應增加8條，線段的條數=28＋8=36條。線段的長度就是線段兩個端點之間的距離。線段之間，可以通過測量比較長短也可以不用測量比較長短。問(3)：不用測量線段的長度，如何比較兩條線段的長短？圖1圖2圖3答：如圖，已知線段AB和。把AB移到上，使端點A、重合。①如圖1，若端點B、也重合，則這兩條線段兩個端點之間的距離相等，所以兩條線段的長度相等，即：AB=；②如圖2，若端點B落在之內，則端點A、B之間的距離小于端點、之間的距離，所以線段AB的長小于線段的長，即：AB＜；③如圖3，若端點B落在之外，則端點A、B之間的距離大于端點、之間的距離，所以線段AB的長大于線段的長，即：AB＞。由以上比較兩條線段長短的方法可知：不用測量線段的長度，通過平移重疊的方式就可以比較兩條線段的長短。問(4)：運用這種方法，如何表示兩條線段之和、兩條線段之差？答：如圖，已知線段AB和。①將這兩條線段AB、移到同一條直線上，使端點B、重合，線段AB、不重疊。由此得到的線段A的長度就是兩條線段之和，即：AB＋=A。②若這兩條線段長度不相等，AB＜，使端點A、重合，線段AB、重疊。因為線段AB比短，所以端點B落在之內。由此得到線段B就是兩條線段之差，即：－AB=B。若這兩條線段長度相等，AB=，則端點A、和B、都重合，所以兩條線段重合，沒有剩余部分，兩條線段之差為0，即：AB－=0。在一條線段的兩個端點之間取一點，把這條線段分成兩條相等的線段，就得到了這條線段的中點。問(5)：什么是線段的中點？什么是線段的三分點、四分點？由此類推，從中可以發(fā)現什么規(guī)律？圖1：AOB圖2：ACDB圖3：AEFGB答：將一條線段分成相等的兩條線段的點叫做這條線段的中點，又稱之為“二分點”。線段有一個“二分點”。如圖1，AO=OB，點O就是線段AB的中點，即線段AB的“二分點”。答：由此類推：如圖2，將一條線段AB分成相等的三條線段的點C、D叫做這條線段的“三分點”。線段有兩個“三分點”。如圖3，將一條線段AB分成相等的四條線段的點E、F、G叫做這條線段的“四分點”。線段有三個“四分點”。由此可知：把一條線段分成相等的n條線段的點叫做線段的“n分點”。線段的“n分點”有n－1個?！纠?】已知一條線段上有12分點，線段長度是39厘米。求：從這條線段上從左起第一個端點出發(fā)的所有線段的長共有多少厘米？解：如圖，12分點把線段分成了相等的13條線段，每條線段長=39÷13=3厘米。從這條線段上左起第一個端點出發(fā)，和其他13個點中的每一點都能形成一條線段，共13條線段。長度從小到大依為：3,6,9,12,15,18，21，24，27,30,33,36,39?！嗨芯€段的長=273厘米?！纠?】已知兩根木條，一根長60cm，一根長100cm，將它們的一端重合，放在同一條直線上，求此時兩根木條中點之間的距離。解：這兩根木條可以看作兩條線段。設線段AB=60cm，=100cm。可以有兩種放法： 第一種是線段AB和的端點B、重合，兩線段不重疊，放在同一條直線上。如圖，分別取線段AB和的中點C和D,兩中點之間的距離CD=CB＋D?！咧悬c將線段分成相等的兩條線段?！郈B=AB=30cm，D==50cm?！郈D=CB＋D=30＋50=80cm。第二種是線段AB和的端點A、重合，兩線段重疊，放在同一條直線上。如圖，分別取線段AB和的中點C和D，兩中點之間的距離CD=D－AC。∵中點將線段分成相等的兩條線段?！郃C=AB=30cm，D==50cm。∴CD=D－AC=50－30=20cm。兩點之間的所有連線中，不僅有線段，而且有折線和曲線。問(6)：兩點之間的所有連線中，哪一種連線最短？答：“兩點之間的所有連線中，線段最短?！边@一結論通常稱之為“線段公理”。公理是經過長期反復的實踐檢驗，已經證明是正確的事實，不需要再證明?！纠?】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，D是斜邊AB上的一定點，P是直角邊AC邊上的一動點。如何在直角邊AC邊上作一點P，使點P到點B、D的距離最短？寫出作法，并說明理由。圖1圖2作法：①如圖2，過點D作⊥AC，垂足為點E；②延長DE至點，使DE=E；③連接點B、，交AC于點P。點P就是AC邊上到點B、D的距離最短的點。理由：如圖2，△DEP和△EP的對應邊DE=E，EP=EP，對應角∠DEP=∠EP=Rt∠,所以△DEP△EP沿公共邊EP折疊能互相重合，則對應邊PD和P重合，PD=P。所以，點P到點B、D的距離PB+PD等于兩點之間的線段長B。依據線段公理“兩點之間的所有連線中，線段最短”，則點P就是AC邊上到點B、D的距離最短的點。典型題型精編解析選擇題：1.以下判斷錯誤的是（）A.若兩條直線有一個交點，則這兩條直線必然相交B.任意兩點都能確定一條直線C.線段就是有兩個端點、可以測量長度的直線D.只有射線和線段能反向延長，直線不能反向延長【答案】C【解析】A項是兩條直線相交的定義。故A項正確。B項是“直線公理”。故B項正確。反向延長線是從同一個端點出發(fā)的、方向相反、且在同一條直線上的兩條射線或線段。射線和線段有端點，可以反向延長。直線沒有端點，不能反向延長，只能向兩邊無限延長。故D項正確。線段是直線上兩點之間的部分，和直線有區(qū)別，不能把線段看作直線，故C項錯誤。選C。2.下列結論正確的一組是()OAB①直線AB與直線BA是同一條直線②射線OA、OB和AB是同一條射線③線段AB與線段BA是同一條線段④線段AO是線段BA的反向延長線⑤射線AO是射線AB的反向延長線A.②④B.①③⑤C.①⑤D.①③④【答案】B【解析】同一條直線可以用直線上的任意兩點表示。點A、B在同一條直線上。所以，直線AB與直線BA表示的是同一條直線。故①正確。端點相同、方向相同、且在同一條直線上的的射線才是同一條射線。射線OA、OB的端點都是O，方向都向右，且在同一條直線上。所以射線OA、OB是同一條射線。射線AB的端點是A，和OA、OB不是同一個端點，和OA、OB不是同一條射線。故②錯誤。同一條線段可以用線段上的任意兩端點表示。點A、B是同一條線段的兩端點。所以，線段AB與線段BA表示的是同一條線段。故③正確。反向延長線就是和已知一條射線或線段的端點相同，向這條射線或線段的相反方向延伸，且與這條射線或線段在同一條直線上的射線。線段BA表示的方向是由右向左，和線段AO表示的方向相同，不是相反，且出發(fā)的端點也不同，所以，線段AO不是線段BA的反向延長線。故④錯誤。射線AO和射線AB符合反向延長線的定義。故⑤正確。故①③⑤正確。選B。3.如圖，線段AB=CD，BD=BE，則線段AC和DE的大小關系是()ACBDEA.AC＞DEB.AC＜DEC.AC=DED.不能確定【答案】C【解析】如圖，AC=AB－CB，BD=CD－CB。已知AB=CD，代換得：BD=AB－CB。所以，AC=BD。由已知BD=BE可知：點D是DE的中點，則BD=DE。代換得：AC=DE。故選C。4.如圖，點C是線段AB的中點，點D是線段CB的三等分點。若AB=8，則線段CD的長等于（）ACDBA.2B.C.D.2【答案】D【解析】已知：點C是線段AB的中點。則：CB=AB。已知AB=8，則：CB=·8=4。由已知“點D是線段CB三等分點”可得：DB=CB。則CD=CB－DB=CB－CB=CB=·4==2。故選D。填空題：1.如圖，直線上依次有5個點A、B、C、D、E，則圖中線段有_____條，射線有_____條，線段DE的反向延長線有_____條。ABCDE【答案】10；10；1【解析】(1)線段是直線上任意兩點之間的部分。如圖，已知直線上依次有5個點A、B、C、D、E，其中任意兩點之間的部分就是線段。以點A為端點，從左向右數，有AB、AC、AD、AE四條線段；以點B為端點，從左向右數，有BC、BD、BE三條線段；以點C為端點，從左向右數，有CD、CE兩條線段；以點D為端點，從左向右數，有CE一條線段。共10條。注意：不要把重復的同一條線段計算在內。比如，線段AB和線段BA是重復的同一條線段。(2)如圖，分別以點A、B、C、D、E五個點為端點，向左、向右延伸。從每個端點出發(fā)，各有左、右兩條射線，五個端點共有10條不同的射線。注意：端點相同、方向相同、且在同一條直線上的射線是同一條射線。不要把重復的同一條射線計算在內。(3)反向延長線是一條射線，它與原射線或線段從同一個端點出發(fā)、方向相反、且在同一條直線上。如圖，直線上線段DE表示的方向是從端點D出發(fā)，由點E方向延伸，其反向延長線就是從同一個端點D出發(fā)，向與線段DE相反方向延伸，且與線段DE在同一條直線上的射線。如圖，這樣的射線有DC、DB、DA，三條射線端點相同、方向相同、且在同一條直線上，其實是同一條射線，故線段DE的反向延長線有1條。2.如圖，點M、C是線段AB上的點，點M是線段AB的中點，點C是線段MB的三等分點，若AC=12，則CB=______。AMCB【答案】【解析】由已知可得：AM=MB，且CB=MB，即MB=3CB，又AC=AM＋MC=12。如圖，MB=MC＋CB，已知MB=3CB，代換得：3CB=MC＋CB，整理得：MC=2CB。已知AM=MB=MC＋CB，且MC=2CB，代換得：AM=2CB＋CB=3CB。已知AM＋MC=12，代換得：3CB＋2CB=12。解得：CB=。解此題的關鍵在于由已知數據和條件得出等式，進行等量代換。注意做到步驟清晰，不要亂。3.如圖，若點C是線段AB的三等分點，點D是線段AC的二等分點，且點E是在線段AB的延長線上，BE=CB，則線段DB、CE的大小關系是___________。ADCBE【答案】相等【解析】由已知可得：AC=AB，DC=AC。如圖，DB=DC＋CB，且DC=AC，代換得：DB=AC＋CB。如圖，AB=AC＋CB，且AC=AB，即AB=3AC。代換得：3AC=AC＋CB，化簡得：AC=CB，代入DB=AC＋CB得：DB=·CB＋CB=CB。。如圖，CE=CB＋BE，且已知BE=CB，代換得：CE=CB＋CB=CB。所以，DB=CE=CB。解此題的關鍵在于由已知數據和條件得出等式，進行等量代換。注意做到步驟清晰，不要亂。4.已知“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，這一定理成立的依據是___________________?！敬鸢浮烤€段公理?！窘馕觥俊皟牲c之間的所有連線中，線段最短?！边@就是線段公理。公理就是人類經過長期反復實踐檢驗得出的不證自明的基本事實，不需要證明。把三角形的第三邊看作是連接兩點的線段，另兩邊看作是連接兩點的兩條折線。依據線段公理，另兩邊兩條折線的長一定大于第三邊線段的長。即：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。解答題：1.兩條直線相交，最多有一個交點。三條直線相交，最多有幾個交點？四條直線相交，最多有幾個交點？五條直線相交，最多有幾個交點？依次類推，n條直線相交，最多有幾個交點？解：兩條直線相交，最多有1個交點。三條直線相交，最多有3個交點，對應增加2個交點。四條直線相交，最多有6個交點，對應增加3個交點。五條直線相交，最多有10個交點，對應增加4個交點。依次類推，從中發(fā)現規(guī)律：n條直線相交，對應增加n－1個交點。從1個交點算起，把增加的交點個數依次相加，得數就是n條直線相交最多的交點個數。即：1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)個。設：W=1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)＋n。①把①式從右向左相加寫成：W=n＋(n－1)＋(n－2)＋……＋4＋3＋2＋1。②∵兩等式左右兩邊同時相加，所得依然相等?！啖伲诘茫?W=(n＋1)＋(n＋1)＋……＋(n＋1)?！邇傻仁接疫呉灰粚嗉?，是n個n＋1相加，即：n(n＋1)?！?W=n(n＋1)，則W=。即：1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)＋n=?！?＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)=－n=。即：n條直線相交，最多有個交點，n是正整數，n≥2?！咀ⅰ拷獯祟}的關鍵在于探