三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\h\u15500摘要： 111066關(guān)鍵詞： 238841引言 3112191.1三角函數(shù)起源 3130772三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 486062.1下列是關(guān)于三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 4136412.2兩角和、差的正弦、余弦、正切公式 6224952.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 694793.三角函數(shù)與生活 6301493.1火箭飛升問題 656593.2電纜鋪設(shè)問題 730313.3救生員營(yíng)救問題 8151313.4足球射門問題 8322163.5食品包裝問題 9323113.6營(yíng)救區(qū)域規(guī)劃問題 10135113.7住宅問題 10301393.8最值問題 1286794總結(jié) 12AbstractTrigonometricfunctioninthecourseofhistoricaldevelopmentofcontinuousimprovement,hasformula,richthoughts,flexible,permeabilityisstrongandsoon。Thecharacteristicisnotonlyanimportantpartofscientificresearch,orinmathematicslearningtokeyanddifficult.Inaworditinteachingandotherfieldshasimportantrole.Inthispaper,wewillmakeabriefdiscussionabouttheapplicationoftrigonometricfunctionsinsolvingpracticalproblems.Keywords：mathematicstrigonometricfunctionApplicationoftrigonometricfunction摘要：三角函數(shù)在歷史的發(fā)展過程中不斷完善，具有公式多、思想豐富、變化靈活、滲透性強(qiáng)等特點(diǎn)，不僅是科學(xué)研究的重要組成部分，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得重點(diǎn)難點(diǎn)，總之它在教學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。本文將對(duì)一些關(guān)于三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用做簡(jiǎn)單的討論。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)三角函數(shù)三角函數(shù)的應(yīng)用公式三：公式四：公式五：由于，由公式四及公式五可得：公式六：公式五、公式六可以概括如下：的正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于的余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角的符號(hào)。2.2兩角和、差的正弦、余弦、正切公式2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式3.三角函數(shù)與生活實(shí)際生活中，三角函數(shù)可以用來模擬很多周期現(xiàn)象，如物理中簡(jiǎn)諧振動(dòng)、生活中的潮汐現(xiàn)象，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題；很多最值問題也可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決，房地產(chǎn)、航海、測(cè)量、國(guó)防中都能找到三角函數(shù)的影子。因而三角函數(shù)解決實(shí)際問題應(yīng)用極廣，解決實(shí)際問題有一定的優(yōu)越地位。3.1火箭飛升問題一枚運(yùn)載火箭從地面處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí)，從地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是，仰角是．后，火箭到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得的距離是，仰角為?；鸺竭_(dá)點(diǎn)時(shí)距離發(fā)射點(diǎn)有多遠(yuǎn)？（2）火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度是多少？解：（1）在中， （km） 火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí)距發(fā)射點(diǎn)約 在中， 答：火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度約為3.2電纜鋪設(shè)問題ACDBθ如圖，一條河寬a千米，兩岸各有一座城市的直線距離是b千米，今需鋪設(shè)一條電纜連與ACDBθ分析：設(shè)電纜為時(shí)費(fèi)用最少，因?yàn)楹訉挒槎ㄖ?，為了表示的長(zhǎng)，不妨設(shè)解：設(shè)，∴總費(fèi)用為=問題轉(zhuǎn)化為求的最小值及相應(yīng)的θ值，而表示點(diǎn)與點(diǎn)斜率-ac倍，有圖可得在單位圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與圓弧切于點(diǎn)時(shí)，u取到最小值。然后通過三角函數(shù)的邊角關(guān)系求出直線的斜率，再求出此時(shí)的最小值u即可，可以根據(jù)實(shí)際問題帶入求值。3.3救生員營(yíng)救問題ABCD如圖，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場(chǎng)岸邊的點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營(yíng)救．1號(hào)救生員從點(diǎn)直接跳入海中；2號(hào)救生員沿岸邊（岸邊看成是直線）向前跑到點(diǎn)，再跳入海中；3號(hào)救生員沿岸邊向前跑300米到離點(diǎn)最近的點(diǎn)，再跳入海中．救生員在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若，，三名救生員同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，請(qǐng)說明誰先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)．ABCD解：（1）在中，．． ． 在中，，． 1號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為（秒），2號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為（秒），3號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為（秒） ，號(hào)救生員先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)．3.4足球射門問題GEPCFBAD在訓(xùn)練課上，教練問左前鋒，若你得球后，沿平行于邊線的直線助攻到前場(chǎng)（如圖，設(shè)球門寬米，球門柱到的距離米），那么你推進(jìn)到距底線多少米時(shí)，為射門的最佳位置？（即射門角最大時(shí)為射門的最佳位置）？請(qǐng)你幫助左前鋒回答上述問題。GEPCFBAD分析：此題關(guān)鍵在于求解射門時(shí)最大射門角，此時(shí)就是最佳位置。若直接在非特殊中利用邊來求的最值，顯得比較繁瑣，注意到，而后兩者都在中，故可應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)求解。解：如圖，設(shè)，,,=。若令，則=，當(dāng),即時(shí)，取到最小值，從而可知時(shí)，取得最大值，即時(shí)，有最大值。故當(dāng)點(diǎn)距底線為米時(shí)，為射門的最佳位置。依圖像知，在白天的9—15時(shí)這個(gè)時(shí)間段可供沖浪愛好者進(jìn)行沖浪運(yùn)動(dòng)。3.5食品包裝問題某糖果廠為了拓寬其產(chǎn)品的銷售市場(chǎng)，決定對(duì)一種半徑為的糖果的外層包裝進(jìn)行設(shè)計(jì)。問能否設(shè)計(jì)出一個(gè)封閉的圓錐形狀的外包裝，其體積最小和所用材料達(dá)到最?。咳绻?，如何設(shè)計(jì)這個(gè)圓錐的底面半徑和高？此時(shí)所用的外包裝體積是多少？用料是多少？分析：要求該圓錐的全面積和體積，需要知道它的下底面半徑、母線及高，這些變量之間的關(guān)系可以通過一個(gè)“角”把它們聯(lián)系起來。PABCO解：如圖，設(shè)∠OAC=θ，則OC=1，下底面半徑AC=R=cotθ,母線長(zhǎng)l=，高h(yuǎn)=Rtan2θ，θ∈（0，）。則=πRl+πR2=πR(+R)=πR2(+1)=πcot2θ(+1)=;PABCOV=πR2h=πR2·Rtg2θ=πR3tg2θ=πctg3θ=π∴當(dāng)且僅當(dāng)tg2θ=1－tg2θ,即tgθ=時(shí)，能使和V同時(shí)取到最小值，此時(shí)R=，h=2，即當(dāng)圓錐的下底面半徑和高分別為、2時(shí)能同時(shí)滿足條件，外包裝用料是8π，體積是。3.6營(yíng)救區(qū)域規(guī)劃問題如圖，在南北方向直線延伸的湖岸上有一港口，一機(jī)艇以千米/小時(shí)的速度從出發(fā)，分鐘后因故障而停在湖里，已知機(jī)艇出發(fā)后先按直線前進(jìn)，以后又改成正東，但不知最初的方向和何時(shí)改變方向。如何去營(yíng)救，用圖示表示營(yíng)救的區(qū)域。分析：要表示出一個(gè)區(qū)域，一般可在直角坐標(biāo)系中表示，所以應(yīng)首先建立直角坐標(biāo)系；題中涉及到方向問題，所以不妨用方向角作為變量來求解。解：以A為原點(diǎn)，過A的南北方向直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)機(jī)艇的最初航向的方位角為θ，設(shè)OP方向前進(jìn)m到達(dá)點(diǎn)P，然后向東前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)Q發(fā)生故障而拋錨。則,令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,y），則θ∈[0，]?！唷邫C(jī)艇中途東拐，。…………①又∵x+y=m(sinθ+cosθ)+n=msin(θ+)+n≥m+n=30,∴x+y≥30…………②滿足不等式組①和②的點(diǎn)Q（x,y）所在的區(qū)域，按對(duì)稱性知上圖陰影區(qū)域所示。3.7住宅問題在某小區(qū)內(nèi)，有一塊地，這塊地有這樣三種情況：（1）是半徑為10米的半圓；（2）是半徑為10米，圓心角為的扇形；（3）是半徑為10米，圓心角為的扇形；在這塊地里種塊矩形的草皮，具體見下圖，應(yīng)如何設(shè)計(jì)，使得此面積最大？面積的最大值是多少。分析：第一種情況，如圖所示：連結(jié)，設(shè)，則，，AθAθDBFECO這時(shí)此時(shí)，點(diǎn)A、D分別位于點(diǎn)O的左右方處時(shí)S取得最大值100。θADBθADBFECO設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，AθAθDBECO設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，3.8最值問題 如圖，是一塊邊長(zhǎng)為的正方形地皮，其中是一半徑為的扇形小山，其余部分都是平地。一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在弧上，相鄰兩邊落在正方形的邊上，求矩形停車場(chǎng)面積的最大值和最小值。解：設(shè),,延長(zhǎng)RP交AB于M，易得PQ=MB=AB—AM=100—90，RP=RM—PM=100—90，從而令，，則，故當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值涉及到角與邊之間的相互關(guān)系，可以用邊為變量建立函數(shù)關(guān)系，求解過程一般可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，如正弦、余弦定理、數(shù)形結(jié)合、三角函數(shù)的有界性、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等。4總結(jié)三角函數(shù)的發(fā)展已經(jīng)趨于完善，雖然一些不常用的函數(shù)接近舍棄，但其余的三角函數(shù)仍然在實(shí)際生活中發(fā)揮著重要的作用。國(guó)防、鐵路建設(shè)、房地產(chǎn)建設(shè)、競(jìng)技比賽以及安全問題上都可以廣泛應(yīng)用，極大地方便了我們的日常生活。

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