【教案】獨立性檢驗（第一課時）教學(xué)設(shè)計高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

課程名稱高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第八章8.3.2獨立性檢驗教學(xué)設(shè)計課時第一課時1.教材內(nèi)容分析獨立性檢驗是研究隨機(jī)變量獨立性的一種統(tǒng)計方法，為了解總體中兩個分類變量是否相互獨立，可以從總體中抽取簡單隨機(jī)樣本，整理成一個2x2的列聯(lián)表，獨立性檢驗就是根據(jù)列聯(lián)表檢驗兩個分類變量是否相互獨立。獨立性檢驗本質(zhì)上是一種概率推斷，是一種依據(jù)概率進(jìn)行“二中選一”的方法，即根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，在“H0：無實質(zhì)差異”與H1：有實質(zhì)差異”這兩種推斷中選擇其一，這是一種“概率反證法”，通過樣本構(gòu)造的小概率事件是否出現(xiàn)來判斷總體假設(shè)的真?zhèn)?。獨立性檢驗的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是條件概率與獨立事件概率的乘法公式，其推斷步驟可分為:第一步，提出想驗證的假設(shè)H0，稱為零假設(shè)；第二步，若假設(shè)H0成立，構(gòu)造一個只有在小概率α的情況下才能觀察到的現(xiàn)象χ2；第三步，依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確認(rèn)是否觀察到了現(xiàn)象χ2；第四步，若能觀察到現(xiàn)象χ2的情況下，則推斷假設(shè)H0是錯誤的，此時便可以拒絕H0，而選擇假設(shè)H1；第五步，若未能觀察到現(xiàn)象χ2，則無法拒絕假設(shè)H0，可選擇假設(shè)H0。獨立性檢驗是從樣本數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)關(guān)系，是成對樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的重要內(nèi)容，是依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理推理的典型方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理性精神，也是提升數(shù)據(jù)分析和邏輯推理素養(yǎng)的重要素材?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的重點：獨立性檢驗的基本思想和獨立性檢驗的基本方法。2.學(xué)習(xí)者特征分析本節(jié)內(nèi)容對學(xué)生來說難度較大，涉及的基礎(chǔ)知識有古典概型、條件概率、頻率穩(wěn)定到概率的原理及分類變量獨立性的概念，涉及的統(tǒng)計思想方法主要是假設(shè)檢驗的思想方法。教科書結(jié)合豐富的實例，通過問題引導(dǎo)，采取了由易到難、逐步深人的處理方式，使學(xué)生了解獨立性檢驗的基本思想。在本節(jié)教學(xué)中，應(yīng)通過具體案例滲透獨立性檢驗的基本思想和方法，使學(xué)生了解統(tǒng)計推斷可能犯錯誤的特點，避免單純地記憶獨立性檢驗的基本步驟和機(jī)械地套用公式解決問題。應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的意識，提高學(xué)生解決實際問題的能力．3.教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：基于2×2列聯(lián)表，通過實例了解獨立性檢驗的基本思想；能力目標(biāo)：熟練掌握獨立性檢驗的基本步驟；素養(yǎng)目標(biāo)：會用獨立性檢驗解決簡單的實際問題，提升數(shù)據(jù)分析能力。4.教學(xué)重、難點教學(xué)重點：①獨立性檢驗的基本思想；②獨立性檢驗的基本方法。教學(xué)難點：①卡方統(tǒng)計量的導(dǎo)出和意義；②關(guān)于小概率α(顯著性水平α)的正確理解；③在理解獨立性檢驗的推斷可能會犯錯誤時，學(xué)生可能存在接受上的困難。5.教學(xué)方法與學(xué)法指導(dǎo)教學(xué)方法：教學(xué)中應(yīng)從具體實例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)一些生活化的問題情境引導(dǎo)教學(xué)；強調(diào)用頻率穩(wěn)定于概率的原理及用分類變量的樣本頻數(shù)和理論頻數(shù)的誤差，來構(gòu)造卡方統(tǒng)計量；引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，正確理解小概率α(顯著性水平α)。學(xué)習(xí)方法：在學(xué)習(xí)的過程中要做好預(yù)習(xí)，通過討論等小組學(xué)習(xí)的方式突破難點，勇于動手進(jìn)行演算推理，在解決實際問題中去感悟獨立性檢驗的思想和方法。6.教學(xué)資源：①教材：人教A版（2019）數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊；②教學(xué)PPT;7.教學(xué)環(huán)節(jié)：教師活動學(xué)生活動媒體&信息技術(shù)應(yīng)用環(huán)節(jié)一：問題回溯教師活動1回顧上節(jié)課的例1例1.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測驗得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.思考：你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的？學(xué)生活動1學(xué)生回顧上節(jié)課的例題1，并作出回答。媒體&信息技術(shù)應(yīng)用1教學(xué)PPT展示活動意圖說明：對于隨機(jī)樣本而言，因為頻率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大.因此需要找到一種更為合理的推斷方法，同時能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算。環(huán)節(jié)二：新知探究一教師活動2考慮以Ω為樣本空間的古典概型.設(shè)X和Y定義在Ω上，取值于{0,1}的成對分類變量。我們希望判斷事件{X=1}和{Y=1}之間是否有關(guān)聯(lián)。抽象簡化列聯(lián)表如下：我們需要判斷下面的假定關(guān)系：是否成立，通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè).（類比法官判案中的無罪假設(shè)）進(jìn)一步由條件概率所以零假設(shè)H0等價于{X=1}和{Y=1}獨立。復(fù)習(xí)獨立事件的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生回答；引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識以下四個等價性質(zhì)：如果這些性質(zhì)成立，我們就稱分類變量X和Y獨立.因此，我們可以用概率語言，將零假設(shè)改述為H0：分類變量X和Y獨立；學(xué)生活動2做好預(yù)習(xí)，認(rèn)真閱讀材料，了解原假設(shè)的設(shè)法，以及領(lǐng)悟如何從條件概率出發(fā)，一步一步把事件的獨立和分類變量的獨立等價起來。此處要求學(xué)生復(fù)習(xí)好條件概率及其性質(zhì)。在學(xué)生閱讀、思考和討論的基礎(chǔ)上讓學(xué)生說出自己的想法?；卮饐栴}：媒體&信息技術(shù)應(yīng)用2教學(xué)PPT展示活動意圖說明:通過以法官判案為例，形象地解釋零假設(shè)的含義，可以幫助學(xué)生突破難點。通過概率語言，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，將零假設(shè)H。中事件的獨立轉(zhuǎn)化為分類變量的獨立性，為后續(xù)利用概率知識推斷是否獨立打下基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)三：新知探究二教師活動3在統(tǒng)計學(xué)中，我們通常要從樣本數(shù)據(jù)中找證據(jù)，尋找證據(jù)的方法是構(gòu)造一個統(tǒng)計量，并且了解它的統(tǒng)計特征，利用樣本計算這個統(tǒng)計量的觀測值，如果這個觀測值不符合零假設(shè)成立時統(tǒng)計量的應(yīng)有統(tǒng)計性質(zhì)，那么我們就有理由相信H。不成立假定我們通過簡單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表如下：在零假設(shè)H0成立的前提下，可以求出以上四個實際頻數(shù)對應(yīng)的期望值。在原假設(shè)H0成立時，下面四個量值不應(yīng)該太大。然后類比方差的構(gòu)造過程，引導(dǎo)學(xué)生去思考怎么構(gòu)造卡方統(tǒng)計量χ2。為了合理地平衡這種影響，我們將四個差的絕對值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和，得到如下的統(tǒng)計量：該表達(dá)式可化簡為：。學(xué)生活動3學(xué)生小組合作，閱讀教材，分析教學(xué)內(nèi)容，并討論。根據(jù)分類變量X和Y獨立的定義及等價條件，利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造一個用于推兩個分類變量是否獨立的統(tǒng)計量。學(xué)生對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，理解列聯(lián)表中各個數(shù)據(jù)的含義。學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，在零假設(shè)的前提下，四個實際頻數(shù)應(yīng)該和通過表格其他數(shù)據(jù)在獨立性的條件下計算出來的期望值很接近，寫出四個期望值。學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，類比方差的建立過程，探討構(gòu)造一個能對分類變量X和Y的獨立性作出推斷的統(tǒng)計量。媒體&信息技術(shù)應(yīng)用3教學(xué)PPT展示活動意圖說明:本環(huán)節(jié)主要是引導(dǎo)學(xué)生如何在零假設(shè)存在的情況下，去構(gòu)造一個統(tǒng)計量，體會根據(jù)χ2觀測值大小推斷兩個分類變量獨立性的合理性。環(huán)節(jié)四：新知探究三教師活動4統(tǒng)計學(xué)家建議，用隨機(jī)變量χ2取值的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時推斷H0不成立，否則認(rèn)為H0成立。思考：那么，究竟χ2大到什么程度，可以推斷H0不成立呢？或者說，怎樣確定判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)呢？臨界值的定義：對于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實數(shù)xα，使得P(χ2≥xα)=α成立，我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)，概率值α越小，臨界值xα越大.只要把概率值α取得充分小,在假設(shè)H0成立的情況下,事件χ2不大可能發(fā)生的.根據(jù)這個規(guī)律,如果該事件發(fā)生,我們就可以推斷H0不成立.不過這個推斷有可能犯錯誤,但犯錯誤的概率不會超過α.基于小概率值α的檢驗規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨立.這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗。χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：例如，對于一個小概率值α=0.05，有如下的具體檢驗規(guī)則：(1)當(dāng)時，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為X與Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05；(2)當(dāng)時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X與Y獨立。學(xué)生活動4獨立思考，開展討論，探索怎樣確定判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)呢？在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生了解一下χ2統(tǒng)計量的分布是收斂于自由度為1的卡方分布。借助卡方分布的圖了解小概率值α和臨界值xα的關(guān)系。學(xué)生分小組討論學(xué)習(xí)基于小概率值α的檢驗規(guī)則。并結(jié)合課本給出的幾個常用的小概率值和對應(yīng)的臨界值表，進(jìn)一步理解基于小概率值α的檢驗規(guī)則。媒體&信息技術(shù)應(yīng)用4教學(xué)PPT展示活動意圖說明:引導(dǎo)學(xué)生提煉χ2獨立性檢驗的具體檢驗規(guī)則，進(jìn)一步理解獨立性檢驗思想:任何一個統(tǒng)計推斷都有可能犯錯，若能將犯錯的概率控制在可接受的范圍內(nèi)，我們就能接受這個推斷。環(huán)節(jié)五：實戰(zhàn)演練教師活動5例2：依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗，分析例1中的抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異？思考：例1和例2都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結(jié)論,你能說明其中的原因嗎?例4為研究吸煙是否與肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法，調(diào)查了9965人，得到成對樣本觀測數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結(jié)果，如下表所示。依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，分析吸煙是否會增加患肺癌的風(fēng)險。問題：在吸煙與患肺癌相關(guān)的推斷下，你能通過頻率分析吸煙對患肺癌影響的規(guī)律嗎?用頻率計算再次進(jìn)行比較：不吸煙者中患肺癌的頻率為；吸煙者中患肺癌的頻率為；兩者的比值為；可見，在被調(diào)查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌的頻率的4倍以上，于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為吸煙者患肺癌的概率明顯大于不吸煙者患肺癌的概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌。學(xué)生活動5學(xué)生分組討論，在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生閱讀教科書，以印證自己的想法。由此感知χ2統(tǒng)計量能夠更有效地提取樣本中包含的有效信息，并且能夠?qū)ψ龀鲥e誤推斷的可能性大小作出控制和估計。學(xué)生先自主進(jìn)行解題，然后讓學(xué)生代表進(jìn)行講解。媒體&信息技術(shù)應(yīng)用5教學(xué)PPT展示活動意圖說明:通過具體問題，讓學(xué)生掌握獨立性檢驗的一般步驟和推斷原理，要使學(xué)生理解到，在統(tǒng)計推斷中，不同的統(tǒng)計方法會有不同的推斷結(jié)論，也會發(fā)生推斷錯誤，當(dāng)我們接受零假設(shè)H。時，也可能犯錯誤，我們不知道犯這類錯誤的概率p的大小。環(huán)節(jié)六：課堂小結(jié)教師活動6教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并讓學(xué)生回答下列問題:(1)回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，請你總結(jié)應(yīng)用χ2獨立性檢驗解決實際問題時大致包括幾個主要環(huán)節(jié)?(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋；(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與相應(yīng)小概率的臨界值比較；(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論；(4)在X和Y不獨立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律。(2)獨立性檢驗的思想類似于我們常用的反證法，你能指出兩者之間的相同和不同之處嗎?(3)你能說一說獨立性檢驗的本質(zhì)嗎?獨立性檢驗的本質(zhì)是比較觀測值與期望值之間的差異，由χ2所代表的這種差異的大小，是通過確定適當(dāng)?shù)男「怕手颠M(jìn)行判斷的。這是一種非常重要的推斷方法，不僅有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，也開啟了人類認(rèn)識世界的一種新的思維方式。學(xué)生活動6結(jié)合前面的