拋物線及其性質(zhì)知識點大全

拋物線及其性質(zhì)知識點大全2)，則有|AB|=x1+x2+p，且AB的中點M的坐標為((x1+x2)/2,p)，且AM=BM=p。2．拋物線的定義是平面內(nèi)到一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡。拋物線有四種標準方程，每種方程都有不同的幾何性質(zhì)，包括圖形、開口方向、焦點位置、焦點坐標、準線方程、范圍、對稱軸、頂點坐標、離心率、通徑等。3．以拋物線y2=2px(p>0)為例，它的范圍在y軸的右側(cè)，向右上方和右下方無限延伸。拋物線的對稱軸要看一次項的符號，決定開口方向。它的頂點在坐標原點，離心率為1，焦點F(2p,0)，準線方程為x=-p，焦準距為p。拋物線的焦點弦AB，A(x1,y1)，B(x2,y2)，滿足|AB|=x1+x2+p，當x1=x2時，通徑最短為2p。4．焦點弦AB的中點M的坐標為((x1+x2)/2,p)，且AM=BM=p。三角學(xué)是解題的重要資源之一。通過三角變換，可以將不同角度的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為相同角度的三角函數(shù)，然后利用各種三角關(guān)系實現(xiàn)“九九歸一”，達到解題的目的。在解析幾何中，適當引入三角資源常?？梢院喕嬎悖瑪[脫困境。例8：如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過物線y2=8x的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。（Ⅰ）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；（Ⅱ）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。解析：（Ⅰ）焦點F（2，8），準線l：x=-2。（Ⅱ）直線AB：y=tanα(x-2)拋物線方程：y2=8x，代入AB得到y(tǒng)2tanα-8y-16tanα=0，解得tanα為方程y2-8y-16tanα=0的二根之積的相反數(shù)。設(shè)AB中點為M(x,y)，則x=cotαy+2，AB的垂直平分線方程是y-4cotα=-cotαx-4cot2α-2。令y=0，得到x=4cot2α+6，有P(4cot2α+6,0)。因此，F(xiàn)P=OP-OF=4cotα-2，|FP|-|FP|cos2α=4cos2αα(1-cos2α)=4csc2α×2sin2α=8，為定值。消去法是解析幾何中常用的方法之一。為了避免繁瑣的計算，可以采用設(shè)而不求的方法，類似于兵法中的“不戰(zhàn)而屈人之兵”。例9：是否存在同時滿足下列兩條件的直線l：（1）l與拋物線y=8x有兩個不同的交點A和B；（2）線段AB被直線l1：x+5y-5=0垂直平分。若不存在，說明理由，若存在，求出直線l的方程。解析：假設(shè)在拋物線y=8x上存在這樣的兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)，則有：y1^2=8x1，y2^2=8x2，(y1-y2)/(x1-x2)=8。因此，A、B的中點坐標為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)=(5/2,10)，線段AB的中垂線方程為x+5y-5=0。由于l與x+5y-5=0垂直平分，所以l的斜率為-1/5，且過點(5/2,10)，因此l的方程為y-10=(-1/5)(x-5/2)。已知直線x+5y-5=0垂直平分線段AB，且斜率為-1/5，因此AB的斜率為5。設(shè)AB的中點為M(x,y)，則由斜率公式得y=(y1+y2)/2，代入斜率公式得5=(y2-y1)/(x2-x1)，化簡得y1+y2=4y，代入x+5y-5=0得x=1。因此，AB的中點為M(1,4/2)=(1,2)。所以符合題設(shè)條件的直線方程為y-2=-1/5(x-1)，即5x-y-21=0。在解析幾何習(xí)題中，有些題目看起來很難，需要冷靜分析，探索規(guī)律，猜想并證明。例如，題目給出拋物線y=-x^2+1與x軸正半軸的交點A，將線段OA的n等分點從左至右依次記為P1,P2,…,Pn-1，過這些分點分別作x軸的垂線，與拋物線的交點依次為Q1,Q2,…，Qn-1，從而得到n-1個直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…，△Qn-1Pn-1Pn-1。當n趨近于無窮大時，這些三角形的面積之和的極限為1/2。具體地，由于OA=1，每個直角三角形的底邊長均為k^2/(2n)，代入拋物線方程得到每個三角