三角函數(shù)與解三角形專業(yè)題材訓(xùn)練

.\三角求值與解三角形專項(xiàng)訓(xùn)練三角公式運(yùn)用【通俗原理】1．三角函數(shù)的定義：設(shè)P(x,y)，記xOPR，r|OP| x2y2，謝謝閱讀sinry,cosxr,tanxy(x0).精品文檔放心下載sin2．基本公式：sin2cos21,tan .精品文檔放心下載3．誘導(dǎo)公式：4．兩角和差公式：sin()sincoscossin，cos()coscosmsinsin，精品文檔放心下載tantantan() .5．二倍角公式：sin22sincos，精品文檔放心下載cos2cos2sin22cos2112sin2，謝謝閱讀2tantan2 .6．輔助角公式：①asinbcos a2b2sin()，精品文檔放心下載其中由tanab及點(diǎn)(a,b)所在象限確定.精品文檔放心下載②asinbcosacosbsin a2b2cos()，感謝閱讀其中由tanb及點(diǎn)(a,b)所在象限確定.感謝閱讀a【典型例題】1．已知R，證明：sin(2)cos.精品文檔放心下載.\2．若(0,2)，tan2，求sincos的值.謝謝閱讀3．已知sin()1，sin()1，求tan的值.2tan4．求cos15otan15o的值.5．證明：cos34cos33cos.謝謝閱讀【跟蹤練習(xí)】1．已知sin(3)53，求cos(6)的值.精品文檔放心下載.\2．若sin212，求tan的值.謝謝閱讀三角求值與解三角形專項(xiàng)訓(xùn)練解三角形1．三角形邊角關(guān)系：在△ABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，①ABC；謝謝閱讀②若abc，則abc；③等邊對(duì)等角，大邊對(duì)大角.精品文檔放心下載2．正弦定理：abc2R(R是△ABC外接圓的半徑).sinAsinBsinC變形：a2RsinA，b2RsinB,c2RsinC.a2b2c22bccosAa2c222a23．余弦定理：b22accosB.變形：cosAbc，其他同理可得.a2b22abcosC2bcc24．三角形面積公式：S1absinC1bcsinA1acsinB.△ABC2225．與三角形有關(guān)的三角方程：①sin2Asin2BAB或2A2B；精品文檔放心下載cos2Acos2BAB.6．與三角形有關(guān)的不等式：①absinAsinBcosAcosB.感謝閱讀7．解三角形的三種題型：①知三個(gè)條件(知三個(gè)角除外)，求其他(角、邊、面積、周長(zhǎng)等)；感謝閱讀②知兩個(gè)條件，求某個(gè)特定元素或范圍；③知一邊及其對(duì)角，求角、邊、周長(zhǎng)、面積的范圍或最值.感謝閱讀.\【典型例題】1．在△ABC中，若acosAbcosB，試判斷△ABC的形狀.謝謝閱讀2．在△ABC中，證明：abABsinAsinBcosAcosB.感謝閱讀3．在△ABC中，a1，A，b3，求角C的大小.64．在△ABC中，C2A，c 2a，求角A的大小.感謝閱讀5．在△ABC中，ac，求角A的大小.3cosAsinC.\6．在△ABC中，c3，C.3(I)求△ABC面積的最大值；(II)求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.【跟蹤練習(xí)】1．在ABC中，a(sinAsinB)(cb)(sinCsinB)，求角C.感謝閱讀.\2．在ABC中，a2c2b2ac．精品文檔放心下載(I)求B的大??；(II)求cosAcosC的最大值．3．在ABC中，b2c2a23bc，B2，b23.3(I)求BC邊上的中線AD的長(zhǎng)；(II)求BAC的角平分線AE的長(zhǎng)..\參考答案5.1 三角公式【典型例題】1．證明：如圖，在單位圓中，記xOP，xOQ=2，有P(x,y),Q(y,x)，謝謝閱讀sin(2)x，而cosx，∴sin(2)cos.感謝閱讀

yP(x,y)2OxQ(y,x)2．解法一：∵(0,2)，tan2，有sin2cos，精品文檔放心下載代入sin2cos21得cos21，則cos5，sin25，555sincos355.解法二：∵(0,2)，tan2，謝謝閱讀(sincos)212sincos感謝閱讀12sincos12tan9，sin2cos2tan215又sincos0，有sincos35.53．解：由sin()1，sin()1，2sincoscossin1311，則sincos,cossin，得sincoscossin244sintancossincos3.tansincossin謝謝閱讀cos4．解：∵cos15ocos(45o30o)cos45ocos30osin45osin30o感謝閱讀.\232126，22224tan15otan(45o30o)tan45otan30o3323，1tan45ogtan30o33∴cos15otan15o2623.45．證明：cos3cos(2)coscos2sinsin2精品文檔放心下載cos(2cos21)2cossin2精品文檔放心下載2cos3cos2cos(1cos2)感謝閱讀4cos33cos.【跟蹤練習(xí)】1．解：∵(6)(3)2，且sin(3)53，感謝閱讀cos(6)cos[2(3)]sin(3)53.感謝閱讀2．解：由sin21得2sincos1，即sincos1，22sin2cos24∴tan1，即tan24tan10，解得tan23.tan214由cos5得cos(2k)5，即sin5sin5.52555sin255得sin(2k2)255，即cos255cos255，∴2sincos455.謝謝閱讀5.3 解三角形.\【典型例題】1．解：由acosAbcosB及正弦定理得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，感謝閱讀又A,B(0,)，有2A2B或2A2B，即AB或AB2，謝謝閱讀∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.2．證明：abAB，由ab及正弦定理得2RsinA2RsinBsinAsinB，而函數(shù)f(x)cosx在(0,)上單調(diào)遞減，有0BAf(B)f(A)，精品文檔放心下載ABcosAcos，abABsinAsinBcosA精品文檔放心下載3．解：由正弦定理得sinaAsinbB，得sinB謝謝閱讀

cosB.bsinA313．a(chǎn)22因?yàn)閎3a1，所以BA，故B或．33當(dāng)B時(shí)，C(AB)()．3632當(dāng)B2時(shí)，CAB(2)．3636∴角C為或.264．解：∵c 2a，∴由正弦定理有sinC= 2sinA．感謝閱讀C=2A，即sin2A=2sinA，于是2sinAcosA=2sinA，精品文檔放心下載在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=22，∴A=4．感謝閱讀5．解：由條件結(jié)合正弦定理得，aca，3cosAsinCsinA從而sinA3cosA，tanA3，0A，∴A3.6．解：(I)∵c3,C，由余弦定理得(3)2a2b22abcos，333a2b2ab2ababab，僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，感謝閱讀∴△ABC的面積S1absinC1absin3333，22344.\∴當(dāng)ab 3時(shí)，△ABC面積的最大值為343；謝謝閱讀(II)由(I)得3a2b2ab，即3(ab)23ab，∴ab1(ab)21(ab)2，則(ab)212，即ab23，僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立.32∴△ABC的周長(zhǎng)abc23333，僅當(dāng)ab3時(shí)等號(hào)成立，而abc3，故abc23，∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是(23,33].【跟蹤練習(xí)】1．解：由已知以及正弦定理，得aabcbcb，即a2b2c2ab.，∴cosCa2b2c21，又C0，π，所以Cπ.2ab232．解：(I)由已知得:cosBa2c2b21，Q0B，B223；2ac(II)由(I)知:AC，故AC,0C，333所以cosAcosCcos(C)cosC3sinC3cosC3sin(C)，3223Q0C,3sin(C)1，3cosAcosC3.32323．解：(I)由b2c2a23bc及余弦定理得cosAb2c2a232，2bcA(0,)，∴A6，則CAB6，即ac，謝謝閱讀而b23，由abc得a23c，即ac2.sinAsinBsinCsinsinsin636uuuruuuruuur.\1AD是BC邊上的中線，則AD2(ABAC)，uuuruuur∴AD21(c2b22bccos)7，有|AD|7，46即BC邊上的中線長(zhǎng)為7；(II)由(I)得c2,b23，A，又AE是BAC的平分線，6由SSS得1cgAEsin1bgAEsin1bcsin，△ABE△CAE△ABC21221226∴2(31)singAE23，即(31)singAE3，1212又sinsin()321262，123422224∴AE6，即BAC的角平分線AE6..\5.2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【通俗原理】1．三個(gè)基本三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)ysinxycosx(1)奇偶性：奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)對(duì)稱性：關(guān)于(k,0)中心對(duì)稱，關(guān)于xk軸對(duì)稱；(kZ，下同)2(3)周期性：周期為T2；(4)單調(diào)性：在[2k,2k]上遞22增，在[2k,2k]上遞減；22(5)最值性：當(dāng)x2k時(shí)，y1，2max當(dāng)x2k時(shí)，y1；2max(6)有界性：當(dāng)xR時(shí)，sinx[1,1].謝謝閱讀ytanx(1)奇偶性：奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；k(2)對(duì)稱性：關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱，不是軸對(duì)稱圖形；(kZ，下同)精品文檔放心下載(3)周期性：周期為T； (4)單調(diào)性：在(k2,k2)上遞增.謝謝閱讀

(1)奇偶性：偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)對(duì)稱性：關(guān)于(k2,0)中心對(duì)稱，關(guān)于xk軸對(duì)稱；(kZ，下同)精品文檔放心下載(3)周期性：周期為T2；(4)單調(diào)性：在[2k,2k]上遞減，謝謝閱讀[2k,2k2]上遞增；(5)最值性：當(dāng)x2k時(shí)，y1，max當(dāng)x2k時(shí)，y1；max(6)有界性：當(dāng)xR時(shí)，sinx[1,1].謝謝閱讀ytanxyxysinx(1)切線：曲線ysinx在x0處的切線謝謝閱讀yx，曲線ytanx在x0處的切線也為yx；精品文檔放心下載(2)不等式：當(dāng)x(0,2)時(shí)，sinxxtanx，感謝閱讀x(2,0)時(shí)，tanxxsinx，感謝閱讀x0時(shí)，sinxxtanx.謝謝閱讀2．函數(shù)圖象平移與伸縮變換.\(1)左右平移：yf(x)向右平移a個(gè)單位 yf(xa)；謝謝閱讀同理有如下結(jié)果：(2)上下平移：yf(x)向上平移b個(gè)單位ybf(x)，即yf(x)b；謝謝閱讀說(shuō)明：①當(dāng)a0時(shí)，yf(x)向右平移a個(gè)單位得yf(xa)，當(dāng)a0時(shí)，yf(x)向左平移|a|個(gè)單位得yf(xa)；②當(dāng)b0時(shí)，yf(x)向上平移b個(gè)單位得ybf(x)，精品文檔放心下載yf(x)b，當(dāng)b0時(shí)，yf(x)向下平移|b|個(gè)單位得ybf(x)，即yf(x)b.謝謝閱讀(3)橫向伸縮：yf(x)橫向(x)伸長(zhǎng)到原來(lái)的A倍yf(1Ax)；謝謝閱讀(4)縱向伸縮：yf(x)縱向(y)伸長(zhǎng)到原來(lái)的B倍B1yf(x)，即yBf(x).精品文檔放心下載說(shuō)明：當(dāng)A1時(shí)，表示伸長(zhǎng)，當(dāng)0A1時(shí)，表示縮短；當(dāng)B1時(shí)，表示伸長(zhǎng)，當(dāng)0B1時(shí)，表示縮短.精品文檔放心下載【典型例題】1．已知函數(shù)f(x)sin(2x3).精品文檔放心下載(1)求f(x)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及在[0,]上的單調(diào)遞增區(qū)間；精品文檔放心下載(3)求f(x)在[2,0]上的最大值與最小值，并求出相應(yīng)的x的值.謝謝閱讀.\13．把函數(shù)f(x)sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移與伸縮變換可得到函數(shù)g(x)2cos3x1的圖象？感謝閱讀【跟蹤練習(xí)】1．函數(shù)y|tan2x|的對(duì)稱軸是 .精品文檔放心下載2．已知a0，0，函數(shù)f(x)sin(x)，把yf(x)的圖象向右平移a個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)yg(x)的圖象，把yf(x)的圖象向左平移a個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)yh(x)的圖象，當(dāng)||取得最小值時(shí)，求yf(x)在[0,2]上的單調(diào)遞減區(qū)間.精品文檔放心下載13．若把函數(shù)f(x)x22x的圖象向左平移1個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)yg(x)的解析式.感謝閱讀5.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典型例題】1．解：(1)由2xk得xk，即f(x)的對(duì)稱軸為xk，322122122x3k得xk26，即f(x)的對(duì)稱軸為(k26,0)，kZ；感謝閱讀(2)由2k2x2k得kxk，2321212∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k,k],kZ，1212.\x[0,]時(shí)，2x3[3,3]，精品文檔放心下載由2x或2x得0x或x，3322331212f(x)在[0,]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,12]U[12,；精品文檔放心下載(3)由x[2,0]得2x3[3,3]，感謝閱讀∴當(dāng)2x，即x0時(shí)，f(x)f(0)sin3，33max322x32，即x12時(shí)，f(x)minf(12)sin(2)1.感謝閱讀2．證明：銳角△ABC中，有2AB，即02AB2，又函數(shù)f(x)sinx在(0,2)上單調(diào)遞增，有f(2A)f(B)，精品文檔放心下載sin(2A)sinBcosAsinB，謝謝閱讀同理cosBsinC，cosCsinA，精品文檔放心下載sinAsinBsinCcosAcosBcosC.謝謝閱讀3．解：方法一(先平移再伸縮)：f(x)sinxcos(2x)cos(x2)，感謝閱讀xa代換x得，ycos(xa2)，把1Ax代換x得ycos(1Axa2)，與ycos13x謝謝閱讀a20a2，即把f(x)sinx的圖象向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)對(duì)比得11，∴23A3A伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍得ycos1x的圖象，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得y2cos1x的圖象，33后向上平移1個(gè)單位得g(x)2cos1x1的圖象.3方法二(先伸縮再平移)：f(x)sinx