級(jí)數(shù)斂散性判別方法的歸納

級(jí)數(shù)斂散性判別方法的歸納（西北師大）摘要：無窮級(jí)數(shù)是《數(shù)學(xué)分析》中的一個(gè)重要組成部分，它是研究函數(shù)、進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析的一種工具，目前，無窮級(jí)數(shù)已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域，因而級(jí)數(shù)收斂的判別在級(jí)數(shù)的研究中亦顯得尤為重要，然而判定級(jí)數(shù)斂散性的方法太多，學(xué)者們一時(shí)很難把握，本文對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性的判別方法作了全面的歸納，以期對(duì)學(xué)者們有所幫助。關(guān)鍵詞：級(jí)數(shù)；收斂；判別；發(fā)散一.級(jí)數(shù)收斂的概念和基本性質(zhì)給定一個(gè)數(shù)列｛u｝，形如u+uH Fu…稱為無窮級(jí)數(shù)（常簡稱級(jí)數(shù)），用eunn=1記為S=丈u=u+u+ +unn1 2 nn=1稱它為無窮級(jí)數(shù)的第n個(gè)部分和，①表示。無窮級(jí)數(shù)①的前n項(xiàng)之和，②也簡稱部分和。若無窮級(jí)數(shù)②的部分和數(shù)列｛s｝收斂于s.則稱無窮級(jí)數(shù)￡u收斂，若級(jí)數(shù)的部分和發(fā)n=1散則稱級(jí)數(shù)EV發(fā)散。研究無窮級(jí)數(shù)的收斂問題，首先給出大家熟悉的收斂級(jí)數(shù)的一些基本定理：定理1若級(jí)數(shù)Eu和EV都收斂，則對(duì)任意的常數(shù)c和d,級(jí)數(shù)￡(cudv)亦收斂，且￡(cudu)=c￡u+d￡vn+n n+n n n定理2去掉、增加或改變級(jí)數(shù)的有限個(gè)項(xiàng)并不改變級(jí)數(shù)的斂散性定理3在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào)，既不改變級(jí)數(shù)的收斂性，也不改變它的和。定理4級(jí)數(shù)①收斂的充要條件是：任給8>0,總存在自然數(shù)N,使得當(dāng)m>N和任意的自然數(shù)p，都有|u+1+u2++u」V^以上是收斂級(jí)數(shù)的判別所需的一些最基本定理，但是，在處理實(shí)際問題中，僅靠這些是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，所以在級(jí)數(shù)的理論中必須建立一系列的判別法，這就是本文的主要任務(wù)。由于級(jí)數(shù)的復(fù)雜性，以下只研究正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別。二正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別各項(xiàng)都是由正數(shù)組成的級(jí)數(shù)攵稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)攵收斂的充要條件是：部分和數(shù)列｛s｝有界，即存在某正整數(shù)攵M,對(duì)一切正整數(shù)n有sVM。從基本定理出發(fā)，我們可以由此建立一系列基本的判別法1比較判別法設(shè)￡u和￡v是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在某正數(shù)攵N，對(duì)一切n>N都有u.<七，貝寸⑴級(jí)數(shù)攵￡v收斂，則級(jí)數(shù)￡u也收斂；(ii)若級(jí)數(shù)￡u發(fā)散，則級(jí)數(shù)￡v也發(fā)散。例1.設(shè)￡a2收斂，證明：￡=收斂（a>0）.n nlnn nn=1 n=2證明：因?yàn)?0<￡a2<1（a2+二）n2nnln2nn=1而當(dāng)n>n時(shí),(-1)nsin—n=sin—n=1而當(dāng)n>n時(shí),(-1)nsin—n=sin—>0

n?—sin—lim n=1—n，sn又Z—發(fā)散

nn=1由比較判別法知Zsin—也發(fā)散。nn=1所以V—。0，級(jí)數(shù)攵切（-1）sin—（V—必）都是條件收斂的。nn=1例3.證明級(jí)數(shù)Z[e-(1+1+1+…+!)]收斂1!2!n!n=1證：0Va=e-(1+-+L?.+-1)<n 1!2!n!1n-n! nlim婦=lim(n+1)"(n+1)!=n*b 〃*n n-n!由比值判別法知Zb收斂,lim——n——=0n*(n+1)2再由比較判別法知Za收易知：切1收斂（積分判別法），又切a2收斂，所以n=2 n=2工!(a2+-^)收斂。2n nln2nn=2由比較判別法知切業(yè)n收斂（a>0）.nlnn nn=2例2.證明：級(jí)數(shù)Z（-1）sin—（V—豐0）都是條件收斂的。nn=1證：不妨設(shè)x>0,則^N>0,當(dāng)n>N時(shí)，0<—<，，此時(shí)sin三>0,且｛sin—｝為單調(diào)遞減數(shù)攵列，且limsin—=0。nnns由萊布尼茨判別法知Z（-1）sin—（V—必）收斂。n斂，即有:級(jí)數(shù)Z[e-(1+1+-1+…+-!)]收斂。1!2! n!n=1

根據(jù)比較原則，我們得到了兩個(gè)更為實(shí)用的判別法，即柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法。2柯西判別法（根式判別法）設(shè)Zu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)N0及正常數(shù)i，（i）若對(duì)一切n>No，成立不等式0<lV1,則級(jí)數(shù)^〃收斂。（ii）若對(duì)一切n>No，成立不等式叵>1則級(jí)數(shù)Z氣發(fā)散。例1.判別級(jí)數(shù)Z堅(jiān)的斂散性。2n解：因?yàn)?lim,U=lim立2=1<12 2ns nT8JJ所以由根式判別法知級(jí)數(shù)Z性收斂。2n3達(dá)朗貝爾判別法（比值判別法）設(shè)Zu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)N0及常數(shù)q（0VqV1）.⑴若對(duì)一切n>n0，成立不等式L<q，則級(jí)數(shù)Zu收斂。（ii）若對(duì)一n切n>N。，成立不等式人>1則級(jí)數(shù)工〃發(fā)散。n例1.判別級(jí)數(shù)z*n!的斂散性。解：因?yàn)閚n解：因?yàn)閘imh=lim3n+1(n+1)!?里=lim-^=3>1〃"un n”(n+1)n+13nn! 〃”(]+l)n en所以由比式判別法知級(jí)數(shù)E空發(fā)散。nn4積分判別法積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比較對(duì)象來判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。設(shè)f為［1，+8)上非負(fù)減函數(shù)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)^f(n)與反常積分廣f(x)dx同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。1例1.判別級(jí)數(shù)若 1 的斂散性。n(lnn)p(lnlnn)qn=3解：設(shè)f(x)= 1，則f(x)在［3，+8)上非負(fù)遞減。n(lnn)p(lnInn)q. f1 1 ,八若p=1，這時(shí)有卜dx=j+8也=Jq^1(lnln3)q-1(q>)3x(lnx)p(lnlnx)q 心u+8(q<1)當(dāng)小q>1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)小q<1時(shí)級(jí)數(shù)攵發(fā)散；J+8 du 對(duì)任意的q，當(dāng)dx若p。1，這時(shí)有JJ+8 du 對(duì)任意的q，當(dāng)dx3x(lnx)p(lnlnx)q lnln3e(p-1)uuqp-1>0時(shí)，取t>1,有l(wèi)imut——1一=0 即該積分收斂。當(dāng)p-1<0時(shí)，有u-8 e(p-1)uUqlimut——1一=+8即該積分發(fā)散。UT8 e(p-1)uuq5拉貝判別法設(shè)Eu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)攵，且存在某正整數(shù)^及常數(shù)八(i)若對(duì)一切n>Ny成立不等式n(1-j>r>1，則級(jí)數(shù)E氣收斂。(ii)若對(duì)一切

n>no，成立不等式n(1-L)<1則級(jí)數(shù)Z七發(fā)散。n例1.判別級(jí)數(shù)Z n! (x>0)的斂散性。(尤+1)(x+2)—(x+n)解：因?yàn)閘imn(1-八ns Un)解：因?yàn)閘imn(1-八ns Un)=limn[1-ns(n+1)!(x+1)(x+2)…(x+n+1)(x+1)(x+2)…(x+n)]n!nx

lim =xn*x+n+1所以由拉貝判別法知，當(dāng)小x>1時(shí)級(jí)數(shù)攵收斂；當(dāng)小x<1時(shí)級(jí)數(shù)攵發(fā)散；6對(duì)數(shù)判別法lnG1)TOC\o"1-5"\h\z對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)攵Zu,如果存在lim——Ul=q，則當(dāng)q>1時(shí)，級(jí)數(shù)攵Zun n*lnn n收斂；當(dāng)q<1時(shí)，級(jí)數(shù)Zu發(fā)散。例1判別級(jí)數(shù)Za=Z5[-lnn+(-1)n-1]的斂散性。n=2 n=2lnn證明：lim當(dāng)1=lim血n一㈠)〃加5=ln5>1n—slnn lnn因此有對(duì)數(shù)判別法可知級(jí)數(shù)Za=Z5[-lnn+(-1)n-1]收斂。n=2 n=27雙比值判別法對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)Zu，如果存在lim二=lim￡=P，則當(dāng)P<1n n—sUn—sU 2n n+1時(shí)，級(jí)數(shù)ZU收斂；當(dāng)P>1時(shí)，級(jí)數(shù)ZU發(fā)散。n 2 n例1判別級(jí)數(shù)Z—的斂散性。n2

證明：因?yàn)閘im紜=lim些竺=1<1

isu f(2n)2lnn4 2n由此知級(jí)數(shù)工inn收斂。n2n=1例2判別級(jí)數(shù)工工的斂散性。

n!enn=1證明：這里氣七,即里n!en> (n證明：這里氣七,即里n!en> (n+1)n+1(n+1)!en+i有l(wèi)imnT3a二—2nan(2n)2nn!en—lim -——n，s(2n)!e2nn(2n)2nenlim n*nne2nv2^nnne-n —%.'2兀(2n)(2n)2ne-2n、互>1~2 2所以級(jí)數(shù)工工發(fā)散。n!enn=18高斯判別法設(shè)Ea是嚴(yán)格正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并設(shè)芻二人+色+工+o(―)，則關(guān)n a nnlnn nlnnn+1于級(jí)數(shù)Ea的斂散性，有以下結(jié)論：n如果人>1,那么級(jí)數(shù)Ea收斂；如果入<1,那么級(jí)數(shù)工a發(fā)散。如果人=1,R>1,那么級(jí)數(shù)Ea收斂；如果人—1,R<1,那n么級(jí)數(shù)Ea發(fā)散。如果人=R=1,0>1,那么級(jí)數(shù)Ea收斂；如果人—R=1,0<1,那么級(jí)數(shù)Ea發(fā)散。例1Gauss超幾何級(jí)數(shù)1+E以(以+恥'(以+n-l)°(8+D…(B+n-l)xnn!y(y+1)(y+2)…(y+n-1)的斂散性，其中均以,P，丫以為非負(fù)常數(shù)。1Y解：因?yàn)閍n=(n+D(Y+n)1_nn1T(a+n)(P+n)尤(1+-)(1+^)%nn又因?yàn)?1+%_1=1-亶+o(_L),(1+E)-1=1-E+o(?),nnn2 nnn2所以_a_=1(1+1+ya。+o(_!))。ax n n2根據(jù)高斯判別法可以判別：如果x<1;或者x=1,y>a+P