liu10-1二重積分的概念與性質(zhì)課件

第十章重積分第十章重積分1點(diǎn)、線、面、體及其性質(zhì)研究點(diǎn)、線、面、體及其性質(zhì)研究2第十章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重積分第十章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重3復(fù)習(xí)定積分1.曲邊梯形的面積2.定義3.推廣(1)被積函數(shù)在[a,b]為有界函數(shù).(2)積分區(qū)間[a,b]是有限區(qū)間.(1)被積函數(shù)在[a,b]為無界函數(shù).(2)積分區(qū)間[a,b]是無限區(qū)間.4.定積分思想：分割、近似、求和、取極限.復(fù)習(xí)定積分1.曲邊梯形的面積2.定義3.推廣(1)被積函數(shù)在4三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性二重積分的概念與性質(zhì)第十章三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可510-1二重積分的概念與性質(zhì)柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，曲頂柱體曲頂.一、引例10-1二重積分的概念與性質(zhì)柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：6解法:類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”１．曲頂柱體的體積xzyo解法:類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xo7求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方8求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方9求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方10求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方11求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方12求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方13xozyDxozyD14步驟如下：用若干個(gè)小平頂柱先分割曲頂柱體的底，曲頂柱體的體積為各小閉區(qū)域的直徑的最大者.曲頂柱體的體積，體體積之和近似并取典型小區(qū)域，步驟如下：用若干個(gè)小平頂柱先分割曲頂柱體的底，曲頂柱體的體積15２．求平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為其面密設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用(常數(shù))“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量:其中：為各小閉區(qū)域的直徑的最大者.２．求平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片,在xoy平面上占有16兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:(3)極限值均取決與一個(gè)函數(shù)與其定義區(qū)域.兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)17二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),則稱稱為積分變量二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D任意分成n個(gè)181.對定義的說明：表示一個(gè)確定的數(shù)值，它只與有關(guān)，與D的分割法、的取法、積分變量所使用的字母無關(guān)，即(1)(2)當(dāng)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在.(3)底為D，頂為的曲頂柱體的體積為：平面薄片的質(zhì)量為：1.對定義的說明：表示一個(gè)確定的數(shù)值，它只與有關(guān)，與D的分割192.二重積分的幾何意義即當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分二重積分是柱體的體積．特殊地：若在D上,則D的面積是柱體的體積的負(fù)值.？2.二重積分的幾何意義即當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)小于零20則面積元素為D3.直角坐標(biāo)系下的面積元素如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作？則面積元素為D3.直角坐標(biāo)系下的面積元素如果21性質(zhì)１當(dāng)k為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1,性質(zhì)2統(tǒng)稱為線性性質(zhì).性質(zhì)１當(dāng)k為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三22性質(zhì)３對區(qū)域D具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特殊地則有性質(zhì)３對區(qū)域D具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若23性質(zhì)6（二重積分中值定理）(二重積分估值不等式)設(shè)M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為D的面積，則性質(zhì)7設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)使得證：由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理，使性質(zhì)6（二重積分中值定理）(二重積分估值不等式)設(shè)M、m分別24例1.比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上與直線例1.比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界25解例2比較積分與的大小，其中D是三角形閉區(qū)域，三頂點(diǎn)各為(1,0),(1,1),(2,0).三角形斜邊方程為在D內(nèi)有故于是因此2...解例2比較積分與的大小，其中D是三角形閉區(qū)域，三頂點(diǎn)各為(126例3.估計(jì)下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D例3.估計(jì)下列積分之值解:D的面積為由于積分性質(zhì)27解例4區(qū)域D的面積在D上由性質(zhì)6知解例4區(qū)域D的面積在D上由性質(zhì)6知28解在D上，例5估計(jì)積分的值，其中D是圓形區(qū)域：而區(qū)域D的面積由性質(zhì)6知所以即解在D上，例5估計(jì)積分的值，其中D是圓形區(qū)域：而區(qū)域D的面積29四、利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡化計(jì)算二重積分.四、利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡化計(jì)算二重積分.30yzxxyzyzxxyz31注意:注：關(guān)于對稱，即互換，保持不變.（輪換對稱性），注意:注：關(guān)于對稱，即互換，保持不32例6(2005)解由輪換對稱性，有例6(2005)解由輪換對稱性，有33例7.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對稱性,有又D的面積為1,故結(jié)論成立.例7.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對34五、小結(jié)定義：性質(zhì):2.二重積分:思考題將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較,找出它們的相同之處與不同之處.二重積分與定積分有類似的性質(zhì).1.定積分:五、小結(jié)定義：性質(zhì):2.二重積分:思考題將二重積分定義與定積35定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，思考題解答:被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．的一元函數(shù)，積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)．而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上不同的是定要求:復(fù)習(xí)上期所學(xué)的積分公式和積分法則(直接法,換元法,分部法).作業(yè)P136：2,4(4),5(2)(3).預(yù)習(xí)P137~148.定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，思考題解答:被積函數(shù)36被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:由它們的積分域范圍372.設(shè)D是第二象限的一個(gè)有界閉域,且