晶體生長的模擬

蒙特卡羅法蒙特卡羅法〔MonteCarloMC法〕也稱隨機(jī)模擬法、隨機(jī)抽樣技術(shù)或統(tǒng)計試驗法，源于美國第一次世界大戰(zhàn)研制原子彈的“曼哈頓打算”。該打算的主持人之一，數(shù)學(xué)家馮?諾伊曼用著名世界的賭城-摩納哥的MonteCarlo-來命名這種方法。MC方法的根本思想很早以前就被人們所覺察和利用。早在 17世紀(jì)，人們就知道用大事發(fā)生的“頻率”來打算大事的。概率”。19世紀(jì)人們用投針試驗的方法來打算圓周率n。20世紀(jì)40年月電子計算機(jī)的消滅，特別是近年來高速電子計算機(jī)的消滅，使得用數(shù)學(xué)方法在計算機(jī)上大量、快速的模擬這類試驗成為可能。MC法的根本思想是：為了求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)或生產(chǎn)治理等方面的問題，首先建立一個與求解有關(guān)的概率模型或隨機(jī)過程， 使它的參數(shù)等于所求問題的解，然后通過模型或過程的觀看或抽樣試驗來計算所求參數(shù)的統(tǒng)計特征， 最終給出所求解的近似值。概率統(tǒng)計是蒙特卡羅法的理論根底，其根本手段是隨機(jī)抽樣或隨機(jī)變量抽樣，對于那些難以進(jìn)展的或條件不滿足的試驗而言， 是一種極好的替代方法。MC法的根本步驟是：1、建立概率模型，即對所爭論的問題構(gòu)造一個符合其特點的概率模型〔隨機(jī)時間，隨機(jī)變量等〕。包括對確定性問題，須把具體問題變?yōu)楦怕蕟栴}，建立概率模型。2、產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列，作為系統(tǒng)的抽樣輸入進(jìn)展大量的數(shù)字模擬試驗，得到大量的模擬試驗值。3、對模擬試驗結(jié)果進(jìn)展統(tǒng)計處理〔計算頻率、均值等特征值〕，給出所求問題的解和解的精度估量。蒙特卡羅法模擬晶粒長大的算法模型2080AndgTson、SrolovitzEXXON爭論組首先提出了蒙特卡羅模擬晶粒長大的二維算法，其主要內(nèi)容是：將所選定的二維平面區(qū)域離散為假設(shè)干微小的正多邊形單元 〔如三角形、四邊形或六邊形〕，對于每個單元，從Q〔Q>1〕個整數(shù)中隨機(jī)地選取一個作為其微觀取向，相鄰的一樣取向的小單元構(gòu)成一個晶粒。相鄰的不同取向的單元之問形成晶界。晶界能由選定的單元與其假設(shè)干最相鄰的單元的微觀取向組合來定義，可描述為：-1E=-JMsisjnn式中：ssj為第ij的取向；J為相鄰單元對晶界能所做的貢Kronecker函數(shù)，久①0〔ssJ；=1〔s式可〕。晶界遷移的驅(qū)動力為晶界能的減小。其算法的實現(xiàn)過程為：1、確定單元的構(gòu)造，對所計算的二維區(qū)域進(jìn)展單元劃分；2、將該區(qū)域映射到一個二維矩陣中，并對該矩陣進(jìn)展初始化〔給該矩陣的每I---Q的整數(shù)，該整數(shù)代表其對應(yīng)單元的取向〕；3、隨機(jī)地選取一個單元，計算該單元的自由能Eo；規(guī)章/變換函數(shù)二＞—元胞空間匚n4規(guī)章/變換函數(shù)二＞—元胞空間匚no5、比較單元取向轉(zhuǎn)變前后的能量差=巳-E)。假設(shè)△EW0U取向被承受，否則取向以概率W被承受。其中：oWexp(-——)kT式中：kBoltzman常數(shù)；T為溫度。N個這樣的再定向嘗試就構(gòu)成了一個蒙特卡羅步(MCS)。晶界處單元取向的轉(zhuǎn)變就構(gòu)成了晶界的遷移，其遷移速度可由式下式表示：心GiV=C[1-exp( kT式中：c為晶界遷移率；■■-：Gi為局部自由能。上式與經(jīng)典晶粒長大速率是全都的。元胞自動機(jī)法一?元胞自動機(jī)法簡介元胞自動機(jī)法(簡稱CA法)是一種用來描述簡潔系統(tǒng)在離散空間一時間上演化規(guī)律的數(shù)學(xué)算法。這一思想最早在50年月初由V.Neumann提出，應(yīng)用于生物體發(fā)育中細(xì)胞的自我復(fù)制。80年月以來，物理學(xué)家、計算機(jī)科學(xué)家對元胞自動機(jī)模型興趣大增。S.Wolfram系統(tǒng)地爭論了最簡潔的一維元胞自動機(jī)?，F(xiàn)在元胞自動機(jī)無論在關(guān)于本身的正規(guī)語言等方面還是在各方面的應(yīng)用上都取得了極大的進(jìn)展，而且還與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)融合形成了元胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。 這一最的穿插學(xué)科，被認(rèn)為是開創(chuàng)了根底科學(xué)爭論與探究簡潔性的途徑，成為當(dāng)前快速進(jìn)展的重大前沿科學(xué)，是興盛國家猛烈競爭的領(lǐng)域。二?元胞自動機(jī)的構(gòu)成元胞自動機(jī)最根本的組成：元胞、元胞空間、鄰居及規(guī)章四局部。鄰居1CA的構(gòu)成元胞：元胞自動機(jī)的最根本的組成局部。元胞分布在離散的一維、二維或多維的晶格點上。狀態(tài)：元胞最根本的屬性。不同狀態(tài)代表不同的元胞。1元胞空間：元胞所分布在1的空間網(wǎng)點集合。二維元胞自動機(jī)的元胞空間通?？砂慈切巍⒄叫位蛄呅稳N網(wǎng)格排列，如圖 2所示：三角形網(wǎng)格 正方形網(wǎng)格 (可六邊形網(wǎng)格2元胞空間網(wǎng)絡(luò)四方網(wǎng)格具有直觀而簡潔，而且特別適合于在現(xiàn)有計算機(jī)環(huán)境下進(jìn)展表達(dá)顯示的優(yōu)點元胞自動機(jī)的邊界條件有：a)定值型邊界：指全部邊界外元胞均取某一固定0、1等。b)映射型邊界：在邊界外鄰居的元胞狀態(tài)是以邊界為軸的鏡面反射。C)周期型邊界：是指相對邊界連接起來的元胞空間。對于二維空間，上下相接、左右相接，而形成一個拓?fù)鋱A環(huán)面。鄰居：在元胞自動機(jī)中，這些規(guī)章是定義在空間局部范圍內(nèi)的，即一個元胞下一時刻的狀態(tài)打算于本身狀態(tài)和它的鄰居元胞的狀態(tài)。 二維元胞自動機(jī)的鄰居定義通常有以下幾種形式見以以下圖，黑色元胞為中心元胞，灰色元胞為其鄰居,它們的狀態(tài)一起來計算中心元胞在下一時刻的狀態(tài)。3元胞自動機(jī)的鄰居模型1、馮.諾依曼(Von.Neumann)型：一個元胞的上、下、左、右鄰四個元胞1;馮.諾依曼型鄰居定義所對應(yīng)的轉(zhuǎn)變規(guī)章為：如元胞與四個鄰居狀態(tài)都一樣，則其狀態(tài)保持不變；QQ;U元胞狀態(tài)隨機(jī)轉(zhuǎn)變。2、摩爾(Moore)型：一個元胞的上、下、左、右相鄰四個元胞和左上、右上、右下、左下次相鄰四個元胞為該元胞的鄰居，鄰居半徑同樣為 1;Moore型鄰居定義(4所示)所對應(yīng)的轉(zhuǎn)變規(guī)章為：G5與四周八個鄰居狀態(tài)都一樣，則其狀態(tài)保持不變；a)G2、G4、G6、G8G5轉(zhuǎn)變?yōu)槠湟粯訝顟B(tài)；b)Gl、G3、G7、G9G5也轉(zhuǎn)變?yōu)槠湟粯訝顟B(tài)；G5G5有可能向任一狀態(tài)轉(zhuǎn)變，且概率一樣。當(dāng)判定一個元胞狀態(tài)轉(zhuǎn)變時，挨次應(yīng)為：(1)-(2a)-(2b)-(3)。G1G2G3G4G5G6G7G8G94Moore型鄰居模型3r2或者更大，即得到所謂擴(kuò)展MooreMoore型類似。規(guī)章：依據(jù)元胞當(dāng)前狀態(tài)及其鄰居狀況確定下一時刻該元胞狀態(tài)的動力學(xué)函數(shù)，簡潔講，就是一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)。時間：元胞自動機(jī)是一個動態(tài)系統(tǒng)，它在時間維上的變化是離散的，即f是一個整數(shù)值，而且連續(xù)等間距。假設(shè)時間間距dt=lt=0為初始時刻。那么。T=1為其下一時刻。在上述轉(zhuǎn)換函數(shù)中，一個元胞在t+1的時刻只〔直接〕決t時刻的該元胞及其鄰居元胞的狀態(tài)，雖然，在t-1時刻的元胞及其鄰居元胞的狀態(tài)間接〔時間上的滯后〕t+1的時刻的狀態(tài)。三?元胞自動機(jī)的一般特征從元胞自動機(jī)的構(gòu)成及其規(guī)章上分析，元胞自動機(jī)具有如下的特征。1、同質(zhì)性、齊性：同質(zhì)性反映在元胞空間內(nèi)的每個元胞的變化都聽從一樣的規(guī)律，即元胞自動機(jī)的規(guī)章；而齊性指的是元胞的分布方式一樣，大小、外形相同，空間分布規(guī)章整齊；2、空間離散：元胞分布在依據(jù)確定規(guī)章劃分的離散的元胞空間上；3t只能取t、t+1、t+2?t時刻的狀態(tài)構(gòu)形只對其下一t+1t+2時刻的狀態(tài)構(gòu)形完全打算于t+1的