第四章-線性系統(tǒng)的根軌跡法課件

第四章根軌跡法 4-1根軌跡法的基本概念

4-2常規(guī)根軌跡的繪制法則

4-3廣義根軌跡

4-4系統(tǒng)性能的分析第四章根軌跡法 4-1根軌跡法的基本概念根軌跡法概述控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要方法之一；確定閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布與開環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)的關(guān)系；研究分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)特征根的影響；根軌跡是一種圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布情況，用作圖法簡便的求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)值（如開環(huán)增益）間的關(guān)系。根軌跡法概述4-1根軌跡法的基本概念開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)特征方程

4-1根軌跡法的基本概念根軌跡的概念

開環(huán)傳遞函數(shù)中某個(gè)參數(shù)（通常是開環(huán)增益）從零到無窮大變化時(shí)，系統(tǒng)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡—根軌跡。 它是直接利用開環(huán)傳遞函數(shù)分析閉環(huán)特征根及其性能的圖解法。

『例』已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，討論閉環(huán)極點(diǎn)的分布情況(0<K<∞)。

根軌跡的概念

可得閉環(huán)極點(diǎn)的變化情況：

K=0 s1=0，s2=-4（也是開環(huán)極點(diǎn)）

0<K<1 s1，s2為不等的負(fù)實(shí)根

K=1 s1=-2s2=-2（重根）

K=2 s1=-2+2j，s2=-2-2j 1<K<∞s1s2實(shí)部均為-2 K=∞ s1=-2+j∞，

s2=-2-j∞××jwK=0K→∞K=1K=0K→∞ 可得閉環(huán)極點(diǎn)的變化情況： ××jwK=0K→∞K=1K=『注』在s平面上，用箭頭標(biāo)明K增大時(shí)閉環(huán)特征根移動(dòng)的方向，以數(shù)值表明某極點(diǎn)處的增益大小。

根軌跡圖可以分析系統(tǒng)的各種性能：穩(wěn)定性:根軌跡均在s的左半平面，則系統(tǒng)對所有k>0的值是穩(wěn)定的。穩(wěn)態(tài)性能：如圖有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)s=0，說明屬于I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。動(dòng)態(tài)性能：過阻尼臨界阻尼欠阻尼。K越大，阻尼比ξ越小，超調(diào)量σ%越大。××jwK=0K→∞K=1K=0K→∞『注』在s平面上，用箭頭標(biāo)明K增大時(shí)閉環(huán)特征根移動(dòng)的方向，以根軌跡與系統(tǒng)性能根軌跡是利用K為參變量畫出來的，利用根軌跡可以直觀的分析K的變化對系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響。根據(jù)性能指標(biāo)的要求可以很快確定出系統(tǒng)閉環(huán)特征根的位置,

在根軌跡圖上確定出可變參數(shù)的大小，便于系統(tǒng)設(shè)計(jì)和綜合。

『問題』根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著密切的聯(lián)系，但是直接用解閉環(huán)特征方程（一元高次方程）的根的辦法來繪制根軌跡是很困難的。如何繪制閉環(huán)根軌跡？

繪制閉環(huán)根軌跡的思路：通過一些繪圖規(guī)則由開環(huán)傳遞函數(shù)直接繪制閉環(huán)根軌跡。根軌跡與系統(tǒng)性能『問題』根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著密切的聯(lián)系，閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)將前向通道傳遞函數(shù)和反饋通道傳遞函數(shù)表示為G（S）H（S）-R（s）C(s)閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系G（S）H（S）-R（s）C開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)zi為前向通道的零點(diǎn)pi為前向通道的極點(diǎn)zj為反饋通道的零點(diǎn)pj為反饋通道的極點(diǎn)前向通道根軌跡增益反饋通道根軌跡增益開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益前向通道根軌跡增益反饋通道根軌跡增益開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益『結(jié)論』閉環(huán)零點(diǎn)有前向通道零點(diǎn)和反饋通道極點(diǎn)構(gòu)成，對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)及開環(huán)根軌跡增益有關(guān)。開環(huán)根軌跡增益與開環(huán)增益的區(qū)別

開環(huán)根軌跡增益 開環(huán)增益第四章-線性系統(tǒng)的根軌跡法ppt課件根軌跡方程根軌跡方程

或假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)中有m個(gè)零點(diǎn)和n個(gè)極點(diǎn)根軌跡方程根軌跡方程兩個(gè)條件：模值條件和相角條件

根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論可知

模值條件

相角條件jw－1根軌跡方程兩個(gè)條件：模值條件和相角條件jw－1『注』相角條件是確定S平面上根軌跡的充要條件，即繪制根軌跡時(shí)，只需使用相角條件；當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的 時(shí)，才使用模植條件。相角方程的物理意義

表示開環(huán)零點(diǎn)指向閉環(huán)極點(diǎn)s所形成的向量與x正實(shí)軸的夾角； 表示開環(huán)極點(diǎn)指向閉環(huán)極點(diǎn)s所形成的向量與x正實(shí)軸的夾角。jwsZi或piS-Zi或s-pis-zis-pi『注』相角方程的物理意義jwsZi或piS-Zi或s『結(jié)論』相角方程：所有開環(huán)零點(diǎn)指向任一閉環(huán)極點(diǎn)（根軌跡上任一點(diǎn)）的向量與正實(shí)軸的夾角之和減去所有開環(huán)極點(diǎn)指向同一閉環(huán)極點(diǎn)的向量與正實(shí)軸的夾角之和滿足（2k+1）π模值方程的物理意義『結(jié)論』模值方程：所有開環(huán)零點(diǎn)指向任一閉環(huán)極點(diǎn)的向量的長度之積與所有開環(huán)極點(diǎn)指向同一閉環(huán)極點(diǎn)的向量的長度之積的比等于開環(huán)根軌跡增益倒數(shù)?！航Y(jié)論』模值方程的物理意義『結(jié)論』『問題』判斷s1是否根軌跡上的點(diǎn)?

根據(jù)相角條件判斷某點(diǎn)是否在根軌跡上！s1z1

z2p3p2p1

×××『問題』判斷s1是否根軌跡上的點(diǎn)?s1z1z『例』

開環(huán)傳函 ，用相角方程證明：是系統(tǒng)的特征根，并求出此時(shí)的K*值。

K*=1.5

『例』4-2常規(guī)根軌跡的繪制法則常規(guī)根軌跡的繪制法則根軌跡的分支數(shù)，對稱性和連續(xù)性

根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn)m和有限極n中的大者相同，他們是連續(xù)的并且對稱于實(shí)軸。一般有n≥m，所以分支數(shù)=max(m,n)=開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)=特征方程階數(shù)根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)

K*=0時(shí)對應(yīng)的根軌跡的點(diǎn)稱根軌跡的起點(diǎn)；

K*=∞時(shí)對應(yīng)的根軌跡的點(diǎn)稱根軌跡的終點(diǎn)。根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有n-m條根軌跡終于無窮遠(yuǎn)處。4-2常規(guī)根軌跡的繪制法則常規(guī)根軌跡的繪制法則根軌跡在實(shí)軸上的分布情況實(shí)軸上某線段右邊的開環(huán)零、極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則這段實(shí)軸為根軌跡上的點(diǎn)。

對實(shí)軸根軌跡上任一點(diǎn)s1來說，其左邊的開環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的相角總是0，對相角方程沒影響。其右邊的開環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的相角總是π，因而只有奇數(shù)個(gè)開環(huán)零、極點(diǎn)才會滿足相角方程。共軛零極點(diǎn)到s1點(diǎn)的相角之和總是0或±2π

。根軌跡在實(shí)軸上的分布情況根軌跡的漸近線當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，有n-m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為和交點(diǎn)為的一組漸進(jìn)線趨向無窮遠(yuǎn)處。

『例』根軌跡的漸近線根軌跡的分離點(diǎn)與分離角分離點(diǎn)：l條根軌跡分支在s平面上相遇后又分開的點(diǎn),稱為根軌跡的分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）用d表示。分離點(diǎn)對應(yīng)系統(tǒng)特征方程的重根，這時(shí)（一般地）系統(tǒng)為臨界阻尼。根軌跡的分離點(diǎn)或出現(xiàn)在實(shí)軸上，或共軛成對地出現(xiàn)在復(fù)平面中，但以實(shí)軸分離點(diǎn)最為常見，分離點(diǎn)計(jì)算公式：對于低階特征方程，亦可直接解特征方程，亦可對特征方程求導(dǎo)等于0獲取。根軌跡的分離點(diǎn)與分離角『例1』開環(huán)傳遞函數(shù)『解』

，n=2，沒有零點(diǎn)，由

可知亦可直接用特征方程求取 得K=1，s=-1『注』由分離點(diǎn)公式求出d后，一定要進(jìn)行檢查，應(yīng)舍棄不在根軌跡上的點(diǎn)d?！豪?』開環(huán)傳遞函數(shù)『注』由分離點(diǎn)公式求出d后，一定要進(jìn)行檢『例2』開環(huán)傳遞函數(shù)『解』

顯然d2不在根軌跡上，應(yīng)舍棄。-1+j-1-j-1-2-3-4j『注』僅由兩個(gè)極點(diǎn)(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開環(huán)系統(tǒng)。只要有限零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間。當(dāng)k*

從0變到無窮大時(shí),閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是以有限零點(diǎn)為圓心,以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的圓或圓的一部分?！豪?』開環(huán)傳遞函數(shù)-1+j-1-j-1-2-3-4j『注』『問題』如何判斷實(shí)軸上的分離點(diǎn)?若實(shí)軸上兩個(gè)相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間是根軌跡，則這兩極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)。若實(shí)軸上兩個(gè)相鄰開環(huán)零點(diǎn)之間是根軌跡，則這兩零點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)（其中一個(gè)零點(diǎn)可以是無限大零點(diǎn)）?！簡栴}』如何判斷實(shí)軸上的分離點(diǎn)?分離點(diǎn)處根軌跡分支間的夾角如果有l(wèi)條根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn),必然有l(wèi)條根軌跡分支離開分離點(diǎn)。根軌跡分支進(jìn)入分離點(diǎn)的切線與離開分離點(diǎn)的切線方向夾角稱為分離角,用表示，則分離點(diǎn)處根軌跡分支間的夾角第四章-線性系統(tǒng)的根軌跡法ppt課件『例3』設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示，試?yán)L制其概略根軌跡。『解』由法則3，實(shí)軸上區(qū)域[0,-1]和[-2,-3]是根軌跡。由法則1，該系統(tǒng)有三條根軌跡分支，且對稱于實(shí)軸。由法則2，一條根軌跡分支起于開環(huán)極點(diǎn)(0)，終于開環(huán)有限零點(diǎn)(-1)，另兩條根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)(-2)和(-3)，終于無窮遠(yuǎn)處（無限零點(diǎn)）。由法則4，兩條終于無窮的根軌跡的漸近線與實(shí)軸交角為90°和270°交點(diǎn)坐標(biāo)為『例3』設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示，試?yán)L制其概略

由法則5，實(shí)軸區(qū)域[-2,-3]必有一個(gè)根軌跡的分離點(diǎn)d，它滿足下述分離點(diǎn)方程：

考慮到d必有-2和-3之間，初步試探時(shí)，設(shè)d=-2.5,算出 因方程兩邊不等，所以d=-2.5不是欲求的分離點(diǎn)坐標(biāo)?，F(xiàn)在重取d=-2.47,方程兩邊近似相等，故本例d≈-2.47，最后畫出系統(tǒng)概略根軌跡。

根軌跡的起始角與終止角(針對有開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)情況)起于開環(huán)復(fù)極點(diǎn)的根軌跡，在起點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角,稱為根軌跡的起始角。終止于開環(huán)復(fù)零點(diǎn)的根軌跡，在終點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角,稱為根軌跡的終止角。根軌跡的起始角與終止角(針對有開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)情況起始角和終止角可按以下公式求出起始點(diǎn)和終止點(diǎn)有多重零極點(diǎn)怎么辦?起始角和終止角可按以下公式求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)（在虛軸上為臨界穩(wěn)定）根據(jù)必然是根軌跡方程的解，然后由

即可求得，也就是根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的開環(huán)增益。第三章方法：如果根軌跡與虛軸有交點(diǎn)，則勞斯計(jì)算表中必出現(xiàn)全為零行，由輔助方程確定交點(diǎn)，進(jìn)而求得開環(huán)增益K。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)（在虛軸上為臨界穩(wěn)定）『例4』設(shè)系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。『解』將開環(huán)零、極點(diǎn)畫出，按如下典型步驟繪制根軌跡：（1）確定實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上[0,-1.5]和[-2.5,-∞]為根軌跡。（2）確定根軌跡的漸近線。在n-m＝1的情況下，不必再去確定根軌跡的漸近線。（3）確定分離點(diǎn)。本例無分離點(diǎn)。（4）確定起始角和終止角。根軌跡在極點(diǎn)(-0.5,+j1.5)處的起始角為根據(jù)對稱性，根軌跡在極點(diǎn)(-0.5,－j1.5)處的起始角為－79°。類似方法可得根軌跡在(-2,+j)處的終止角為－149.5°?！豪?』設(shè)系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為第四章-線性系統(tǒng)的根軌跡法ppt課件閉環(huán)極點(diǎn)的和與積

設(shè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程式為開環(huán)增益K的求取

每條根軌跡上的任何一點(diǎn)，都是對應(yīng)于某一k*值的閉環(huán)極點(diǎn)，應(yīng)在根軌跡上按模值方程確定。閉環(huán)極點(diǎn)的和與積『例5』設(shè)系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡?！航狻粚㈤_環(huán)零、極點(diǎn)畫出，按如下典型步驟繪制根軌跡：（1）確定實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上根軌跡為[0,-3]區(qū)間。（2）確定根軌跡的漸近線。n-m=4條，漸近線與實(shí)軸正方向的夾角以及與實(shí)軸的交點(diǎn)

（3）確定分離點(diǎn)?！豪?』設(shè)系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為分離角

（4）確定起始角和終止角。由根軌跡的對稱性可知第四章-線性系統(tǒng)的根軌跡法ppt課件

（6）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令代入實(shí)部和虛部都為0得 （6）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)第四章-線性系統(tǒng)的根軌跡法ppt課件閉環(huán)極點(diǎn)的確定

每條根軌跡上的任何一點(diǎn)，都是對應(yīng)于某一K*值的閉環(huán)極點(diǎn)，應(yīng)在根軌跡上按模值方程確定。

較簡便的方法：對于特定的K*值的閉環(huán)極點(diǎn)，使用試驗(yàn)法確定實(shí)軸上的閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值，然后用綜合除法或根之和根之積的代數(shù)方法確定其余的閉環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)的確定『例6』系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示 （1）繪制系統(tǒng)的根軌跡； （2）確定無超調(diào)響應(yīng)的K值范圍及分離點(diǎn)處閉環(huán)傳遞函數(shù)?！航狻?/p>

（1）開環(huán)傳遞函數(shù)為 （2）n＝2，m＝1有兩個(gè)根軌跡分支。漸近線有n－m＝1條--4-20××『例6』系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示--4-2

（3）求分離點(diǎn)

求系統(tǒng)無超調(diào)對應(yīng)的K*范圍（即閉環(huán)特征根位于負(fù)實(shí)軸上）

『分析』

（1）根軌跡在離開分離點(diǎn)d2之前 （2）根軌跡在進(jìn)入分離點(diǎn)d1之后 系統(tǒng)的兩個(gè)極點(diǎn)都位于負(fù)實(shí)軸上。故應(yīng)求兩點(diǎn)處的K*的值。 （4）由模值方程 -4-2×× （3）求分離點(diǎn)-4-2××

所以系統(tǒng)無超調(diào)對應(yīng)的K范圍為（5）在分離點(diǎn)d1處，K*=11.65

思考題？

閉環(huán)特征方程為s3+2s2+s+K*=0，繪制系統(tǒng)根軌跡?！豪?』系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖所示，概略繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡?！航狻唬?）4條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)與夾角為

－200

-10＋10j-10-10j××××思考題？『例7』系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖所示，概略繪制系統(tǒng)的

（2）求分離點(diǎn)，利用直接對特征方程求導(dǎo)的方式所以分離點(diǎn)為：d1＝d2＝d3＝－10。（3）求起始角

（2）求分離點(diǎn)，利用直接對特征方程求導(dǎo)的方式

（4）求與虛軸交點(diǎn)，將

帶入特征方程得

-10+10j

-10-10j-200

××××（4）求與虛軸交點(diǎn)，將帶入特征方程演變情形-10+10j

-10-10j-200

××××演變情形-10+10j-20附：幾類典型的概略根軌跡a附：幾類典型的概略根軌跡abbccddeegg

hh

iiff繪制根軌跡的法則

★法則4

漸近線法則2

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)法則1

根軌跡的分支數(shù)，對稱性和連續(xù)性★法則3

實(shí)軸上的根軌跡法則8

根之和★法則5

分離點(diǎn)★法則7

與虛軸交點(diǎn)★法則6

出射角/入射角繪制根軌跡的法則★法則4漸近線法則2根軌跡的起4-3廣義根軌跡以開環(huán)根軌跡增益K*為可變參數(shù)繪制的根軌跡為常規(guī)根軌跡。廣義根軌跡分為參數(shù)根軌跡和零度根軌跡。可變參數(shù)可以是控制系統(tǒng)中的任何一個(gè)參數(shù)。如果引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，廣義根軌跡的繪制方法與常規(guī)根軌跡完全相同。4-3廣義根軌跡以開環(huán)根軌跡增益K*為可變參數(shù)繪制的根軌參數(shù)根軌跡在繪制系統(tǒng)的根軌跡時(shí)，并非只能以開環(huán)增益為可變參量，實(shí)際上對繪制根軌跡所選的參數(shù)可按需要加以選擇，并稱以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡為參數(shù)根軌跡。繪制步驟將系統(tǒng)的特征方程整理成如下形式的根軌跡方程，即按繪制180°或0°根軌跡規(guī)則繪制。（特征方程意義上的）等效開環(huán)傳遞函數(shù)參數(shù)根軌跡（特征方程意義上的）開環(huán)零點(diǎn)作變化時(shí)的根軌跡『例1』設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)L制Kt由0→∞時(shí)的根軌跡?！航狻唬?）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為C(s)1+Kts-R(s)開環(huán)零點(diǎn)作變化時(shí)的根軌跡C(s)1+Kts-R(s)

閉環(huán)特征方程為（2）構(gòu)造與原系統(tǒng)具有相同特征方程的新系統(tǒng)××jwK的作用？ 閉環(huán)特征方程為××jwK的作用？『注』利用等效開環(huán)傳遞函數(shù)繪制的根軌跡，只能確定控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，動(dòng)態(tài)性能定性。原系統(tǒng)與等效后的新系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是不同的，若求根軌跡某點(diǎn)處的穩(wěn)態(tài)誤差和輸出響應(yīng)，必須用原系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)?！鹤ⅰ婚_環(huán)極點(diǎn)變化時(shí)的根軌跡『例2』已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)其中K及T均為給定值，試?yán)L制τ從零變到無窮時(shí)的根軌跡?！航狻唬?）系統(tǒng)的特征方程，即則等效開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)極點(diǎn)變化時(shí)的根軌跡

（2）對于等效開環(huán)傳遞函數(shù)有若，則有兩個(gè)復(fù)極點(diǎn)為（3）由于m=3，n=2，m>n，則分支數(shù)就不能為n，而只能為m。（4）求與虛軸的交點(diǎn)

（2）對于等效開環(huán)傳遞函數(shù)有××××『例3』設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

1.確定系統(tǒng)穩(wěn)定的a值；

2.繪制a＝8，9，10，0.5時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。『解』 1.用勞斯判據(jù)容易得出系統(tǒng)穩(wěn)定的a值范圍為：a>1。

2.構(gòu)造等效開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)a＝8

，兩條漸近線交點(diǎn)：分離點(diǎn)：由分析可知根軌跡無分離點(diǎn)。 『例3』設(shè)系統(tǒng)的特征方程為求與虛軸交點(diǎn)，由特征方程

得

根軌跡與虛軸無交點(diǎn)。-8-3.5-1×××求與虛軸交點(diǎn)，由特征方程當(dāng)a＝9，特征方程為兩條漸近線交點(diǎn)：分離點(diǎn)：由分析可知根軌跡的分離點(diǎn)為重極點(diǎn)，即三條根軌跡分支相交于求與虛軸交點(diǎn)，除在s=0外，根軌跡與虛軸無交點(diǎn)。當(dāng)a＝9，特征方程為

-9-4-3-1×××-9當(dāng)a＝10，特征方程為兩條漸近線交點(diǎn)：分離點(diǎn)：由分析可知根軌跡的分離點(diǎn)是有效的。求與虛軸交點(diǎn)，除在s=0外，根軌跡與虛軸無交點(diǎn)。當(dāng)a＝10，特征方程為

-10-4.5-4-2.5-1×××-10當(dāng)a＝0.5，特征方程為兩條漸近線交點(diǎn)：分離點(diǎn)：由分析可知分離點(diǎn)不在根軌跡上，無分離點(diǎn)。求與虛軸交點(diǎn)，除在s=0外，根軌跡與虛軸無交點(diǎn)。當(dāng)a＝0.5，特征方程為

-1-0.5

0.25×××-1零度根軌跡

正反饋的特征方程為

，即

模值方程為

相角方程為+R(S)G(S)H(S)C(S)零度根軌跡+R(S)G(S)H(S)C(S)『注』

負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡為180°根軌跡

正反饋的根軌跡稱為零度根軌跡 修改繪制根軌跡的法則（只要修改與相角方程有關(guān)的部分）實(shí)軸上的根軌跡 在實(shí)軸上自右向左數(shù),凡偶數(shù)零極點(diǎn)左邊的一段實(shí)軸是根軌跡，第一個(gè)零極點(diǎn)右邊的實(shí)軸也是根軌跡。

根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角應(yīng)改為

180°根軌跡『注』計(jì)算根軌跡起始角與終止角的公式應(yīng)改為:（只有復(fù)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù)零點(diǎn)才有起始角與終止角）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)其它法則與180°根軌跡法則完全相同計(jì)算根軌跡起始角與終止角的公式應(yīng)改為:（只有復(fù)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù)零『例』設(shè)正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，繪制根軌跡?！航狻?/p>

開環(huán)極點(diǎn)S1=-3，S2=-1+j，S3=-1-j。開環(huán)零點(diǎn)數(shù)Z1=-2。 （1）有三條根軌跡，2條漸近線 （2）實(shí)軸上的根軌跡[-2,+∞),(-∞,-3]。(實(shí)軸上從右向左數(shù),凡偶數(shù)零極點(diǎn)左邊的一段是根軌跡,第一個(gè)零極點(diǎn)右邊的實(shí)軸也是根軌跡。）

（3）根軌跡的起始角

『例』設(shè)正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，繪制根軌跡。

（4）根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)

（5）坐標(biāo)原點(diǎn)對應(yīng)的根軌跡增益為臨界值，可由模值方程求出j-1+j-1-j-2-3K=1-0.80(K=0)××× （4）根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)j-1+j-1-j-2-3K=1『說明』當(dāng)0<K<1時(shí)，即使是正反饋系統(tǒng)，仍然能穩(wěn)定工作。當(dāng)開環(huán)增益K>1時(shí)，將有一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)分布在s平面的右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)0<K<0.63時(shí)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩曲線，為欠阻尼系統(tǒng)。j-1+j-1-j-2-3K=1-0.80(K=0)×××『說明』j-1+j-1-j-2-3K=1-0.80(K=0)判斷下列系統(tǒng)是0°或180°根軌跡？R(s)C