第5章極限定理初步

PAGEPAGE103第5章極限定理初步5.1內(nèi)容框圖大數(shù)定理大數(shù)定理中心極限定理辛欽大數(shù)定理貝努里大數(shù)定理林德貝格－列維極限定理德莫哇佛－拉普拉斯極限定理應(yīng)用5.2基本要求（1）了解貝努里大數(shù)定理和辛欽大數(shù)定理.（2）理解并掌握獨(dú)立同分布的中心極限定理及二項(xiàng)分布的中心極限定理.5.3內(nèi)容概要1）大數(shù)定理概率論中用來(lái)闡明隨機(jī)試驗(yàn)的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性的一系列定理都叫大數(shù)定理，這里大數(shù)指試驗(yàn)次數(shù)足夠多，試驗(yàn)的平均結(jié)果用隨機(jī)變量表示就是，那么穩(wěn)定性是指穩(wěn)定在哪里呢？當(dāng)然是穩(wěn)定在它的期望值，而穩(wěn)定的含義就是以概率收斂，即一定條件下有：對(duì)任意特別地，當(dāng)獨(dú)立服從相同分布（i=1,2，…）且期望有限時(shí)，就得到辛欽大數(shù)定理.當(dāng)相互獨(dú)立且服從相同的兩點(diǎn)分布時(shí)，得到的就是貝努里大數(shù)定理.貝努里大數(shù)定理設(shè)是在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（重貝努里試驗(yàn)）中事件發(fā)生的次數(shù)，是每次試驗(yàn)時(shí)事件發(fā)生的概率，則對(duì)任何，有。貝努里大數(shù)定理表明，頻率作為概率的近似。辛欽大數(shù)定理設(shè)是相互獨(dú)立的服從同一分布的隨機(jī)變量序列，它們的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)有限值（），則對(duì)任何，有。貝努里大數(shù)定理是辛欽大數(shù)定理的特例，辛欽大數(shù)定理是貝努里大數(shù)定理的推廣。2）中心極限定理中心極限定理就是用來(lái)闡述，一定條件下大量的隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布的一系列定理.即和的標(biāo)準(zhǔn)化近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布..我們?cè)谇蠼庥嘘P(guān)中心極限定理的各類問(wèn)題時(shí)，主要是用到上面的這個(gè)式子.特別地，當(dāng)（i=1,2,…)獨(dú)立同分布且E=μ,D=σ2時(shí)，上式可化簡(jiǎn)為這就是林德貝格列維中心極限定理.當(dāng)相互獨(dú)立且都服從兩點(diǎn)分布P{=1}=p,P{=0}=1－p時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為這就是二項(xiàng)分布的中心極限定理.在概率論中還有其他許多的中心極限定理.求解有關(guān)中心極限定理問(wèn)題的關(guān)鍵就是要湊出上面的式子（參見(jiàn)本章5.2節(jié)例2）.林德貝格-列維中心極限定理（獨(dú)立同分布中心極限定理）設(shè)是相互獨(dú)立的服從同一分布的隨機(jī)變量序列，它們的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，分別為和（），則對(duì)任何，當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)充分大時(shí)，近似有～?！帧５履鄯?拉普拉斯極限定理（二項(xiàng)分布中心極限定理）若是次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（重貝努里試驗(yàn)）中事件發(fā)生的次數(shù)，是事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，，，則（1）對(duì)任意的有限區(qū)間，當(dāng)及時(shí)，有；（2）對(duì)任何，當(dāng)時(shí)，有?！?。德莫哇佛-拉普拉斯極限定理的一些應(yīng)用用正態(tài)分布近似計(jì)算二項(xiàng)分布的概率：≈，≈。5.4自測(cè)題五一、判斷題（正確用“+”，錯(cuò)誤用“－”）1.設(shè),,…,…為一列相互獨(dú)立的且均服從參數(shù)λ=3的指數(shù)分布的隨機(jī)變量，則.()2.把一枚硬幣拋n次，只要n充分大，正面向上發(fā)生的頻率與0.5的誤差就可以小于任意給定的一個(gè)正數(shù).()3.設(shè)為n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p為事件A每次發(fā)生的概率，則當(dāng)n充分大時(shí)，有.()4.把一枚硬幣連拋2000次，根據(jù)中心極限定理，出現(xiàn)正面向上不超過(guò)1000次的概率約為Φ(0)等于.()5.設(shè)相互獨(dú)立且~∪(-1,1)(i=1,2,…),則.()6.設(shè)為重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則當(dāng)很大時(shí)，近似服從正態(tài)分布.()7.設(shè)為拋一個(gè)骰子次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為5的次數(shù)，則.()8.設(shè)服從參數(shù)為λ的普阿松分布，相互獨(dú)立，則當(dāng)很大時(shí)，近似服從正態(tài)分布.()9.n重貝努里試驗(yàn)中，當(dāng)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與其發(fā)生的概率p的誤差不超過(guò)的概率約為.()二、選擇題1.設(shè)為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，ε為大于零的數(shù)，則().(A)0(B)1(C)(D)2.設(shè),，…獨(dú)立同服從于指數(shù)分布E(λ)，則()正確.(A)(B)(C)(D)3.設(shè)為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p為事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，為大于零的數(shù)，則().(A)(B)(C)1(D)04.設(shè)~U(-1,1)(i=1,2,…)且相互獨(dú)立，則（）是不正確的.（A）,,…,…序列服從大數(shù)定理（B）,,…,…序列服從中心極限定理（C）（）(D)5.設(shè)~P(λ)(i=1,2,…)且相互獨(dú)立，則對(duì)＞0有（）.（A）（B）（C）（D）6.設(shè)獨(dú)立同分布，其概率密度均為，則當(dāng)n充分大時(shí)，近似地有（）.(A)(B)(C)(D)7.設(shè)(i=1,2,…，100)相互獨(dú)立，且均服從P（0.03），則（）(A)1-Φ(3)(B)Φ(3)(C)0.5(D)1-Φ(0.03)8.設(shè)是獨(dú)立同分布的，且,則下面不正確的是（）.（A）(B)(C)（D）9.設(shè),,…,…為一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且E=0，D=σ2，則對(duì)有（）.（A）（B）（C）(D)三、填空題1.設(shè),,…為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且(i=1，2…)服從參數(shù)為λ的普阿松分布，記，則_______.2.設(shè)ξ表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中的出現(xiàn)概率，記，則_______.3.設(shè),,…,,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且～U（0,a）（i=1,2,…）.則當(dāng)n充分大時(shí)，近似服從_______.4.設(shè),,…,,…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且（i=1,2,…），則對(duì)任意ε＞0，_____.5.測(cè)量某一長(zhǎng)度為的物體，假定各次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布，若以表示次測(cè)量結(jié)果的平均值，為使，則應(yīng)不小于_______.6.設(shè),,…,,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且都服從參數(shù)為λ的普阿松分布，則當(dāng)充分大時(shí)，近似服從_______.7.從一大批次品率為0.03的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1000件該種產(chǎn)品，則其中的次品數(shù)X的精確分布為_(kāi)_______；其近似分布為_(kāi)______；若利用德莫哇佛拉普拉斯中心極限定理計(jì)算，則P{20≤X≤40}＝________.8.某廠產(chǎn)品次品率為1%，今任取500個(gè)，則根據(jù)中心極限定理估計(jì)其中次品不超過(guò)5個(gè)的概率為_(kāi)______.9.設(shè),,…,…獨(dú)立同分布，且，則當(dāng)充分大時(shí)根據(jù)中心極限定理有_______.5.5自測(cè)題五答案一、1.＋；2.－；3.＋；4.＋；5.－；6.＋；7.－；8.－；9.＋二、1.B；2.A；3.A；4.D；5.A；6.B；7.C；8.B；9.C三、1.Φ(x)；2.；3.；4.1；5.15；6.；b(1000,0.03),N(30,29.1),；8.0.5；9.5.6典型例題例1作加法時(shí)，對(duì)每個(gè)加數(shù)四舍五入取整，各個(gè)加數(shù)的取整誤差可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的，都服從上的均勻分布。現(xiàn)在有1200個(gè)數(shù)相加，問(wèn)取整誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)12的概率是多少？解設(shè)各個(gè)加數(shù)的取整誤差為（）。因?yàn)椤?，（）。設(shè)取整誤差的總和為，因?yàn)閿?shù)值很大，由定理可知，這時(shí)近似有～，其中，，。所以，取整誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)12的概率為≈。例2某互聯(lián)網(wǎng)站有10000個(gè)相互獨(dú)立的用戶，已知每個(gè)用戶在平時(shí)任一時(shí)刻訪問(wèn)該網(wǎng)站的概率為0.2。求：（1）在任一時(shí)刻，有1900～2100個(gè)用戶訪問(wèn)該網(wǎng)站的概率；（2）在任一時(shí)刻，有2100個(gè)以上的用戶訪問(wèn)該網(wǎng)站的概率。解這可以看作是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列，訪問(wèn)網(wǎng)站，不訪問(wèn)網(wǎng)站，，。設(shè)訪問(wèn)網(wǎng)站的用戶數(shù)為，顯然服從二項(xiàng)分布，即～。由于很大，由德莫哇佛-拉普拉斯極限定理可知，這時(shí)近似有～，其中，。（1）有1900～2100個(gè)用戶訪問(wèn)該網(wǎng)站的概率為≈。（2）有2100個(gè)以上的用戶訪問(wèn)該網(wǎng)站的概率為≈。例3某車間有200臺(tái)獨(dú)立工作的車床，各臺(tái)車床開(kāi)工的概率都是0.6，每臺(tái)車床開(kāi)工時(shí)要耗電1千瓦。問(wèn)供電所至少要供給這個(gè)車間多少千瓦電力，才能以99.9％的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)。解200臺(tái)車床獨(dú)立工作，可看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事件車床開(kāi)工，車床不開(kāi)工，，。設(shè)是實(shí)際開(kāi)工的車床數(shù)，～，由德莫哇佛-拉普拉斯極限定理可知，這時(shí)近似有～，其中，。設(shè)是供給電力的千瓦數(shù)，要不影響生產(chǎn)，開(kāi)工車床數(shù)必須小于，這件事的概率為≈≈≈，由題意可知，要有≈，查表可得，所以。取，即供電千瓦，就能以99.9％的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)。換句話說(shuō)，每天8小時(shí)的工作時(shí)間中最多只有0.1％的時(shí)間，即0.48分鐘會(huì)受到影響。例4設(shè)在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列中，每次試驗(yàn)時(shí)事件發(fā)生的概率為，分別用切比雪夫不等式和德莫哇佛--拉普拉斯極限定理估計(jì)試驗(yàn)次數(shù)需多大，才能使事件發(fā)生的頻率落在～之間的概率至少為。解設(shè)為在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，就是發(fā)生的頻率。（1）用切比雪夫不等式估計(jì)。由于～，，因此，，由切比雪夫不等式可得=，因此，要，就要有，即?？梢?jiàn)，用切比雪夫不等式估計(jì)，需做次重復(fù)試驗(yàn)，才能保證出現(xiàn)的頻率在～之間的概率至少為