量子力學對氫原子應用

1e2V

(r)

=

-4pe0r02e2)y

=

04pe

ry

+

e

(E

+2m2由于原子核的質量比電子質量大很多,故核子在與電子相互電磁作用中可視為靜止。氫原子中電子的勢能函數由于U只是r的函數，不隨時間變化,是一個定態(tài)問題,故其薛定諤方程為2rqjxx

=

r

sinq

cosj

,

y

=

r

sinq

sin

j

,

z

=

r

cosqyzP由于勢能函數只是r的函數,球形對稱，故采用球坐標方便些3y

(r.q.j)

=

R(r)Q

(q)F

(j)將其代入上式，并運用待定系數的方法,經整理可得三個方程:0)y

=0(sinq

)

+1

?

2

?y4pere2?y

1

?2y

2m1

?r2

sinq

?q

?q

r2

sin2

q

?f2(r

)

+r2

?r

?r+

e

(E

+22d2Fdj

2+

ml

F

=

0

(1)(2)m

2(sinq1

dsinq

dq

dQdq)

+

l(l

+1)

-

l

Q

=

0sin2

q

0ee2r

21

d

2

dRdr

drr

24pe

r2m

l(l

+1)

-(r

)

+

e

E

+

R

=

0

(3)22m4解上述方程時，注意波函數的標準條件，F(xiàn)

(j)中ml只能取某些特定值。然后把ml

代入Q

(q)的方程，這時只有某些l的值才有可接受的解。再把符合上述Q

(q)方程的l代入R(r)就會發(fā)現(xiàn)，只有對于某些總能量E<0才有可能的解。解方程的結果,可得到描述粒子運動狀態(tài)的三個重要的量子數主量子數

n

，

角量子數l

,

磁量力數ml50220n2

n2

=

--

m

e4

1

me4

1En

=

e

8e2

h24pe

(2)n=1,2,3,…n稱為主量子數n=1,2,3，…其決定著氫原子能量的取值。能量量子化（主量子數n

）若

E>0

即E=Ek+U>0

說明

Ek>|U|若

E<0,

即E=Ek+U<0 則

Ek＜|U|根據其波函數必須滿足的標準條件,解得6n=1，稱之為基態(tài)，代入有關數據,算得E1

=

-13.6eVn=2.3.4

……稱之為激發(fā)態(tài),它們的能量為E1

=

-13.6evn2

n2這些結果顯然與玻爾的結論一致，但這是解方程的結果，無須人為地假設,故這是一個自洽的理論體系。72.角動量量子化氫原子核與電子之間的相互作用勢函數為U(r)=-ke2/r(1)角量子數l解上述方程可得軌道角動量的大小為L

=

l

(

l

+

1)

即軌道角動量

L

的大小是量子化的，式中

l

是角量子數。計算表明，當主量子數n確定后,角量子數可取l=0.1.2.3

…

(n-1)角動量L

共有

n

個分立的值這與玻爾理論不同,在玻爾理論中,L

=

n8(2)角動量不同態(tài)的名稱由于在光譜學中常用s

p

d

f

…等字母分別表示l=0,1,2，3,…(n-1)電子的狀態(tài),現(xiàn)仍沿用這些稱號。(3)簡并現(xiàn)象，簡并態(tài),簡并度上面計算表明，對應于一個主量子數n,可有n個不同的l值，也就是說，在同一能級，電子可取n個不同的角動量，電子可取若干個不同的運動狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱作"簡并"現(xiàn)象。簡并態(tài):指不同的運動狀態(tài)的粒子，對應于同一能級的狀態(tài)。簡并度:指一個能級所能允許的不同狀態(tài)數。93.角動量空間量子化索末菲認為:玻爾的軌道平面，不僅軌道半徑是量子化的,而且軌道平面在空間的取向也是量子化的。計算表明：Lz

=

ml

ml

=

0,–1,–2......

–

lMl

稱為磁量子數，其決定了電子角動量在空間的可能取向。對于一個給定的lml=0，

±

1，

±

2，...

±

l，這時

L

在空間可以有

(2l+1)

個可能取向。+10對于氫原子中的電子簡并度l

=

0.1.2.......(n

-1)角動量在z軸的分量Lz也是量子化的,Lz

=

ml

ml

=

0.

–

1.

–

2.......

–

l22n

=