量子力學(xué)對(duì)氫原子應(yīng)用

1e2V

(r)

=

-4pe0r02e2)y

=

04pe

ry

+

e

(E

+2m2由于原子核的質(zhì)量比電子質(zhì)量大很多,故核子在與電子相互電磁作用中可視為靜止。氫原子中電子的勢(shì)能函數(shù)由于U只是r的函數(shù)，不隨時(shí)間變化,是一個(gè)定態(tài)問(wèn)題,故其薛定諤方程為2rqjxx

=

r

sinq

cosj

,

y

=

r

sinq

sin

j

,

z

=

r

cosqyzP由于勢(shì)能函數(shù)只是r的函數(shù),球形對(duì)稱，故采用球坐標(biāo)方便些3y

(r.q.j)

=

R(r)Q

(q)F

(j)將其代入上式，并運(yùn)用待定系數(shù)的方法,經(jīng)整理可得三個(gè)方程:0)y

=0(sinq

)

+1

?

2

?y4pere2?y

1

?2y

2m1

?r2

sinq

?q

?q

r2

sin2

q

?f2(r

)

+r2

?r

?r+

e

(E

+22d2Fdj

2+

ml

F

=

0

(1)(2)m

2(sinq1

dsinq

dq

dQdq)

+

l(l

+1)

-

l

Q

=

0sin2

q

0ee2r

21

d

2

dRdr

drr

24pe

r2m

l(l

+1)

-(r

)

+

e

E

+

R

=

0

(3)22m4解上述方程時(shí)，注意波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，F(xiàn)

(j)中ml只能取某些特定值。然后把ml

代入Q

(q)的方程，這時(shí)只有某些l的值才有可接受的解。再把符合上述Q

(q)方程的l代入R(r)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，只有對(duì)于某些總能量E<0才有可能的解。解方程的結(jié)果,可得到描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的三個(gè)重要的量子數(shù)主量子數(shù)

n

，

角量子數(shù)l

,

磁量力數(shù)ml50220n2

n2

=

--

m

e4

1

me4

1En

=

e

8e2

h24pe

(2)n=1,2,3,…n稱為主量子數(shù)n=1,2,3，…其決定著氫原子能量的取值。能量量子化（主量子數(shù)n

）若

E>0

即E=Ek+U>0

說(shuō)明

Ek>|U|若

E<0,

即E=Ek+U<0 則

Ek＜|U|根據(jù)其波函數(shù)必須滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件,解得6n=1，稱之為基態(tài)，代入有關(guān)數(shù)據(jù),算得E1

=

-13.6eVn=2.3.4

……稱之為激發(fā)態(tài),它們的能量為E1

=

-13.6evn2

n2這些結(jié)果顯然與玻爾的結(jié)論一致，但這是解方程的結(jié)果，無(wú)須人為地假設(shè),故這是一個(gè)自洽的理論體系。72.角動(dòng)量量子化氫原子核與電子之間的相互作用勢(shì)函數(shù)為U(r)=-ke2/r(1)角量子數(shù)l解上述方程可得軌道角動(dòng)量的大小為L(zhǎng)

=

l

(

l

+

1)

即軌道角動(dòng)量

L

的大小是量子化的，式中

l

是角量子數(shù)。計(jì)算表明，當(dāng)主量子數(shù)n確定后,角量子數(shù)可取l=0.1.2.3

…

(n-1)角動(dòng)量L

共有

n

個(gè)分立的值這與玻爾理論不同,在玻爾理論中,L

=

n8(2)角動(dòng)量不同態(tài)的名稱由于在光譜學(xué)中常用s

p

d

f

…等字母分別表示l=0,1,2，3,…(n-1)電子的狀態(tài),現(xiàn)仍沿用這些稱號(hào)。(3)簡(jiǎn)并現(xiàn)象，簡(jiǎn)并態(tài),簡(jiǎn)并度上面計(jì)算表明，對(duì)應(yīng)于一個(gè)主量子數(shù)n,可有n個(gè)不同的l值，也就是說(shuō)，在同一能級(jí)，電子可取n個(gè)不同的角動(dòng)量，電子可取若干個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱作"簡(jiǎn)并"現(xiàn)象。簡(jiǎn)并態(tài):指不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的粒子，對(duì)應(yīng)于同一能級(jí)的狀態(tài)。簡(jiǎn)并度:指一個(gè)能級(jí)所能允許的不同狀態(tài)數(shù)。93.角動(dòng)量空間量子化索末菲認(rèn)為:玻爾的軌道平面，不僅軌道半徑是量子化的,而且軌道平面在空間的取向也是量子化的。計(jì)算表明：Lz

=

ml

ml

=

0,–1,–2......

–

lMl

稱為磁量子數(shù)，其決定了電子角動(dòng)量在空間的可能取向。對(duì)于一個(gè)給定的lml=0，

±

1，

±

2，...

±

l，這時(shí)

L

在空間可以有

(2l+1)

個(gè)可能取向。+10對(duì)于氫原子中的電子簡(jiǎn)并度l

=

0.1.2.......(n

-1)角動(dòng)量在z軸的分量Lz也是量子化的,Lz

=

ml

ml

=

0.

–

1.

–

2.......

–

l22n

=