全等三角形的相關(guān)模型總結(jié)概要

一、角平分線模型應(yīng)用輔助線：過點G作GE」射線AC,那么點D到直線AB的距離是cm.①2（提示：作DE」AB交AB于點E）,:PN=PQ:,,BC>AB，AD=CD，BD平分經(jīng)BAC....練習(xí)二：已知如圖4，四邊形ABCD中，00，交CB于點F.(1)求證：CE=CF.(2)將圖5中的△ADE沿AB向右平移到ΔA'D'E'的位置，使點E'落在BC邊上，其他條件不變，如圖CF又怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論..求證：CP平分∠DCB..APBDD213C練習(xí)五：如圖8，AB＞AC，∠A的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：BE=CF.練習(xí)六：如圖9所示，在△ABC中，BC邊的垂直平分線DF交△BAC的外角平分線AD于點D，F(xiàn)為垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求證：BE－AC=AE。DAECBCF練習(xí)七：如圖10，D、E、F分別是△ABC的三邊上的點，CE=BF，且△DCE的面積與△DBF的面積相等，求證：AD平分∠BAC。BAEFDC.輔助線：延長ED交射線OB于F輔助線：過點E作EF∥射線OB①.如圖1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD于F。2證明：延長BE交AC于點F。,2.分析：此題很多同學(xué)可能想到延長線段CM，但很快發(fā)現(xiàn)與要證明的結(jié)論毫無關(guān)系。而此題突破口就在于AB=AD，由此我們可以猜想過C點作平行線來構(gòu)造等腰三角形.證明：過點C作CE∥AB交AM的延長線于點E.B為AC的中點,,②(FM+FN).練習(xí)一、如圖3，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。.過點E作EFOC交OC于點F.猜想：線段EF與OD之間的關(guān)系，并證明.練習(xí)二、如圖5，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED+∠CAE＝180AA練習(xí)三、如圖6，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一點，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求證：點E是DC中點。ABDEC..A12CBB2ADDMCF2ADADDCM..AAEEADDAFFD兩個圖形的輔助線都是在射線OA上取點B，使OB=OA，從而使ΔOAC≌△OBC..①、在△ABC中，∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABCAB+BP=BQ+AQ。.2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。證明：如圖（1過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°-60°-40°=80°,又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°,∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，.又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°,∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°,∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。①如圖（2過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。.④如圖（5過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。.EEAPPAAP.PPEPP練習(xí)一、.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分線交AC于點E，求證：點E恰好在BC的垂直平分線上。AEDD練習(xí)二、如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°,∠B的平分線交AC于D，A求證：AD＋BD＝BCABDC練習(xí)三、如圖，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°,∠A的平分線交BC于D，求證：AC＋CD＝ABCDAB.練習(xí)四、已知：在△ABC中，B的平分線和外角ACM的平分線相交于D,DFBC,交AC于12練習(xí)六、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延長線交DC于點E.求證1）BF=DF；(2)AD=DE.ADEF練習(xí)七、已知如圖，在四邊形ABCD中，AB+BC=CD+DA，∠ABC的外角平分線與∠CDA的外角平分線交于點P.求證：∠APB=∠CPD.練習(xí)八、如圖，在平行四邊形ABCD（兩組對邊分別平行的四邊形）中，E，F(xiàn)分別是AD，AB邊上的點，且BE、DF交于G點，BE=DF，求證：GC是∠BGD的平分線。AFEGDCBC練習(xí)九、如圖，在△ABC中，∠ACB為直角，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，過D作DE∥AB交BC于E，求證：CT=BE.AMDBCTEBAFF.CBMCBM中，∠ACB不是直角，而（1EAEDANFBABGEFDAC（1）.如圖1，OP是∠AOB的平分線，請你利用圖形畫一對以O(shè)P為所在直線為對稱軸①、如圖2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE是∠BAC、∠BCA的角FF.二象限內(nèi)一動點，且∠BAC=2∠BDO，過點D作DM⊥AC于M，①、求證：∠ABD=∠ACD；②、若點E在BA的延長線上，求證：AD平分∠CAE；③、當(dāng)點A運動時AC-AB）/AM的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請.EAMByODxC（1）.將△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)900，使△ACM≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角（2）.過點C作MCBC，連AM導(dǎo)出上述結(jié)論..操作過程：連AD.（1）.使BF=AE（AF=CE導(dǎo)出△BDF≌△ADE.（2）.使∠EDF+∠BAC=1800，導(dǎo)出△BDF≌△ADE..證明：方法一：連接AM，證明△MDE≌△MAC.特別注意證明∠MDE=∠MAC..方法二：過點M作MN⊥EC交EC于點N，得出MN為直角梯形的中位線，從而導(dǎo)出△MEC為等腰直角三角形.AB=AC，BAC=90。，O為BC中點，若M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持AN=CM.OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.②、當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動時，四邊形AMON.②在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE=∠DCF為多少.操作過程：在圖3-2中，先將△ABD以BD所在的直線為對稱軸作對稱三角形，再將此三角形沿水平方向向右平移一個正方形邊長的長度單位，使A與M，D與E重合..)，求∠OCA+∠OCB的c..例題拓展：若△ABC不是等腰直角三角形，即，而是，其他條件不變，求證：∠2=2∠1.三點圍成等腰直角三角形時，求點B、C的坐標(biāo)..由△ABE≌△BCD導(dǎo)出ED=AE-CD由△ABE≌△BCD導(dǎo)出EC=AB-CD由△ABE≌△BCD導(dǎo)出BC=BE+ED=AB+CD.例1.已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，BAC=90。，D為AC中點，AF⊥BD于E，交.BC于F，連接DF.求證：∠ADB=∠CDF.方法一:過點C作MC⊥AC交AF的延長線于點M.先證△ABD≌△CAM，再證△CDF≌△CMF即可.方法二：過點A作AM⊥BC分別交BD、BC于H、M.先證△ABH≌△CAF，再證△CDF≌△ADH即可.方法三：過點A作AM⊥BC分別交BD、BC于H、M.先證Rt△AMF≌Rt△BMH，得出.HF∥AC.由M、D分別為線段AC、BC的中點，可得MD為△ABC的中位線從而推出MD∥AB，又由于BAC=90。，故而MD⊥AC，MD⊥HF，所以MD為線段HF的中垂線.所以∠1=∠2.再由∠ADB+∠1=∠CDF+∠2，則.∠ADB=∠CDF.例1拓展（1已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，連接NF.求證：①∠ADB=∠CDF.②BM=AF+FN思路：同上題的方法一和方法二一樣.②PB＝PF+AF.思路：同上題的方法一和方法二一樣.AD∥BC，△ABE和△CDFAD=2，BC=5，求四邊形AEDF的面積..解析：如圖2-2，過點E、B分別作EN⊥DA，BM⊥DA交DA延長線于點N、M.過點F、C分別作FP⊥AD，CQ⊥AD交AD及AD延長線于點P、Q.∵△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∴∠EAB=∠CDF=90。，AE=AB，DF=CD.∵EN⊥DA，BM⊥DA，F(xiàn)P⊥AD，CQ⊥AD，∴∠NMB=∠ENA=∠FPD=∠DQC=90。.∴∠ENA=∠MBA，∠FDP=∠QCD.∴△ENA≌△ABM，△FPD≌△DQC.∴NE=AM，PF=DQ.∴NE+PF=DQ+AM=MQ-AD.∵AD∥BC，CQ∥BM，∠BMN=90。，∴四邊形BMQC是矩形.∴BC=MQS∵AD∵AD=2，BC=5∴NE+PF=5-2=3∴四邊形EAFD.ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90。，l是AD的垂直平分線，交AD于點M，以腰AB為邊做正方形ABFE，EP⊥l于點P.求證：2EP+AD=2CD..（2）、如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90。，AD∥BC，AB=AC，E是AB的中點，CE⊥BD.BE=AD；②求證：AC是線段ED的垂直平分線；③△BCD是等腰三角形嗎？請說明理由.1.△ABE和△ACF均為等邊三角形..結(jié)論1）.△ABF≌△AEC（2）.∠BOE=BAE=600（“八字模型證明”）（3）.OA平分∠EOF條件：△ABC和△CDE均為等邊三角形AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ為等邊三角形AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OCOE=OC+OD78）需構(gòu)造等邊三角形證明）2.△ABD和△ACE均為等腰直角三角形結(jié)論1）、BE=CD（2）BE⊥CD3.ABEF和ACHD均為正方形.變形一：ABEF和ACHD求證：①M為FD的中點.②.FEHFEHGPDABCI變形二：ABEF和ACHD4．當(dāng)以AB、AC為邊構(gòu)造正多邊形時，總有：。。IIHJFP12KBCDAGE.結(jié)論：AE=AF拓展：若AP平分∠BAD，其他條件不變，求證：AP⊥CF0.（延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF）.MN=BM+DN②=2AB③AM、AN分別平分∠BMN和∠DNMABM和△ADN以AM和ANM、P、N三點共線.(∠B+∠D=1800且AB=A