高中數(shù)學(xué)解析幾何圓錐曲線的第三定義與斜率乘積是定值模型問題探究

(1).AB是橢圓的不平行于對稱軸的yoAB(3).橢圓的方程(a>b>0),B?,B,(4).橢圓的方程為(a>b>0),過原點的直線交橢圓于A,B兩點，P點是橢2.雙曲線方程中有關(guān)的經(jīng)典結(jié)論(1)AB是雙曲線0曲線上異于實軸頂點的任一點，則有曲線上異于虛軸端點的任一點，則有(4)雙曲線的方程為(a>0,b>0),過原點的直線交雙曲線于A,B兩點，P例1.(2019全國卷2理科數(shù)學(xué)第21題)已知點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積.記M的軌跡為曲線C.(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.(i)證明：△PQG是直角三角形；例2.已知平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓Q:),且AB,AD斜率之積的范圍為,則橢圓.Q離心率的取值范圍是()AAB.BC.CD.D例3.設(shè)橢圓C:的左右頂點為A,B.P是橢圓上不同于A,B的一點，設(shè)直線AP,BP的斜率分別為m,n,則當取得最小值時，橢圓C的離心率為()AABBCCDD過點F的直線(不與x軸重合)與橢圓C相交于A,B兩點，△ABF?的周長為8.(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓C上的一點Q作斜率為k,k?(k?≠0,k?≠0)的兩條直線分別與橢圓C相橢圓上異于A,的長軸長為4,A,B是其長軸頂點，M是B的動點，且(1)求橢圓C的標準方程；(2)如圖，若動點R在直線x=6上，直線AR,BR分別交橢圓直線PQ是否過定點?若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.之積(1)求點P的軌跡方程；3.已知橢圓C:的短軸長為2√5,離心率為,圓E的圓心在橢圓C上，半徑為2,直線y=kx與直線y=k?x為圓E的兩條切線.(1)求橢圓C的標準方程；(2)試問：k?*k?是否為定值?若是，求出該值；若不是，說明理由.4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓b>0)的離心率為,右準(1)求橢圓C的標準方程；(2)過T(t,0)(t>a)作斜率為k(k<0)左側(cè)),且FM//F?N,設(shè)直線AM,BN的直線l交橢圓C于M,N兩點(點M在點N的5.已知橢圓C:標原點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知A、B為橢圓上不同的兩點ABABOT求A的值.兩個交點A,B,線段AB的中點為M.(3)若1過點,射線OM與橢圓E交于點P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能，求此時直線1斜率；若不能，說明理由.(1).AB是橢圓的不平行于對稱軸的yoAB(3).橢圓的方程(a>b>0),B?,B,(4).橢圓的方程為(a>b>0),過原點的直線交橢圓于A,B兩點，P點是橢2.雙曲線方程中有關(guān)的經(jīng)典結(jié)論曲線上異于實軸頂點的任一點，則有點是雙曲線上異于A,B兩點的任一點，則有例1.(2019全國卷2理科數(shù)學(xué)第21題)已知點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM之積.記M的軌跡為曲線C.(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.【解析】(1)由題設(shè)得,化簡得),所以C為中心在(2)(i)設(shè)直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k>0),記,則P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0),于是直線QG得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①由得的斜率為,方程為的斜率為.所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角,所以△PQG的面積例2.已知平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓Ω,且AB,AD斜率之積的范圍為,則橢圓.Ω離心率的取值范圍是()AABBC.CD.D例3.設(shè)橢圓C:)的左右頂點為A,B.P是橢圓上不同于A,B的一點，設(shè)直線AP,BP的斜率分別為m,n,則當取得最小值時，橢圓C的離心率為()AABBCCDD,,求導(dǎo)可以得到：所以設(shè)1,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)可以得到：,t=2時，函數(shù)取得最小值=f(2),,【解析】∵△ABF?的周長為8,∴4a=8,a=2.∴的長軸長為4,A,B是其長軸頂點，M是B的動點，且(1)求橢圓C的標準方程；(2)如圖，若動點R在直線x=6上，直線AR,BR分別交橢圓C于P,Q兩點.請問：直線PQ是否過定點?若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.【解析】(1)由題意知2a=4則a=2,由1,則,則b2=3,由此可得)代入直線BQ的方程得,故m2-代入直線AP的方程得,故,,之積(1)求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點P的軌跡為C,點M、N是軌跡為C上不同于A,B的兩點，且滿足【答案】(1)化簡得P的軌跡方程為(2)證明：由題意M、N是橢圓C上非頂點的兩點，且AP//OM,BP//ON則直線AP,BP斜率必存在且不為0,又由已知因為AP//OM,BP//ON,所以設(shè)直線MN的方程為x=my+t,代入橢圓方程.,得所以3.已知橢圓C:的短軸長為2√5,離心率為,圓E的圓心(1)求橢圓C的標準方程；(2)試問：k?*k?是否為定值?若是，求出該值；若不是，說明理由，【答案】(1);(2)【思路引導(dǎo)】),的兩個根，由韋達定理可知：橢圓上即可求得4.如圖，在平面直角坐標系中，橢圓)的離心率為,右準2分別為橢圓C的左、右焦點，A,B分別為橢圓C的左、右頂點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過T(t,0)(t>a)作斜率為k(k<0)的直線l交橢圓C于M,N兩點(點M在點N的【解析】(1)因為橢圓C的離心率為,所以①,因為橢圓C的右準線的方程為x=4,所以②,聯(lián)立①②,解得a=2,c=1,所以a2=4,b2=a2-c2=3,所以橢圓C的標準方程為1.,整理得4k2(r-4)=9(*).因為直線AM,BN的斜率分別為k,k?,且A(-2,0),B(2,0),所以(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知A、B為橢圓上不同的兩點.①設(shè)線段AB的中點為點T,證明：直線AB、OT的求A的值.解得-2<m<2,且x+x?=2m,xx?=2m2-4,③由②③可得λ=m,解法2:設(shè)直線AB的方程：y=kx+m,聯(lián)立方程組,消