2023年中考數(shù)學(xué)試卷 匯編專題14 相似三角形

專題14相似三角形一、單選題1．（2021·浙江溫州市）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．若，則的長為（）A．8 B．9 C．10 D．15【答案】B【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出線段比進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，∴，

∵，∴，∴故答案為：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021·四川遂寧市）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2【答案】B【分析】由三角形的中位線定理可得DE=BC，DE∥BC，可證△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE=3，∴S△ABC=12，∴四邊形BDEC的面積=12-3=9(cm2)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·重慶）如圖，△ABC與△BEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，其中OE=2OB，則△ABC與△DEF的周長之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【答案】A【分析】利用位似的性質(zhì)得△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問題．【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．∴△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，∴△ABC與△DEF的周長比是：1：2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2021·江蘇連云港市）如圖，中，，、相交于點(diǎn)D，，，，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)，由等高三角形的面積性質(zhì)得到，再證明，解得，分別求得AE、CE長，最后根據(jù)的面積公式解題．【詳解】解：過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)，與是等高三角形，設(shè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2021·浙江紹興市）如圖，中，，，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使，連結(jié)CE，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出，在結(jié)合題意可得，即證明，從而得出，即易證，得出．再由等腰三角形的性質(zhì)可知，，即證明，從而可間接推出．最后由，即可求出的值，即的值．【詳解】∵在中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴，∴，∴．∴，∴在和中，，∴，∴，∵為等腰三角形，∴，，∴，∴，即．∵，∴，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到，若，，則與的相似比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3【答案】D【分析】直接利用對應(yīng)邊的比等于相似比求解即可．【詳解】解：由B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可知：OB=1，OD=3；△OAB與△OCD的相似比等于；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中求兩個位似圖形的相似比的概念，同時涉及到了位似圖形的概念、平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長度的確定等知識；解題關(guān)鍵是牢記相似比等于對應(yīng)邊的比，準(zhǔn)確求出對應(yīng)邊的比即可完成求解，考查了學(xué)生對概念的理解與應(yīng)用等能力．7．（2020·廣西貴港市）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，且，則線段的長為（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】由∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，可判定△BCD∽△BAC，從而可得比例式，再將BC＝3，BD＝2代入，可求得BA的長，然后根據(jù)AD＝BA?BD，可求得答案．【詳解】解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∵BC＝3，BD＝2，∴，∴BA＝，∴AD＝BA?BD＝?2＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題1．（2021·浙江金華市）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置．木條BC上的點(diǎn)P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點(diǎn)為D，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個光點(diǎn)E．已知，．（1）ED的長為____________．（2）將木條BC繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到（如圖2），點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為，與MN的交點(diǎn)為D′，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在MN上的光點(diǎn)為．若，則的長為____________．【答案】13【分析】（1）由題意，證明△ABP∽△EDP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求出ED的長度；（2）過A作AH⊥BN交NB延長線于H，過E′作E′F⊥BN于F，設(shè)E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可證△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P′反射后，在MN上形成一個光點(diǎn)E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．【詳解】解：（1）由題意，∵，∴，∵從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個光點(diǎn)E．∴，∴△ABP∽△EDP，∴，即，∴；故答案為：13．（2）過A作AH⊥BN交NB延長線于H，過E′作E′F⊥BN于F，設(shè)E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，∵BD=12，DD′=5，由勾股定理D′B=，∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,∴，，∴,，∴，∵從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P′反射后，在MN上形成一個光點(diǎn)E′．∴，∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，P′F=P′D′-FD′=9-，∴即，解得x=1.5，經(jīng)檢驗(yàn)x=1.5是方程的解，EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形性質(zhì)與判定，勾股定理，光束經(jīng)平面鏡P性質(zhì)，掌握相似三角形性質(zhì)與判定，勾股定理，光束經(jīng)平面鏡P性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．2．（2021·山東泰安市）如圖，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，過點(diǎn)作，交x軸于點(diǎn)，以為邊，向右作正方形，延長交x軸于點(diǎn)；以為邊，向右作正方形，延長交x軸于點(diǎn)；以為邊，向右作正方形，延長的交x軸于點(diǎn)；…；按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個正方形的邊長為________（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)題中條件，證明所有的直角三角形都相似且確定相似比，再具體算出前幾個正方形的邊長，然后再找規(guī)律得出第個正方形的邊長．【詳解】解：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)縱坐標(biāo)為1．分別過，作軸的垂線，分別交于，下圖只顯示一條；,類似證明可得，圖上所有直角三角形都相似，有，不妨設(shè)第1個至第個正方形的邊長分別用：來表示，通過計算得：，，按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個正方形的邊長為，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似，解題的關(guān)鍵是：利用條件及三角形相似，先研究好前面幾個正方形的邊長，再從中去找計算第個正方形邊長的方法與技巧．3．（2021·湖北隨州市）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為______；若，則的值為______．【答案】【分析】（1）根據(jù)條件，證明，從而推斷，進(jìn)一步通過角度等量，證明，代入推斷即可.（2）通過，可知四點(diǎn)共圓，通過角度轉(zhuǎn)化，證明，代入推斷即可.【詳解】解：（1）∵，為的中點(diǎn)∴又∵平分∴又∵∴∴∴∴在與中,∴∴（2∵∴四點(diǎn)共圓，如下圖：∵∴又∵∴∵∴∴∴∴即∵∴∵∴∵∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識點(diǎn)，根據(jù)圖形找見相關(guān)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2021·四川資陽市）如圖，在菱形中，，交的延長線于點(diǎn)E．連結(jié)交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．于點(diǎn)H，連結(jié)．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號為__________．

【答案】①②③④【分析】利用菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明①，利用AA定理證明△FCE∽△FGC，從而證明②，由含30°直角三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理分析求解，從而證明③和④．【詳解】解：在菱形ABCD中，AD=DC，∠ADB=∠CDB又∵DF=DF∴△ADF≌△CDF，∴，故①正確；∵AD∥BC∴∠DAF=∠FEC又①中已證△ADF≌△CDF，∴∠DAF=∠DCF，AF=CF∴∠DCF=∠FEC又∵∠CFG=∠CFG∴△FCE∽△FGC，∴，即，故②正確；∵在菱形中，，∴∠DBC=∠BDC=30°又∵∴在Rt△DCF中，∠CDE=30°∴∴在菱形ABCD中，又∵AD∥BC，∴由①已證AF=FC∴由②已證，設(shè)FC=2k，EF=3k∴FG=，EG=∴，故③正確；由③已知設(shè)DF=2a，BF=3a∴BD=5a∴在Rt△BDE中，在Rt△CDE中，在Rt△DFH中，，∴∴在Rt△FCH中，又由②③已證，，設(shè)FG=4m，EG=5m，則EF=9m∴，解得（負(fù)值舍去）∴∴，故④正確故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及解直角三角形，題目有一定難度，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．5．（2021·四川南充市）如圖，在中，D為BC上一點(diǎn)，，則的值為________．【答案】．【分析】證明△ABD∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】∵，∴，，∴，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，證明△ABD∽△CBA是解決問題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇宿遷市）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=5，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于點(diǎn)F，則△AFE面積的最大值是_________．【答案】【分析】連接DF，先根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)證明,得到,進(jìn)而根據(jù)CD=2BD，CF=2AF，得到,根據(jù)△ABC中，AB=4，BC=5，得到當(dāng)AB⊥BC時，△ABC面積最大，即可求出△AFE面積的最大值．【詳解】解：如圖，連接DF，∵CD=2BD，CF=2AF，∴，∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴,∠CFD=∠CAB，∴DF∥BA，∴△DFE∽△ABE，∴,∴,∵CF=2AF，∴,∴,∵CD=2BD，∴,∴,∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴，當(dāng)AB⊥BC時，△ABC面積最大，為，此時△AFE面積最大為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定得到,理解等高三角形的面積比等于底的比是解題關(guān)鍵．7．（2021·浙江嘉興市）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為__________________．【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)并結(jié)合網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)特征確定位似中心．【詳解】解：連接DB，OA并延長，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為位似中心∴M點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心是解題的關(guān)鍵．8．（2021·四川瀘州市）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于點(diǎn)G，則AGF的面積是________．【答案】．【分析】延長AG交DC延長線于M，過G作GH⊥CD，交AB于N，先證明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再證△ABG∽△MFG，則利用相似比可計算出GN，再利用兩三角形面積差計算S△DEG即可．【詳解】解：延長AG交DC延長線于M，過G作GH⊥CD，交AB于N，如圖，∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴BE=CE，在△ABE和△MCE中，，∴△ABE≌△MCE（ASA），∴AB=MC=4，∵CF=3DF，CF+DF=4，∴DF=1，CF=3，F(xiàn)M=FC+CM=3+4=7，∵AB∥MF，∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，∴△ABG∽△MFG，∴，∵，∴，S△AFG=S△AFB-S△AGB=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，割補(bǔ)法求三角形面積，掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，割補(bǔ)法求三角形面積，熟練運(yùn)用相似比計算線段的長是解題關(guān)鍵．9．（2021·江蘇揚(yáng)州市）如圖，在中，，矩形的頂點(diǎn)D、E在上，點(diǎn)F、G分別在、上，若，，且，則的長為________．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到GF∥AB，證明△CGF∽△CAB，可得，證明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．【詳解】解：∵DE=2EF，設(shè)EF=x，則DE=2x，∵四邊形DEFG是矩形，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴，即，∴，∴AD+BE=AB-DE==，∵AC=BC，∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，∴△ADG≌△BEF（AAS），∴AD=BE==，在△BEF中，，即，解得：x=或（舍），∴EF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB的長．10．（2021·重慶）如圖，中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，連接AD，將沿直線AD翻折至所在平面內(nèi)，得，連接，分別與邊AB交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)O．若，，則AD的長為__________．【答案】3【分析】利用翻折的性質(zhì)可得推出是的中位線，得出，再利用得出AO的長度，即可求出AD的長度．【詳解】由翻折可知∴O是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比