多元統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

多元統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)第1頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:表1－112名學(xué)生5門(mén)課程的考試成績(jī)序號(hào)政治(x1）語(yǔ)文(x2)外語(yǔ)(x3)數(shù)學(xué)(x4)物理(x5)12345678910111299991009310090759387957685948898889178738473827275939681887282888360904350100999799969597687662673410097100967897898884397837第2頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果僅用一元統(tǒng)計(jì)方法作成績(jī)分析，每次分析處理一門(mén)課程的成績(jī)，由于忽視了課程之間可能存在的相關(guān)性，因此，一般說(shuō)來(lái)，丟失的信息太多，分析的結(jié)果不能全面反映全年級(jí)的學(xué)習(xí)情況。需要研究很多問(wèn)題：用各科成績(jī)的總和作為綜合指標(biāo)，來(lái)比較學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的好壞；根據(jù)各科成績(jī)相近程度對(duì)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)（如成績(jī)好的和成績(jī)差的，又如文科成績(jī)好的與理科成績(jī)好的）；研究各科成績(jī)之間的相關(guān)關(guān)系（如物理與數(shù)學(xué)成績(jī)的關(guān)系，文科成績(jī)與理科成績(jī)的關(guān)系等）；

——都屬于多元統(tǒng)計(jì)分析的研究?jī)?nèi)容。第3頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月多元分析是以p個(gè)變量的n次觀測(cè)數(shù)據(jù)所組成的數(shù)據(jù)矩陣為依據(jù)，對(duì)p維總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的。第4頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家肯德?tīng)枺↘endall）在《多元分析》一書(shū)中把多元統(tǒng)計(jì)分析的研究?jī)?nèi)容和方法概括為以下幾個(gè)方面：簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（降維問(wèn)題）將復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)通過(guò)變量代換等方式使相互依賴的變量（較多）變成（較少）互不相關(guān)的；或把高維空間的數(shù)據(jù)投影到低維空間，使問(wèn)題簡(jiǎn)化而損失的信息又不太多。例如，主成分分析、因子分析等一類(lèi)方法；第5頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分類(lèi)與判別（歸類(lèi)問(wèn)題）對(duì)所考察的觀測(cè)點(diǎn)（變量）按相似程度進(jìn)行分類(lèi)（或歸類(lèi)）。如聚類(lèi)分析、判別分析等；變量間的相互聯(lián)系相互依賴關(guān)系：分析一個(gè)變量或幾個(gè)變量的變化是否依賴于另一些變量的變化？如果是，建立變量間的定量關(guān)系式，并用于預(yù)測(cè)或控制——回歸分析；變量間的相互關(guān)系：分析兩組變量間的相互關(guān)系——典型相關(guān)關(guān)系。參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

檢驗(yàn)由多元總體參數(shù)表示的某種統(tǒng)計(jì)假設(shè)，據(jù)此證實(shí)假設(shè)條件的合理性。第6頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.1.2

多元統(tǒng)計(jì)分析的應(yīng)用教育學(xué)：體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的研究（因子分析）；醫(yī)學(xué)：利用多元統(tǒng)計(jì)方法可建立診斷的準(zhǔn)則（即專家系統(tǒng)）；氣象學(xué)：氣候預(yù)測(cè),氣候信息分析；環(huán)境科學(xué)：大氣污染問(wèn)題（假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析）；地質(zhì)學(xué)——地質(zhì)數(shù)學(xué)：礦石歸類(lèi)（判別分析）;考古學(xué);服裝工藝;經(jīng)濟(jì)學(xué)：經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象分析，預(yù)測(cè)，實(shí)證研究;工、農(nóng)業(yè)：試驗(yàn)方案的優(yōu)化;社會(huì)科學(xué):根據(jù)研究對(duì)象進(jìn)行某種分類(lèi)（聚類(lèi)分析）;文學(xué);其它.第7頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.1.3

樣本與常用統(tǒng)計(jì)量多維隨機(jī)向量（P381-P389）多元統(tǒng)計(jì)分析的基本概念包括分布、數(shù)字特征、正態(tài)隨機(jī)向量等，與一元統(tǒng)計(jì)分析類(lèi)似有關(guān)概念如下：統(tǒng)計(jì)總體G，用p個(gè)數(shù)量指標(biāo)來(lái)刻畫(huà)：

視X為一個(gè)p維隨機(jī)變量。第8頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)總體進(jìn)行n次獨(dú)立的觀察（抽樣）得到觀測(cè)數(shù)據(jù)稱為樣本，每個(gè)稱為樣品，記為矩陣

X稱為原始數(shù)據(jù)矩陣或（多元）樣本數(shù)據(jù)矩陣。第9頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月總體的均值向量、協(xié)方差矩陣、相關(guān)矩陣分別為其中多元統(tǒng)計(jì)分析的任務(wù)：

一是分析各觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；二是推斷總體的某些性質(zhì)。第10頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用統(tǒng)計(jì)量樣本均值（向量）、樣本協(xié)方差矩陣、樣本相關(guān)矩陣分別為第11頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中是一元統(tǒng)計(jì)中樣本統(tǒng)計(jì)量的自然推廣。對(duì)于i,j=1,2,…,p,有：第12頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月講解例7.1(P270)第13頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義7.1:如果樣品的函數(shù),滿足1）2）3）則稱是樣品之間的距離。7.1.4距離

為測(cè)度p維空間兩個(gè)樣品之間的差異，對(duì)樣品進(jìn)行分類(lèi),引入”距離”。數(shù)學(xué)上對(duì)距離(如歐氏距離)的三個(gè)公理:

非負(fù)性、對(duì)稱性和三角不等式。第14頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用的距離歐氏距離不足之處:各分量的單位不同時(shí),比較沒(méi)有意義。如考察患病指標(biāo)＝(白血球數(shù)，體溫)，有三個(gè)樣品

但從醫(yī)學(xué)常識(shí)看，顯然是個(gè)謬誤。（“大數(shù)吃小數(shù)”，數(shù)值分析）。因此要考慮各項(xiàng)數(shù)值的加權(quán)問(wèn)題。第15頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月馬氏距離定義：

為樣品之間的馬氏距離；為樣品到總體的馬氏距離。其中:μ,V分別是總體G的均值向量和協(xié)方差。離差大的分量在距離中相應(yīng)削弱它的影響程度。不足之處:馬氏距離與測(cè)量單位無(wú)關(guān),夸大了變化微小的變量的作用。第16頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B－模距離對(duì)于給定的正定矩陣B,定義為樣品Xi與Xj之間的B－模距離；閔可夫斯基距離

為樣品Xi與Xj之間的閔可夫斯基距離q=2時(shí)為歐氏距離,q=1時(shí)為絕對(duì)距離,q=+∞時(shí)為切比雪夫距離。講解例7.2（P274）第17頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.2多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)

7.2.1預(yù)備知識(shí)與一元類(lèi)似，多元正態(tài)分布在多元統(tǒng)計(jì)分析中處于中心地位。原因有三：大量實(shí)際問(wèn)題服從正態(tài)分布；由中心極限定理，正態(tài)分布是其它分布的極限分布；理論完善。第18頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月多元正態(tài)分布的定義：設(shè)其中是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，則稱為p維正態(tài)隨機(jī)向量，記為其中是常向量，A是p×n的常數(shù)矩陣。特別第19頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月基本性質(zhì)設(shè)總體則X的密度函數(shù)為設(shè)

則第20頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)是總體X的樣本，樣本數(shù)據(jù)矩陣如前。由樣本得到關(guān)于未知參數(shù)的似然函數(shù)為第21頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主要結(jié)論

（1）（引理7.1）A與S有關(guān)系式

（2）（引理7.2）證明：（見(jiàn)P276）第22頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）（引理7.3）設(shè)是總體的樣本，則樣本均值（4）（引理7.4）設(shè)，令則證明：（見(jiàn)P277）第23頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.2.2參數(shù)μ和V的估計(jì)

定理7.1設(shè)總體是X的樣本，且n>p，則1）是μ的極大似然估計(jì)(引理7.2)；2）若μ已知，則是V的極大似然估計(jì)；3）若μ未知，則是V的極大似然估計(jì)。第24頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理7.2:設(shè)條件同前，則1）分別是μ和V的無(wú)偏估計(jì)；2）分別是μ和V的最小方差無(wú)偏估計(jì)；3）分別是μ和V的相合估計(jì)；定理7.3:設(shè)條件同前，則是R的極大似然估計(jì)和相合估計(jì)。

例7.3(P280)第25頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.2.3參數(shù)μ的檢驗(yàn)

僅討論均值的檢驗(yàn)問(wèn)題（一）單個(gè)多元正態(tài)總體的情形其中μ0是已知的p維向量。設(shè)是總體的樣本，分別是樣本均值向量和樣本協(xié)方差矩陣。構(gòu)造假設(shè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量第26頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）當(dāng)V已知時(shí)回顧，p=1時(shí)當(dāng)假設(shè)為真時(shí)，。為推廣至多元，改寫(xiě)為第27頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月類(lèi)比引入統(tǒng)計(jì)量由引理7.4知，當(dāng)為真時(shí)，當(dāng)為假時(shí)，D將會(huì)變大。因此，給定顯著性水平α，假設(shè)的拒絕域?yàn)榈?8頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）當(dāng)V未知時(shí)用S取代V,可以證明，當(dāng)為真時(shí)統(tǒng)計(jì)量因此，假設(shè)的拒絕域?yàn)榈?9頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）兩個(gè)總體情形設(shè)

是分別取自上述兩個(gè)總體的樣本，且相互獨(dú)立，V>0