初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)重難點(diǎn)題型歸納梳理

初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)重難點(diǎn)題型歸納梳理一次函數(shù)章末重難點(diǎn)題型匯編【考點(diǎn)1：函數(shù)的概念】【方法點(diǎn)撥】在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)?！纠?】（2019春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）下列的曲線中，表示y是x的函數(shù)的共有（）個(gè)。A．1B．2C．3D．4【答案解析】第一個(gè)圖中，對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，符合題意；第二個(gè)圖中，對(duì)于x的每一個(gè)取值，y可能有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，不符合題意；第三個(gè)圖中，對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，符合題意；第四個(gè)圖中，對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，符合題意。故選C。【變式1-1】（2019春?新樂(lè)市期中）下列變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A．一天的氣溫和時(shí)間B．y2＝x中的y與x的關(guān)系C．在銀行中利息與時(shí)間D．正方形的周長(zhǎng)與面積【答案解析】A、一天的氣溫和時(shí)間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，故本選項(xiàng)不合題意；B、y2＝x中的y與x的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系，故本選項(xiàng)符合題意；C、在銀行中利息與時(shí)間是函數(shù)關(guān)系，故本選項(xiàng)不合題意；D、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與面積是函數(shù)關(guān)系，故本選項(xiàng)不合題意。故選B。【變式1-2】（2019春?蒼溪縣期中）下列關(guān)系式中，y不是x的函數(shù)的是（）A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥）D．|y|＝x（x≥）【答案解析】A、B、C選項(xiàng)滿足函數(shù)的概念，有兩個(gè)變量，給x一個(gè)值，y有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，故A、B、C中，y都是x的函數(shù)；D選項(xiàng)給x一個(gè)值，y可能會(huì)有兩個(gè)值與x對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的概念，故D中，y不是x的函數(shù)。故選D?！咀兪?-3】（2019春?如皋市期中）下列各圖中能說(shuō)明y是x的函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案解析】根據(jù)函數(shù)的意義可知：對(duì)于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對(duì)應(yīng)，所以D正確。故選D。【考點(diǎn)2：函數(shù)自變量的取值范圍】【方法點(diǎn)撥】函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)?！纠?】（2019春?資中縣期中）函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是（）A．x≠2B．x≥2C．x＞2且x≠2D．x≥2且x≠2B:由于直線y1過(guò)第一、二、三象限，所以a>0，b<0；直線y2過(guò)第二、三、四象限，所以b<0，a>0。因此B選項(xiàng)正確。C:由于直線y1過(guò)第一、三、四象限，所以a>0，b>0；直線y2過(guò)第一、二、四象限，所以b<0，a<0。前后矛盾，因此C選項(xiàng)錯(cuò)誤。D:由于直線y1過(guò)第一、三、四象限，所以a>0，b>0；直線y2過(guò)第二、三、四象限，所以b<0，a>0。前后矛盾，因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤。因此，選B?！究键c(diǎn)5一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例5】（2019春?昌平區(qū)期中）如圖①，在矩形MMPQ中，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)N出發(fā)，沿著N→P→Q→M方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)M處停止。設(shè)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程為x，△MNR的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②所示，那么下列說(shuō)法不正確的是（）A．當(dāng)x=2時(shí)，y=5B．矩形MNPQ的周長(zhǎng)是18C．當(dāng)x=6時(shí)，y=10D．當(dāng)y=8時(shí)，x≠10【答案】解：由圖象可知，四邊形MNPQ的邊長(zhǎng)，MN=5，NP=4，點(diǎn)R的速度為1單位/秒。選項(xiàng)A，當(dāng)x=2時(shí)，△MNR的面積=5，正確。選項(xiàng)B，矩形周長(zhǎng)為2×（4+5）=18，正確。選項(xiàng)C，當(dāng)x=6時(shí)，點(diǎn)R在QP上，△MNR的面積=10，正確。選項(xiàng)D，當(dāng)y=8時(shí)，高=8，因此點(diǎn)R在PN或QM上，距離QP有一個(gè)單位，對(duì)應(yīng)的x值都不為10，因此錯(cuò)誤。因此，選D。【變式5-1】（2019春?建寧縣期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，它沿A→D→C→B→A的路徑勻速移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為x，△APD的面積是y，則下列圖象能大致反映變量y與變量x的關(guān)系圖象的是（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P在正方形各邊上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分類討論△APD的面積即可?！敬鸢浮拷猓焊鶕?jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，△APD的面積為y=x^2/2；當(dāng)4≤x≤8時(shí)，點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，△APD的面積為y=2x-8；當(dāng)8≤x≤12時(shí)，點(diǎn)P在CB上運(yùn)動(dòng)，△APD的面積為y=-x^2/2+12x-36；當(dāng)12≤x≤16時(shí)，點(diǎn)P在BA上運(yùn)動(dòng)，△APD的面積為y=-2x+32。因此，選B?！咀兪?-2】（2019春?錦江區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A為直角，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B→C→D的路徑勻速前進(jìn)到D，在這個(gè)過(guò)程中，△APD的面積S隨時(shí)間的變化址程可以用圖象近似地表示為（）A．B．C．D．設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，由題意可知：1.當(dāng)x=2時(shí)，y=k*2+b=5，即2k+b=5；2.函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，即|b|=1/k；3.當(dāng)x=1時(shí)，y=k+b，當(dāng)x=5時(shí)，y=5k+b，根據(jù)題意可得：-2≤k+b≤2，-2≤5k+b≤2。將1式代入2式，得到|2k-3|=1/k，即2k^2-3k±1=0，解得k=1或k=-1/2。當(dāng)k=1時(shí)，由2式可知b=1，代入3式可得-1≤y≤5，與題意不符；當(dāng)k=-1/2時(shí)，由2式可知b=±2，代入3式可得-2≤y≤2，符合題意。因此，函數(shù)的解析式為y=-1/2x±2。當(dāng)$k>0$時(shí)，$y$值隨$x$的增大而增大，因此解得一次函數(shù)的解析式為$y=x-3$；當(dāng)$k<0$時(shí)，$y$值隨$x$的增大而減小，因此解得一次函數(shù)的解析式為$y=-x+3$。綜上所述，一次函數(shù)的解析式為$y=x-3$或$y=-x+3$。已知一次函數(shù)$y=kx+b$的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)$A(1,3)$且和$y=2x-3$平行，則函數(shù)解析式為$y=2x+1$。由一次函數(shù)$y=kx+b$的圖像平行于直線$y=2x-3$，可知$k=2$，因此一次函數(shù)為$y=2x+b$。將$A$的坐標(biāo)$(1,3)$代入，得$2+b=3$，解得$b=1$，因此函數(shù)解析式為$y=2x+1$。已知$y+2$和$x$成正比例，當(dāng)$x=2$時(shí)，$y=4$，則$y$與$x$之間的函數(shù)關(guān)系式是$y=3x-2$。設(shè)函數(shù)解析式為$y+2=kx$，則$2k=4+2$，解得$k=3$，因此$y+2=3x$，即$y=3x-2$。如圖，一次函數(shù)$y=ax+b$和$y=kx+c$交于點(diǎn)$P(2,4)$，則關(guān)于$x$的一元一次方程$ax+b=kx+c$的解是$x=2$。正比例函數(shù)$y=x$與一次函數(shù)$y=kx+3(k\neq0)$的圖像交于點(diǎn)$A(a,1)$，則關(guān)于$x$的不等式$(k-)x+3>0$的解集為$x<3$。直線$y=-x+m$與$y=nx+4n(n\neq0)$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$-2$，則關(guān)于$x$的不等式$-x+m>nx+4n$的解集為$-4<x<-2$。已知直線y=mx+n交x軸于(3,0)，直線y=ax+b交x軸于點(diǎn)(-2,0)，且兩直線交于點(diǎn)A(-1,2)，則不等式<mx+n<ax+b的解集為什么？解：在x軸的上方，直線y=ax+b的圖象在直線y=mx+n的圖象上方部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即為不等式<mx+n<ax+b的解集。觀察圖象可知，不等式的解集為：-1<x<3，故答案為-1<x<3。已知一次函數(shù)y=(2a+4)x+(3-b)，根據(jù)給定條件，確定a、b的值。(1)y隨x的增大而增大；(2)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限；(3)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸上方。解：(1)因?yàn)閥隨x的增大而增大，所以2a+4>0，解得a>-2。(2)因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，所以2a+4<0，3-b<0，解得a<-2，b>3。(3)因?yàn)閳D象與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，所以3-b>0，解得b<3。已知函數(shù)y=(2m+1)x+m-3；(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求m的值；(2)若函數(shù)圖象在y軸的截距為-2，求m的值；(3)若函數(shù)的圖象平行直線y=3x-3，求m的值；(4)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍。解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以m-3=0，2m+1≠0，解得m=3。(2)因?yàn)楹瘮?shù)圖象在y軸的截距為-2，所以m-3=-2，2m+1≠0，解得m=1。(3)因?yàn)楹瘮?shù)的圖象平行直線y=3x-3，所以2m+1=3，解得m=1。(4)因?yàn)閥隨著x的增大而減小，所以2m+1<0，解得m<-1/2。已知一次函數(shù)y=(m+2)x+(3-n)，求：(1)m，n是什么數(shù)時(shí)，y隨x的增大而減??？(2)m，n為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？(3)若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限，求m，n的取值范圍。解：(1)因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以m+2<0，解得m<-2。同時(shí)，n為任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。(2)因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以m+2≠0，3-n=0，解得m≠-2，n=3。(3)因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限，所以|m+2|>3-n，解得m<-2，n>3。(1)已知一次函數(shù)y=(2m+3)x+m-1，求：a.若函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求m的值；b.若函數(shù)圖像在y軸上的截距為-3，求m的值；c.若函數(shù)圖像平行于直線y=x+1，求m的值；d.若該函數(shù)的值y隨自變量x的增大而減小，求m的取值范圍；e.若該函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，求m的取值范圍。解：a.因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以有m-1=0，解得m=1；b.因?yàn)楹瘮?shù)圖像在y軸上的截距為-3，所以當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，即(2m+3)×0+m-1=-3，解得m=-2；c.因?yàn)楹瘮?shù)圖像平行于直線y=x+1，所以有2m+3=1，解得m=-1；d.因?yàn)樵摵瘮?shù)的值y隨自變量x的增大而減小，所以有2m+3<0，解得m<-3/2；e.因?yàn)樵摵瘮?shù)圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，所以有-1<m≤1。(2)為促進(jìn)青少年體育運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某教育集團(tuán)需要購(gòu)買一批籃球和足球，已知一個(gè)籃球比一個(gè)足球的單價(jià)高30元，買兩個(gè)籃球和三個(gè)足球一共需要510元。a.求籃球和足球的單價(jià)；b.根據(jù)實(shí)際需要，集團(tuán)決定購(gòu)買籃球和足球共100個(gè)，其中籃球購(gòu)買的數(shù)量不少于40個(gè)，若購(gòu)買籃球x個(gè)，學(xué)校購(gòu)買這批籃球和足球的總費(fèi)用為y（元），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；c.在（b）的條件下，由于集團(tuán)可用于購(gòu)買這批籃球和足球的資金最多為10500元，求購(gòu)買籃球和足球各多少個(gè)時(shí)，能使總費(fèi)用y最小，并求出y的最小值。解：a.設(shè)籃球和足球的單價(jià)分別為x元、y元，根據(jù)題意得：2x+3y=510，且x=y+30，解得x=120，y=90；b.因?yàn)橘?gòu)買籃球x個(gè)，購(gòu)買籃球和足球共100個(gè)，所以購(gòu)買足球(100-x)個(gè)，總費(fèi)用為y=120x+90(100-x)=30x+9000，即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=30x+9000；c.因?yàn)榧瘓F(tuán)可用于購(gòu)買這批籃球和足球的資金最多為10500元，所以有30x+9000≤10500，解得x≤50，又因?yàn)橘?gòu)買籃球數(shù)量不少于40個(gè)，所以有x≥40，因此40≤x≤50。當(dāng)x=40時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y=10200，100-x=60，籃球購(gòu)買40個(gè)，足球購(gòu)買60個(gè)。方案2：購(gòu)買空調(diào)11臺(tái)，彩電19臺(tái)，方案3：購(gòu)買空調(diào)12臺(tái)，彩電18臺(tái)；（3）利潤(rùn)函數(shù)為y＝300x+12000，是一個(gè)一次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖像的性質(zhì)可知，當(dāng)x取最大值或最小值時(shí)，函數(shù)取最大值或最小值。由（2）可知，x的取值范圍為10~12，所以只需比較x＝10和x＝12時(shí)的利潤(rùn)大小即可。當(dāng)x＝10時(shí)，利潤(rùn)為y＝15000元；當(dāng)x＝12時(shí)，利潤(rùn)為y＝15600元。因此，購(gòu)買12臺(tái)空調(diào)和18臺(tái)彩電的方案獲利最大，最大利潤(rùn)為15600元。方案2：購(gòu)買空調(diào)11臺(tái)，彩電19臺(tái)；方案3：購(gòu)買空調(diào)12臺(tái)，彩電18臺(tái)。根據(jù)給出的方案，我們可以看出方案2購(gòu)買的彩電比方案3多1臺(tái)，但空調(diào)比方案3少1臺(tái)。因此，在這兩個(gè)方案中，我們需要權(quán)衡空調(diào)和彩電的需求，選擇更加適合的方案。根據(jù)函數(shù)y=300x+12000，可以得出y隨x的增大而增大的規(guī)律。當(dāng)x=12時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=300×12+12000=15600。因此，利潤(rùn)最大時(shí)的x值為12，最大利潤(rùn)為15600元。在湖南洞庭湖區(qū)的貨運(yùn)碼頭，有3000噸稻谷和棉花，其中稻谷比棉花多500噸。我們可以設(shè)稻谷為x噸，棉花為y噸，解得稻谷為1750噸，棉花為1250噸?，F(xiàn)有甲、乙兩種不同型號(hào)的集裝箱共58個(gè)，根據(jù)題目中給出的數(shù)據(jù)，我們可以得出在58個(gè)集裝箱全部使用的情況下，共有10個(gè)方案安排使用甲、乙兩種集裝箱。在安排集裝箱這批貨物時(shí)，設(shè)甲種集裝箱a個(gè)，乙種集裝箱（58-a）個(gè)。根據(jù)題目中給出的數(shù)據(jù)，稻谷35噸和棉花15噸可裝滿一個(gè)甲型集裝箱，稻谷25噸和棉花35噸可裝滿一個(gè)乙型集裝箱。因此，我們可以列出總運(yùn)費(fèi)為w元的方程w=1000a+1200（58-a）-（58-a）m=（-200+m）a+69600-58m。根據(jù)方程，我們可以得出當(dāng)-200+m<0時(shí)，w隨a的增大而減小，因此a=39時(shí)，w最小值為（61800-19m）元。當(dāng)200<m<250時(shí)，-200+m>0，w隨a的增大而增大，因此a=30時(shí)，w最小值為（63600-28m）元。當(dāng)m=200時(shí)，任意安排都可以，因此總運(yùn)費(fèi)為58000元。甲車從A地出發(fā)勻速駛向B地，到達(dá)B地后，立即按原路原速返回A地；乙車從B地出發(fā)沿相同路線勻速駛向A地，出發(fā)1小時(shí)后，乙車因故障在途中停車1小時(shí)，然后繼續(xù)按原速駛向A地，乙車在行駛過(guò)程中的速度是80千米/時(shí)，甲車比乙車早1小時(shí)到達(dá)A地。根據(jù)題目中給出的函數(shù)關(guān)系圖，我們可以得出甲車行駛時(shí)間x與各自出發(fā)地的路程y之間的關(guān)系。（1）甲車的速度為：400÷[（3+5+1-1）÷2]＝100（千米/小時(shí)），括號(hào)內(nèi)正確的數(shù)應(yīng)為9，所以答案為9。乙車從B地到A地用的時(shí)間為：400÷80＝5（小時(shí)）。（2）設(shè)甲車從B地返回A地的過(guò)程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b。由于點(diǎn)D（4，400），點(diǎn)E（8，y）在線段DE上，因此可以得到：y＝-100x+800，即甲車從B地返回A地的過(guò)程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝-100x+800。（3）當(dāng)乙出發(fā)1小時(shí)時(shí)，乙走的路程是1×80＝80（千米），此時(shí)甲乙的距離是：100×（3+1）-80＝320（千米）。當(dāng)乙出發(fā)2小時(shí)時(shí)，乙走的路程是2×80＝160（千米），此時(shí)甲乙的距離是：-100×（3+2）+800-160＝220（千米）。設(shè)乙車出發(fā)t小時(shí)，兩車恰好相距80千米，可以列出方程：（t-1）×80+100（t+3）-400=400-80或（t-1）×80+100（t+3）-400=400+80。解得，t=2或t=5