人教版數(shù)學(xué)八年級上冊11.2.2　三角形的外角素養(yǎng)提升練（含解析）

第第頁人教版數(shù)學(xué)八年級上冊11.2.2三角形的外角素養(yǎng)提升練（含解析）第十一章三角形

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.2三角形的外角

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識點1三角形的外角

1.選項中,∠1為△ABC的外角的是()

ABCD

知識點2三角形外角的性質(zhì)

2.(2023廣西河池中考)如圖,∠A=40°,∠CBD是△ABC的外角,∠CBD

=120°,則∠C的大小是()

A.90°B.80°C.60°D.40°

3.(2023山東濟(jì)南期末)如果將一副三角板按如圖所示的方式疊放,那么∠1等于()

A.95°B.105°

C.120°D.135°

4.【新情境·展板支架】【新獨家原創(chuàng)】圖1是一展板支架的實物圖,圖2是該支架的側(cè)面示意圖,經(jīng)測量,∠BAC=48°,∠BCE=117°,則圖2中∠CBD的度數(shù)為()

圖1圖2

A.69°B.89°C.111°D.165°

5.(2023河南鄭州一模)將一副學(xué)生用的三角板按如圖所示的方式放置,若AE∥BC,則∠EFC的度數(shù)是.

6.將一塊三角形紙片按如圖所示的方式擺放,AB∥CD,頂點F,G分別落在直線AB,CD上,GE交AB于點H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,則∠EFB的度數(shù)為.

7.【教材變式·P16T4】如圖,已知點D是△ABC的邊BC上的一點,∠B=∠BAD=∠C,∠ADC=72°.試求∠DAC的度數(shù).

8.一個零件的形狀如圖所示,按規(guī)定,∠A=90°,∠B和∠C分別是32°和21°的零件為合格零件,現(xiàn)質(zhì)檢工人量得∠BDC=149°,就斷定這個零件不合格,請你運用三角形的有關(guān)知識說明零件不合格的理由.

9.【分類討論思想】(2022河南信陽期中)如圖,△ABC中,AD⊥BC于點D,BE平分∠ABC,若∠ABC=64°,∠AEB=70°.

(1)求∠CAD的度數(shù);

(2)若點F為線段BC上的任意一點,當(dāng)△EFC為直角三角形時,求∠BEF的度數(shù).

能力提升全練

10.(2023遼寧中考,8,★★☆)一副三角板如圖所示擺放,若∠1=80°,則∠2的度數(shù)是()

A.80°B.95°

C.100°D.110°

11.(2023湖北仙桃中考,4,★★☆)將一副三角尺按如圖所示的方式擺放,點E在AC上,點D在BC的延長線上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A

=45°,∠F=60°,則∠CED的度數(shù)是()

A.15°B.20°

C.25°D.30°

12.(2022天津七中期末,10,★★☆)如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一點.將Rt△ABC沿CD折疊,使B點落在AC邊上的E處,則∠ADE等于()

A.25°B.30°

C.35°D.40°

13.(2022福建莆田期末,14,★☆☆)將一副三角板按如圖所示的方式疊放在一起,其中F,A,C,D四點在同一條直線上,點B在AE上,則圖中∠ABF的度數(shù)是.

14.(2022河北師大附中期末,15,★★☆)如圖,在△ABC中,BE是∠ABC的平分線,CE是外角∠ACM的平分線,BE與CE相交于點E,若∠A=60°,則∠BEC的度數(shù)是.

15.【易錯題】(2023浙江寧波江北外國語學(xué)校期中,16,★★☆)如圖,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF.以下結(jié)論:①AD∥BC;②∠DAC=2∠ADB;③∠ADC

=90°-∠ABD;④DB平分∠ADC.其中錯誤的結(jié)論有(填寫序號).

16.(2023北京豐臺期中,18,★★☆)如圖,在△ABC中,∠B=∠C=45°,點D在BC邊上,點E在AC邊上,連接AD、DE,且∠ADE=∠AED.

(1)當(dāng)∠BAD=60°時,∠CDE的度數(shù)是;

(2)當(dāng)點D在BC邊上(點B,C除外)運動時,設(shè)∠CDE=α,請用α表示∠BAD,并說明理由.

素養(yǎng)探究全練

17.【推理能力】(2023江蘇南京期末)

【概念認(rèn)識】

如圖①,在∠ABC中,若∠ABD=∠DBE=∠EBC,則BD,BE叫做∠ABC的“三分線”,其中,BD是“鄰AB三分線”,BE是“鄰BC三分線”.

【問題解決】

(1)如圖②,在△ABC中,∠A=70°,∠B=45°,若∠B的“三分線”BD交AC于點D,則∠BDC=;

(2)如圖③,在△ABC中,BP、CP分別是∠ABC的“鄰AB三分線”和∠ACB的“鄰AC三分線”,且BP⊥CP,求∠A的度數(shù);

【延伸推廣】

(3)如圖④,直線AC、BD交于點O,∠ADB的“三分線”所在的直線與∠ACB的“三分線”所在的直線交于點P.若∠A=66°,∠B=45°,∠ADB=m°,直接寫出∠DPC的度數(shù).

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.B根據(jù)三角形的一條邊的延長線與另一邊的夾角叫做這個三角形的外角可知只有選項B中的∠1是△ABC的外角,故選B.

2.B由三角形的外角性質(zhì)得,∠C=∠CBD-∠A=120°-40°=80°.故選B.

3.B如圖,

由題意得∠2=90°-45°=45°,

由三角形的外角性質(zhì)得,∠1=∠2+60°=45°+60°=105°.故選B.

4.C∵∠BCE=117°,∴∠ACB=180°-117°=63°.

∵∠CBD是△ABC的外角,

∴∠CBD=∠BAC+∠ACB=48°+63°=111°.故選C.

5.答案75°

解析∵AE∥BC,∴∠EDC=∠E=45°,

∵∠C=30°,∴∠EFC=∠C+∠EDC=75°,

故答案為75°.

6.答案20°

解析∵在△EFG中,∠EFG=90°,∠E=35°,

∴∠EGF=90°-∠E=55°.

∵GE平分∠FGD,∴∠EGD=∠EGF=55°.

∵AB∥CD,∴∠EHB=∠EGD=55°.

又∵∠EHB=∠EFB+∠E,

∴∠EFB=∠EHB-∠E=55°-35°=20°.

7.解析∵∠ADC是△ABD的外角,

∴∠ADC=∠B+∠BAD.

又∵∠B=∠BAD=∠C,∠ADC=72°,

∴∠B=∠BAD=∠C=36°.

∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°,

∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-72°-36°=72°.

8.解析如圖,延長BD交AC于點E,

∵∠A=90°,∠B=32°,

∴∠DEC=∠A+∠B=90°+32°=122°,

∵∠C=21°,

∴∠BDC=∠C+∠DEC=21°+122°=143°.

又∵149°≠143°,∴這個零件不合格.

9.解析(1)∵BE平分∠ABC,

∴∠ABC=2∠EBC=64°,∴∠EBC=32°,

∵AD⊥BC,

∴∠ADC=90°,

∵∠C=∠AEB-∠EBC=70°-32°=38°,

∴∠CAD=90°-38°=52°.

(2)分兩種情況:

①當(dāng)∠EFC=90°時,如圖1所示,則∠BFE=90°,

∴∠BEF=90°-∠EBC=90°-32°=58°;

圖1圖2

②當(dāng)∠FEC=90°時,如圖2所示,

則∠EFC=90°-38°=52°,

∴∠BEF=∠EFC-∠EBC=52°-32°=20°.

綜上所述,∠BEF的度數(shù)為58°或20°.

能力提升全練

10.B如圖,∠5=90°-30°=60°,∠3=∠1-45°=35°,

∴∠4=∠3=35°,∴∠2=∠4+∠5=95°,故選B.

11.A∵∠B=90°,∠A=45°,∴∠ACB=45°.

∵∠EDF=90°,∠F=60°,∴∠DEF=30°.

∵EF∥BC,∴∠EDC=∠DEF=30°,

∴∠CED=∠ACB-∠EDC=45°-30°=15°.故選A.

12.D在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,

∴∠B=90°-25°=65°,

∵△CDE由△CDB折疊而成,∴∠CED=∠B=65°,

∵∠CED是△AED的外角,

∴∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°.故選D.

13.答案15°

解析∵∠EAD=45°,∠F=30°,∠EAD是△ABF的外角,

∴∠ABF=∠EAD-∠F=15°.故答案為15°.

14.答案30°

解析∵BE是∠ABC的平分線,∴∠EBM=∠ABC,

∵CE是外角∠ACM的平分線,∴∠ECM=∠ACM,

∴∠BEC=∠ECM-∠EBM=(∠ACM-∠ABC)=∠A=30°.

15.答案④

解析∵AD平分∠EAC,∴∠EAC=2∠EAD,

∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,

∴∠EAD=∠ABC,∴AD∥BC,故①中結(jié)論正確;

∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠ACB,

∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,

∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC,∴∠ACB=2∠ADB,

∴∠DAC=2∠ADB,故②中結(jié)論正確;

在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°,

∵CD平分∠ACF,∴∠ACD=∠DCF,

∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCF,∴∠ACD=∠ADC,

∵∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD,

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°,∴∠ADC+∠ABD=90°,

∴∠ADC=90°-∠ABD,故③中結(jié)論正確;

根據(jù)已知條件無法得到DB平分∠ADC,故④中結(jié)論錯誤.

16.解析(1)∵∠BAD=60°,∠B=∠C=45°,

∴∠ADC=∠BAD+∠B=105°,∠BAC=180°-45°-45°=90°,∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=30°,

∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,∠ADE=∠AED,

∴∠ADE=∠AED=×(180°-30°)=75°,

∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°.

故答案為30°.

(2)∠BAD=2α.理由:設(shè)∠BAD=x,

∵∠B=∠C=45°,

∴∠ADC=∠BAD+∠B=x+45°,

∠BAC=180°-45°-45°=90°,

∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-x,

∴∠ADE=∠AED=[180°-(90°-x)]=45°+x,

∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=x+45°-=x,

∴∠BAD=2∠CDE=2α.

素養(yǎng)探究全練

17.解析(1)如圖,

∵∠ABC=45°,BD,BD'是∠ABC的“三分線”,

∴∠ABD=∠DBD'=∠D'BC=∠ABC=×45°=15°,

∵∠A=70°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=70°+15°=85°,∠BD'C=∠A+∠ABD'=70°+15°+15°=100°,故答案為85°或100°.

(2)∵BP⊥CP,∴∠BPC=90°,

∴∠PBC+∠PCB=90°,

∵BP、CP分別是∠ABC的“鄰AB三分線”和∠ACB的“鄰AC三分線”,

∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,

∴∠ABC+∠ACB=90°,∴∠ABC+∠ACB=135°,

∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-135°=45°.

(3)分四種情況討論:

①如圖1,當(dāng)DP和CP分別是∠ADB的“鄰AD三分線”、∠ACB的“鄰BC三分線”時,

圖1

∠ADE=∠ADB=m°,∠ACP=∠ACB,

∵∠AOD=∠BOC,∴∠A+∠ADB=∠B+∠ACB,

∵∠A=66°,∠B=45°,∠ADB=m°,

∴66°+m°=45°+∠ACB,∴∠ACB=21°+m°,

∴∠ACP=∠ACB=14°+m°,

∵∠AED=∠CEP,∴∠A+∠ADE=∠DPC+∠ACP,

∴66°+m°=∠DPC+14°+m°,

∴∠DPC=°;

②如圖2,當(dāng)DP和CP分別是∠ADB的“鄰AD三分線”、∠ACB的“鄰AC三分線”時,

圖2

∠ADE=∠ADB=m°,∠ACP=∠ACB,

由①知∠ACB=21°+m°,

同理得66°+m°=∠DPC+7°+m°,

∴