2022-2023學(xué)年福建省三明市高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省三明市高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．工人師傅在檢測椅子的四個(gè)“腳”是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（

）A．兩條相交直線確定一個(gè)平面B．兩條平行直線確定一個(gè)平面C．四點(diǎn)確定一個(gè)平面D．直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面【答案】A【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.【詳解】解：由于連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個(gè)平面”.故選：A2．已知向量，，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，建立方程，可得答案.【詳解】由，，，則，解得.故選：C.3．已知復(fù)數(shù)，則為（

）A．2 B． C． D．5【答案】B【分析】首先化簡，其次利用即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B.4．如圖，用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形是一個(gè)邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)律，平行于軸的線段長度是原長的一半即可判斷.【詳解】在直觀圖中，其一條對角線在y軸上且長度為，所以在原圖形中其中一條對角線必在y軸上，且長度為，故選：A．5．在△ABC中,A＝60°,AB＝1,AC＝2,則△ABC的面積＝A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意利用面積公式求解△ABC的面積即可.【詳解】.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形面積公式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6．圓臺的上、下底面半徑分別是，，圓臺的高為4，則該圓臺的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)閳A臺的，，且高，母線長是5，故圓臺的側(cè)面積.故選：C.7．如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由向量的平行四邊形法則以及三角形法則得出，進(jìn)而得出.【詳解】，∴，，∴，故選：C．8．已知l，m是兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下面四個(gè)命題中，正確的命題是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則， D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，若，，則與可能平行或相交，所以A不正確；對于B中，若，則與可能平行或，所以B不正確；對于C中，若，則或與相交，所以C不正確；對于D中，若，可得，又由，所以，所以D正確.故選：D.二、多選題9．以下四種說法正確的是（

）A．B．復(fù)數(shù)的虛部為C．若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn)．復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)【答案】AB【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的運(yùn)算性質(zhì)、虛部定義、復(fù)數(shù)的幾何意義及純虛數(shù)定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，，A正確；對于B，由虛部定義知：的虛部為，B正確；對于C，對應(yīng)的點(diǎn)為，對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸正半軸上，C錯(cuò)誤；對于D，為虛軸上的點(diǎn)，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AB.10．已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與共線B．單位向量C．向量在向量上的投影向量為D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)向量共線、單位向量、投影向量和向量垂直的坐標(biāo)表示依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，，不存在實(shí)數(shù)，使得，則與不共線，A錯(cuò)誤；對于B，，B正確；對于C，在上的投影向量為，C錯(cuò)誤；對于D，，，D正確.故選：BD.11．已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則以下四個(gè)命題正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，滿足條件的三角形共有個(gè)B．若則這個(gè)三角形的最大角是C．若，則為銳角三角形D．若，，則為等腰直角三角形【答案】BD【分析】利用正弦定理求得,即可判定A錯(cuò)誤；利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的比值，進(jìn)而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，對B作出判定；注意到三角形的各個(gè)角的情況，周全考慮，即可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)已知條件,綜合使用正余弦定理可求得角A的值，進(jìn)而證明D正確.【詳解】對于Ａ，，無解，故A錯(cuò)誤；對于B,根據(jù)已知條件，由正弦定理得：,不妨令,則,最大角的余弦值為：,∴，故B正確；對于C，由條件，結(jié)合余弦定理只能得到,即角為銳角，無法保證其它角也為銳角，故C錯(cuò)誤；對于D,,得到,又,,為等腰直角三角形，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理，熟練掌握并靈活運(yùn)用正余弦定理是關(guān)鍵.12．(多選題)如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C，C1重合)，過點(diǎn)P作平面分別與棱BC，CD交于M，N兩點(diǎn)，若CP＝CM＝CN，則下列說法正確的是（）

A．A1C⊥平面B．存在點(diǎn)P，使得AC1∥平面C．存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面的距離為D．用過點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【分析】連接，首先證明平面，然后由⊥平面可判斷A，由平面可判斷B，由點(diǎn)A1到平面的距離的取值范圍為可判斷C，過點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形，可判斷D.【詳解】

連接因?yàn)?，所以＝，所以又平面，平面，所以平面同理可證，平面又，、平面，所以平面平面易證⊥平面，所以⊥平面，A正確又平面，所以與平面相交，不存在點(diǎn)P，使得∥平面，B不正確.因?yàn)?，點(diǎn)到平面的距離為所以點(diǎn)A1到平面的距離的取值范圍為又，所以存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面的距離為，C正確.因?yàn)椋?，所以用過點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形又，且，所以截面為梯形，D正確故選：ACD三、填空題13．已知向量，，則.【答案】【分析】由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故答案為：.14．在正方體中，直線與所成的角是.【答案】/【分析】由可知所求角為（或其補(bǔ)角），根據(jù)長度關(guān)系可知為等邊三角形，由此可得結(jié)果.【詳解】連接，，，四邊形為平行四邊形，，（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角為.故答案為：.15．一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，則球的表面積為.【答案】8π【分析】先求出截面圓半徑，再求球半徑，最后根據(jù)球表面積公式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕c球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，所以該截面圓的半徑為1，因此球的半徑為，故該球的表面積S=4πR2=8π故答案為：8π【點(diǎn)睛】本題考查球表面積公式以及球截面，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16．圓錐的母線，高為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)的最短路程為．【答案】【分析】作出圓錐側(cè)面展開圖，可知所求最短路程為，結(jié)合扇形弧長公式、余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】將圓錐的側(cè)面展開，連接，

則的長即為質(zhì)點(diǎn)繞行的最短路程，由題設(shè)易知：圓錐底面半徑為2；在中，，，弧長，；利用余弦定理得：，；質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)的最短路程為.故答案為：.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，，是虛數(shù)單位．(1)若復(fù)數(shù)為虛數(shù)，求的值；(2)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；(3)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍．【答案】(1)且(2)(3)【分析】（1）復(fù)數(shù)為虛數(shù)，則虛部不為零，求解不等式即可；（2）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為零，虛部不為零，求解不等式即可；（3）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則虛部小于零，實(shí)部大于零，求解不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)為虛數(shù)，所以，解得且.故的值為且.（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故的值為.（3）因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，解得，故的取值范圍為.18．已知向量＝(1，1)，＝(2，-3)．(1)若＝2+3，求的坐標(biāo)；(2)求與夾角的余弦值；(3)若λ-2與垂直，求λ的值．【答案】(1)(2)(3).【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（2）利用平面向量的夾角公式求解；（3）根據(jù)λ﹣2與垂直，由（λ﹣2求解.【詳解】（1）解：，，；（2）；（3），與垂直，，解得.19．已知的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別是，且.(1)求的周長；(2)求邊上的高.【答案】(1)9(2)【分析】（1）運(yùn)用余弦定理求得c的值即可.（2）運(yùn)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求得的值，再運(yùn)用等面積法求得AB邊上的高即可.【詳解】（1）在△中，，由余弦定理得，解得，∴△的周長為.（2）∵，∴.設(shè)邊上的高為，則，即，解得.所以AB邊上的高為.20．如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由中位線性質(zhì)知，利用線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）根據(jù)線面垂直的判定可證得平面，利用，由三棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：分別為中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）四邊形為正方形，，又，平面，，平面，，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：立體幾何中的求解三棱錐體積問題通常采用兩種思路來進(jìn)行求解：（1）體積橋：將三棱錐進(jìn)行等體積代換，轉(zhuǎn)化為高易求的三棱錐體積的求解問題；（2）割補(bǔ)：將三棱錐切割為幾個(gè)部分或者補(bǔ)足為某個(gè)易求體積的幾何體來進(jìn)行求解.21．中，分別是角A，B，C所對的邊，，(1)求的大?。?2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理得到，結(jié)合余弦定理得到，即可求解；（2）由（1）求得，結(jié)合正弦定理，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理得，可得，由余弦定理得，又因?yàn)?，所?（2）解：由（1）得，因?yàn)?，可得，由正弦定理得，可得，而，所?22．如圖①：在△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖②），且∠PEB＝60°.(1)請作出平面PBC與平面PDE的交線l（不需要說明理由）(2)證明；平面PBC⊥平面PBE；(3)求直線PE與平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，即可作出交線；（2）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明平面；（3