(整理)測(cè)量平差教案

精品文檔精品文檔第一章緒論第一節(jié)觀測(cè)誤差一、觀測(cè)值中為什么存在觀測(cè)誤差？觀測(cè)條件對(duì)觀測(cè)成果產(chǎn)生影響，不可避免產(chǎn)生觀測(cè)誤差。有觀測(cè)就有誤差的結(jié)論。二、觀測(cè)誤差的計(jì)算給出觀測(cè)誤差計(jì)算的純量表達(dá)式和矩陣表達(dá)式。三、觀測(cè)誤差的分類及其處理1、分類給出誤差分類的表達(dá)式，粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的定義。結(jié)合測(cè)角、測(cè)距和水準(zhǔn)測(cè)量的全過(guò)程，讓學(xué)生分析哪些因素引起的誤差屬于粗差，那些哪些因素引起的誤差屬于系統(tǒng)誤差，那些哪些因素引起的誤差屬于偶然誤差。2、處理總結(jié)粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的處理方法，讓學(xué)生舉例說(shuō)明測(cè)量上哪些操作是為了消除系統(tǒng)誤差影響的，那些計(jì)算改正為了消除系統(tǒng)誤差影響的。四、測(cè)量平差的任務(wù)根據(jù)一系列含有觀測(cè)誤差的觀測(cè)值求待定量的最佳估值。第二節(jié)測(cè)量平差學(xué)科的研究對(duì)象研究對(duì)象為含有觀測(cè)誤差的各類觀測(cè)值。舉例說(shuō)明。第三節(jié)測(cè)量平差的簡(jiǎn)史和發(fā)展一、測(cè)量平差理論的發(fā)展1、經(jīng)典平差理論的發(fā)展主要介紹高斯創(chuàng)立最小二乘原理和馬爾可夫創(chuàng)立高斯-馬爾可夫平差模型的歷史背景和過(guò)程。2、近代平差理論的發(fā)展主要介紹二十世紀(jì)四十年代以后出現(xiàn)的近代平差理論，結(jié)合導(dǎo)線網(wǎng)平差和我國(guó)南極考察、建站，重點(diǎn)介紹方差分量估計(jì)和秩虧網(wǎng)平差的理論、方法及其用途。二、平差計(jì)算方法的發(fā)展1、手算階段2、半自動(dòng)平差階段3、全自動(dòng)平差階段第四節(jié)測(cè)量平差的任務(wù)和內(nèi)容一、任務(wù)講授測(cè)量平差的基本理論和基本方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究測(cè)量平差打下深入的基礎(chǔ)。二、內(nèi)容課本各章的內(nèi)容。小結(jié)：本節(jié)介紹了觀測(cè)條件的定義，觀測(cè)條件與觀測(cè)誤差的關(guān)系，觀測(cè)誤差的定義、處理，以及測(cè)量平差的發(fā)展概況。第二章誤差分布與精度指標(biāo)第一節(jié)正態(tài)分布一、一維正態(tài)分布繪一維正態(tài)分布圖，列出分布函數(shù)，講解，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)分布參數(shù)的含義。二、n維正態(tài)分布講解繪n維正態(tài)分布圖，列出分布函數(shù)，講解，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)分布參數(shù)的含義。第二節(jié)偶然誤差的規(guī)律性一、偶然誤差分布1、描述誤差分布的三種方法（1）列表法（通過(guò)實(shí)例列表講解）（2）繪圖法（通過(guò)實(shí)例繪圖講解）（3）密度函數(shù)法（通過(guò)實(shí)例繪圖講解）二、偶然誤差的分布特性（1）在一定的觀測(cè)條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。（界限性）（2）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率要大。（小誤差占優(yōu)性）（3）絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。（對(duì)稱性）三、兩個(gè)重要概念（1）由偶然誤差的界限性，可以依據(jù)觀測(cè)條件來(lái)確定誤差限值（2）由偶然誤差的對(duì)稱性知觀測(cè)量的期望值就是其真值。小結(jié)：偶然誤差有其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，研究偶然誤差的分布規(guī)律是為了更好的研究偶然誤差的處理問(wèn)題。第三節(jié)衡量精度的指標(biāo)；第四節(jié)精度、準(zhǔn)確度與精確度；第五節(jié)測(cè)量不確定度一、精密度指標(biāo)(一)觀測(cè)量的精密度指標(biāo)1、觀測(cè)條件與精密度配合誤差分布曲線講解精密度的定義和觀測(cè)條件與精密度的關(guān)系。2、幾種常用的精密度指標(biāo)方差與標(biāo)準(zhǔn)差推導(dǎo)相應(yīng)公式，給出其估值公式，講解應(yīng)用實(shí)例極限誤差分析誤差出現(xiàn)在某一范圍內(nèi)的概率的大小，給出極限誤差定義公式相對(duì)誤差給出相對(duì)精度的定義，用實(shí)例講解其應(yīng)用范圍。平均誤差與或然誤差給出平均誤差和或然誤差的定義，講解其在國(guó)際上應(yīng)用的范圍和地區(qū)，以及其與中誤差的關(guān)系。(二)觀測(cè)向量的精度指標(biāo)1、n維隨機(jī)向量的方差陣導(dǎo)出n維隨機(jī)向量的方差陣表達(dá)形式，指出該陣是對(duì)稱矩陣，并講解矩陣中各元素的含義，同時(shí)給出當(dāng)n維隨機(jī)向量中各隨機(jī)變量不相關(guān)時(shí)的矩陣形式。2、兩隨機(jī)向量的互協(xié)方差陣導(dǎo)出兩個(gè)隨機(jī)向量互協(xié)方差陣表達(dá)形式，并講解矩陣中各元素的含義，同時(shí)給出當(dāng)維隨機(jī)向量不相關(guān)時(shí)的矩陣形式。二、準(zhǔn)確度和精確度指標(biāo)分別給出準(zhǔn)確度和精確度的定義，及其數(shù)值指標(biāo)，繪圖講解其幾何意義。三、測(cè)量不確定度給出測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性、不確定度的概念，可測(cè)不確定度的計(jì)算方法，不可測(cè)不確定度的估計(jì)方法。小結(jié)：精度指標(biāo)分為精密度指標(biāo)、準(zhǔn)確度指標(biāo)和精確度指標(biāo)三種，觀測(cè)成果的質(zhì)量應(yīng)用精確度指標(biāo)衡量，精密度指標(biāo)中的方差、極限誤差、相對(duì)誤差幾個(gè)指標(biāo)應(yīng)重點(diǎn)掌握。第三章協(xié)方差傳播律及權(quán)第一節(jié)數(shù)學(xué)期望的傳播律E(C)=C;E(CX)=CE(X);E(X+X+???+X)二E(X)+E(X)+???+E(X);12n12n當(dāng)Xi相互獨(dú)立時(shí)(i=1,2,???,)n,E(X,X，…,X)二E(X)E(X)…E(X)12n12n第二節(jié)協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律是觀測(cè)值(向量)與其函數(shù)(向量)之間精度傳遞的規(guī)律。一誤差的傳遞1、線性函數(shù)誤差的傳遞Y=fx+fx+...+fx+f1122nn0A二fA+fA+...+fA1x12x2nxn推導(dǎo)上述公式，講解式中符號(hào)的含義2、非線性函數(shù)誤差的傳遞Y=fClX2…TA二fA+fA+...+fA1x12x2nxn推導(dǎo)上述公式，講解式中符號(hào)的含義3、函數(shù)向量誤差的傳遞Y=FX+F0Y=F(X)y=fax講解式中符號(hào)的含義，強(qiáng)調(diào)矩陣表達(dá)式與純量表達(dá)式之間的相互表式二、協(xié)方差的傳遞1、基本公式函數(shù)向量Y=F(X)Z=K(X)其誤差向量為y=faxZ=KAX則隨機(jī)向量與其函數(shù)向量間的方差傳遞公式為

D=FDFtYXD=KDKZXD=FDKYZXD=KDFtZYX證明第一、第三式，并說(shuō)明同理可證二、四式。=FDF=FDFtX=f2G2+f2G2+…+f2G11221講解式中符號(hào)的含義，說(shuō)明公式應(yīng)用的條件，強(qiáng)調(diào)公式的重要性。3、分塊向量函數(shù)向量的方差傳遞Z=t+r,1「X一t,1Yr,1「DDXXYDZ=t,tt,rDDYXXr,tr,r證明上式，對(duì)陣中元素加以說(shuō)明，給出兩向量不相關(guān)時(shí)該矩陣的形式。通過(guò)五個(gè)典型例題的講解說(shuō)明方差-協(xié)方差傳播公式的應(yīng)用方法和計(jì)算中需注意的問(wèn)題。小結(jié)：協(xié)方差傳播律是觀測(cè)值（向量）與其函數(shù)（向量）之間精度傳遞的規(guī)律，用其解決觀測(cè)值函數(shù)（向量）的精度評(píng)定問(wèn)題。本節(jié)重點(diǎn)是利用協(xié)方差傳播律解題的方法和步驟，以及只有一個(gè)觀測(cè)值函數(shù)，且觀測(cè)值之間不相關(guān)時(shí)的協(xié)方差傳播公式的應(yīng)用。第三節(jié)協(xié)方差傳播律的應(yīng)用1、水準(zhǔn)測(cè)量的精度繪制具有N個(gè)測(cè)站的水準(zhǔn)高差示意圖，應(yīng)用協(xié)方差傳播公式導(dǎo)出高差中誤差計(jì)算公式:&=JNGh站進(jìn)一步導(dǎo)出S公里觀測(cè)高差的中誤差計(jì)算公式：&=品&hkm舉例說(shuō)明公式的應(yīng)用。2、同精度獨(dú)立觀測(cè)值的算數(shù)平均值的精度由算術(shù)平均值公式，應(yīng)用協(xié)方差傳播公式導(dǎo)出其中誤差計(jì)算公式x

x舉例說(shuō)明公式的應(yīng)用。3、若干獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響A=A+A+…+Az12nO2=O2+O2+?…+O2Z12n即觀測(cè)結(jié)果的方差，等于各獨(dú)立誤差所對(duì)應(yīng)的方差之和。4、平面控制點(diǎn)的點(diǎn)位精度繪支導(dǎo)線略圖，求未知點(diǎn)點(diǎn)位中誤差，用兩種方法求解。解法一：（1）、列函數(shù)式（2）線性化（3）應(yīng)用協(xié)方差傳播公式計(jì)算坐標(biāo)方差（4）計(jì)算點(diǎn)位方差解法二：利用縱向方差和橫向方差進(jìn)行計(jì)算。小結(jié)：本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容為水準(zhǔn)測(cè)量高差和同精度獨(dú)立觀測(cè)算數(shù)平均值的精度計(jì)算問(wèn)題，應(yīng)熟記計(jì)算公式，能熟練應(yīng)用公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。第四節(jié)權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)的定義權(quán)是衡量各觀測(cè)值在平差結(jié)果中應(yīng)起作用大小的數(shù)值。P=—oC=1,2,...,n）iO2iPi為觀測(cè)值Li的權(quán)，O2是可以任意選定的比例常數(shù)。ii0觀測(cè)值的權(quán)與觀測(cè)值的方差成反比。二、單位權(quán)方差權(quán)的作用是衡量觀測(cè)值的相對(duì)精度，稱其為相對(duì)精度指標(biāo)。確定一組權(quán)時(shí)，只能用同一個(gè)O令Oi=O0，則得：O2O2O2O=1O2i0上式說(shuō)明O2是單位權(quán)（權(quán)為1）觀測(cè)值的方差，簡(jiǎn)稱為單位權(quán)方差。凡是方差等于O:的觀測(cè)值，其權(quán)必等于1。權(quán)為1的觀測(cè)值，稱為單位權(quán)觀測(cè)值。無(wú)論O2取何值，權(quán)之間的比例關(guān)系不變。0舉例（例〔1〕、例〔2〕）講解。三、測(cè)量中常用的定權(quán)方法1、水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)（1）、用測(cè)站數(shù)定權(quán)（山地、起伏較大的丘陵）利用用測(cè)站數(shù)計(jì)算高差中誤差的公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用測(cè)站數(shù)定權(quán)的公式。解釋式中符號(hào)的含義。（2）、用路線長(zhǎng)度定權(quán)（平地）利用用路線長(zhǎng)度計(jì)算高差中誤差的公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用路線長(zhǎng)度定權(quán)的公式hS解釋式中符號(hào)的含義。舉例（例〔3〕、例〔4〕、例〔5〕）講解。2、距離量測(cè)的權(quán)距離長(zhǎng)度可通過(guò)鋼尺丈量或測(cè)距儀測(cè)距得到。下面分別討論兩種情況下的定權(quán)方法1）鋼尺量距的權(quán)解釋式中符號(hào)的含義。2）測(cè)距儀測(cè)距的權(quán)P=^0s6SO=O+oS-10-6s標(biāo)稱標(biāo)稱解釋式中符號(hào)的含義。3、等精度觀測(cè)算術(shù)平均值的權(quán)利用等精度獨(dú)立觀測(cè)值算術(shù)平均值的方差計(jì)算公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用觀測(cè)次數(shù)定權(quán)的公式n牛C說(shuō)明公式中符號(hào)的含義。小結(jié)：權(quán)是用來(lái)衡量觀測(cè)成果的相對(duì)精度的，單位權(quán)方差可以根據(jù)計(jì)算方便任意選定，但觀測(cè)值之間的比例關(guān)系不變。水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)與測(cè)站數(shù)或路線長(zhǎng)度成反比；鋼尺量測(cè)的權(quán)與距離長(zhǎng)度成反比，光電測(cè)距的權(quán)用定義式計(jì)算，其中測(cè)距方差由固定誤差和比例誤差兩項(xiàng)組成；等精度算術(shù)平均值的權(quán)與觀測(cè)次數(shù)成正比。應(yīng)熟記定權(quán)公式，明確公式中各符號(hào)的含義，掌握利用公式解題的方法。第五節(jié)協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律一、協(xié)因數(shù)

定義協(xié)因數(shù)Q=CC2=1/pl=1,2,...,nii廠ol權(quán)可表示為方差和標(biāo)準(zhǔn)差可表式為定義協(xié)因數(shù)Q=CC2=1/pl=1,2,...,nii廠ol權(quán)可表示為方差和標(biāo)準(zhǔn)差可表式為=C2?Q,0iiofQ0ll、協(xié)因數(shù)陣1、n維隨機(jī)向量X的協(xié)因數(shù)陣定義互協(xié)因數(shù)：Q=C/6ljlj0利用方差協(xié)方差與協(xié)因數(shù)弧協(xié)因數(shù)的關(guān)系導(dǎo)出協(xié)因數(shù)陣C2Q11對(duì)稱QQ1222Q]Q1n2nQnn上式矩陣中，Q=Q。當(dāng)Qij=0(iMj)時(shí)，則Xi和Xj互不相關(guān)。ljjl2、分塊向量的協(xié)因數(shù)陣_X—Z=Q=「QQXYYQ=「QQXYYX式中，Qx、Qy分別為X、Y向量的自協(xié)因數(shù)陣，而Qxy、Qyx分別為X向量關(guān)于Y向量的互協(xié)因數(shù)陣,Qxy與Qyx互為轉(zhuǎn)置。當(dāng)Qxy等于零時(shí)，表示X、Y互不相關(guān)。三、權(quán)陣「QQ...Q--1「PP..P1Q11Q12...Q1nP11P12..P1n21222n=21222nQQ...QPP..Pn1m2nnn1n2nnP=Q-1=觀測(cè)值的權(quán)一般要通過(guò)對(duì)權(quán)陣求逆得到協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的倒數(shù)關(guān)系求權(quán)。當(dāng)權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)，P=P。lll舉例(例〔1〕例〔2〕講解、分析四協(xié)因數(shù)傳播律將協(xié)方差傳播公式乘以+，并顧及Q=+D,Q=+D，即可得到觀測(cè)向量X與其函數(shù)向量qY002YX二XY、Z之間的協(xié)因數(shù)傳播公式。列出相應(yīng)公式，以及只有一個(gè)函數(shù)，且觀測(cè)值之間不相關(guān)時(shí)的協(xié)因數(shù)傳播公式。舉例（例〔3〕例〔4〕講解、分析小結(jié)：權(quán)與協(xié)因數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系，權(quán)陣與協(xié)因數(shù)陣互為逆陣關(guān)系，一般情況下給了觀測(cè)值的權(quán)陣求觀測(cè)值的權(quán)要先求權(quán)陣的逆陣得到其協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系求權(quán)；協(xié)因數(shù)傳播律與協(xié)方差傳播律公式相仿，只記住其中一套公式，再記住協(xié)因數(shù)陣與協(xié)方差陣的關(guān)系即可。第六節(jié)由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用一、利用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差的基本公式利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出利用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差的基本公式oo-n~二、由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用1、由三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出由三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差的公式■Ww]-礦說(shuō)明公式的不嚴(yán)密性。2、利用雙觀測(cè)列之差求中誤差（1）求單位權(quán)中誤差利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出利用雙觀測(cè)列之差求單位權(quán)中誤差的公式不等精度觀測(cè)Tpdd'r—I—'■?o7-2n-等精度觀測(cè)0o:0o:[ddl說(shuō)明公式中符號(hào)的含義。

2）求雙觀測(cè)列單次觀測(cè)的中誤差（3）求雙觀測(cè)列平均值的中誤差利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出相應(yīng)公式不等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)G_L等精度觀測(cè)G_Lirr=G02PiQ=+b丄L.0\2i水準(zhǔn)測(cè)量雙觀測(cè)平差應(yīng)用例題小結(jié)：本節(jié)重點(diǎn)是利用雙觀測(cè)之差計(jì)算中誤差的公式及其應(yīng)用，該公式在測(cè)量中應(yīng)用廣泛，應(yīng)重點(diǎn)掌握。第七節(jié)系統(tǒng)誤差的傳播一、觀測(cè)值的系統(tǒng)誤差與綜合誤差的方差1、觀測(cè)值的系統(tǒng)誤差——偏差導(dǎo)出偏差表達(dá)公式2、觀測(cè)值的綜合誤差方差——可靠性如果系統(tǒng)誤差部分是偶然中誤差部分的三分之一或更小時(shí)，則可將系統(tǒng)誤差的影響忽略不計(jì)。二、系統(tǒng)誤差的傳播導(dǎo)出傳播公式三、系統(tǒng)誤差與偶然誤差的聯(lián)合傳播導(dǎo)出傳播公式小結(jié)：了解系統(tǒng)誤差的傳播規(guī)律。第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理第一節(jié)測(cè)量平差概述一、測(cè)量控制網(wǎng)簡(jiǎn)介高程控制網(wǎng)（水準(zhǔn)網(wǎng)或三角高程網(wǎng)）包括閉合水準(zhǔn)網(wǎng)和符合水準(zhǔn)網(wǎng)。繪出三組不同網(wǎng)形的水準(zhǔn)網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知高程點(diǎn)，未知高程點(diǎn)和觀測(cè)高差。2.平面控制網(wǎng)（1）三角網(wǎng)根據(jù)觀測(cè)量的不同，三角網(wǎng)分為測(cè)角三角網(wǎng)、測(cè)邊三角網(wǎng)和邊角同測(cè)三角網(wǎng)。1）測(cè)角三角網(wǎng)包括獨(dú)立三角網(wǎng)和符合三角網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的三角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)和觀測(cè)角度。2）測(cè)邊三角網(wǎng)包括獨(dú)立測(cè)邊網(wǎng)和符合測(cè)邊網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的測(cè)邊網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)和觀測(cè)邊長(zhǎng)。3）邊角三角網(wǎng)包括獨(dú)立邊角網(wǎng)和符合邊角網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)，觀測(cè)角度和邊長(zhǎng)。（2）導(dǎo)線網(wǎng)包括獨(dú)立導(dǎo)線網(wǎng)和符合導(dǎo)線網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)，觀測(cè)角度和邊長(zhǎng)。還有三維網(wǎng)、GPS控制網(wǎng)、航測(cè)控制網(wǎng)、工程專用網(wǎng)等將在后續(xù)相應(yīng)課程中介紹。二、必要起算數(shù)據(jù)確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：一個(gè)已知點(diǎn)高程測(cè)站平差：一個(gè)已知方位測(cè)角網(wǎng)：一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位，一個(gè)相鄰已知邊長(zhǎng)或兩個(gè)相鄰點(diǎn)坐標(biāo)。測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位。各種控制網(wǎng)中少于等于必要起算數(shù)據(jù)的控制網(wǎng)成為獨(dú)立網(wǎng)，多于必要起算數(shù)據(jù)的控制網(wǎng)成為非獨(dú)立網(wǎng)或附合網(wǎng)。三、必要觀測(cè)及其數(shù)目的確定確定幾何、物理模型的形狀、大小所必須進(jìn)行的觀測(cè)稱為必要觀測(cè)，其符號(hào)用符號(hào)t表示。高程網(wǎng)：t二p-q-丄測(cè)站平差：t二p-q-丄必要起算數(shù)據(jù)測(cè)角網(wǎng)：t=2p-q-4

測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：t=2p-q-3P：總點(diǎn)數(shù)或總方向數(shù)（測(cè)站平差）；a：多余起算數(shù)據(jù)數(shù)必要起算數(shù)據(jù)之外的起算數(shù)據(jù)四、多余觀測(cè)及其數(shù)目的確定必要觀測(cè)之外的觀測(cè)稱為多余觀測(cè)，其數(shù)目用符號(hào)r表示多余觀測(cè)數(shù)=觀測(cè)總數(shù)一必要觀測(cè)數(shù)（r=n-1）五、必要觀測(cè)和多余觀測(cè)數(shù)目計(jì)算練習(xí)計(jì)算圖3-1至圖3-7的必要觀測(cè)數(shù)和多余觀測(cè)數(shù)。小結(jié)：本節(jié)介紹了測(cè)量控制網(wǎng)的類型，和各類控制網(wǎng)中應(yīng)具備的必要起算元素，必要觀測(cè)元素，應(yīng)重點(diǎn)掌握必要觀測(cè)元素?cái)?shù)和多余觀測(cè)元素?cái)?shù)的計(jì)算。第二節(jié)函數(shù)模型FG)=0r,1~~FG)=0r,1~~L=FIXn,111,1丿2、間接（參數(shù)）平差法3、附有參數(shù)的條件平差法c,14、附有限制條件的間接（參數(shù)）平差法u,1u,1丿s,1用簡(jiǎn)單控制網(wǎng)圖形舉例說(shuō)明。第三節(jié)函數(shù)模型的線性化設(shè)~~F=FIL,X

c,11n,1u,1丿用泰勒公式導(dǎo)出F的線性形式為F二FCX0)+AA+B~根據(jù)上述函數(shù)模型線性化過(guò)程，可將各種平差方法的函數(shù)模型線性化1、條件平差法AA-W二0式中A=-of,W=—F（L）L2、間接平差法

式中3、附有參數(shù)的條件平差法式中B式中3、附有參數(shù)的條件平差法式中B=-SFdXX0A=Bx-1,l=L—￡o),AA+Bx-W二0W二—FC,Xo),4、附有限制條件的間接平差法A二B~—lc~—W-0x式中cs,ucs,udXX0，Wx第四節(jié)測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型1、各種平差方法的隨機(jī)模型D=Q20n,nD=Q20n,nQn,n0n,n2、各種平差方法的數(shù)學(xué)模型各種平差方法函數(shù)模型的線性形式分別與平差的隨機(jī)模型聯(lián)立，即為相應(yīng)平差方法的數(shù)學(xué)模型。小結(jié)：本次課所講的各種平差方法的函數(shù)模型均能建立各觀測(cè)值之間的函數(shù)關(guān)系式，正確建立這種關(guān)系式，是正確求得觀測(cè)值最可靠結(jié)果的前提。第五節(jié)參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理一、引例已知平面三角形三內(nèi)角應(yīng)滿足或式中L+L+一、引例已知平面三角形三內(nèi)角應(yīng)滿足或式中L+L+12L~—18003=0A+A+A—W=0123=1800—(L+L+L)111上方程中有三個(gè)未知數(shù)，是相容方程，只能在某一準(zhǔn)則下求得式中未知數(shù)的估值。二、最小二乘準(zhǔn)則:①=AtD—iA=min顧及方差陣與權(quán)陣的關(guān)系，并用△的估值V代替△又可得①二VtPV二min觀測(cè)量真值向量的估值公式為：L=L+V式中L稱為觀測(cè)向量的“最或然值”向量或“觀測(cè)值的平差值”向量；V稱為改正數(shù)向量。三、最小二乘估計(jì)根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則進(jìn)行的估計(jì)稱為最小二乘估計(jì)，按此準(zhǔn)則求得一組估值的過(guò)程，稱為最小二乘平差，由此而得到的一組估值是滿足方程的唯一解。如果方差陣D和權(quán)陣P是非對(duì)角陣，則表示觀測(cè)值是相關(guān)的，按此準(zhǔn)則進(jìn)行的平差即稱為相關(guān)觀測(cè)平差。如果是對(duì)角陣，則表示觀測(cè)值是彼此不相關(guān)的，此時(shí)稱為獨(dú)立觀測(cè)平差。當(dāng)觀測(cè)值不相關(guān)，即P為對(duì)角陣時(shí)，則有①二VtPV二工PV2二PV2+PV2+...+PV2二minii1122nni=1當(dāng)觀測(cè)值不相關(guān),并為等精度,即P=I時(shí),則有:O=VtV=為v2=V2+V2+...+v2=mini12ni=1小結(jié)：最小二乘原理是測(cè)量平差的基本原理，按最小二乘準(zhǔn)則求得的觀測(cè)量及其函數(shù)的結(jié)果是最可靠的結(jié)果，后續(xù)所講所有平差方法均按此準(zhǔn)則求解。第五章條件平差第一節(jié)條件平差原理一、條件方程和改正數(shù)條件方程列出用觀測(cè)值真值和真誤差表示的條件平差函數(shù)模型導(dǎo)出用按最小二乘準(zhǔn)則求得的觀測(cè)值平差值和觀測(cè)值改正數(shù)表示的條件平差的函數(shù)模型F'L）=0――條件方程r,1r,1AV-W=0――改正數(shù)條件方程r,nn,1r,1W=-F（L）――改正數(shù)條件方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式舉例（單三角形函數(shù)模型的建立）二、條件方程的純量表達(dá)式和矩陣表達(dá)式r個(gè)條件方程的純量表達(dá)式：

線性化后得改正數(shù)條件方程其中A=212n>av+avH線性化后得改正數(shù)條件方程其中A=212n>av+avHFav-w=01122nnabv+bvHFbv-w=01122nnbrv+rvHFrv-w=01122wawb=-F（L,L，…,L）12n=-F（L,L，…,L丿12nrr12naa?…awv12ni1bb…bwvi2n,W=2,V=2............?r,1n,1rr….rwv12nrn=-F（L,L，…,L）則改正數(shù)條件方程及其閉合差計(jì)算的矩陣表達(dá)式分別為AV-W=0W=-F（L）三、基礎(chǔ)方程kT，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)r按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為K=(kT，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)rabr,1①=VtPV-2Kt(av-W),對(duì)其求導(dǎo)整理得改正數(shù)V的計(jì)算公式V=P-1ATK=QATK——改正數(shù)方程當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，改正數(shù)方程的純量形式為v=丄(ak+bkhfrk)i=1,2，…,nipiiaibir改正數(shù)條件方程與改正數(shù)方程聯(lián)立，稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。此時(shí)，方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，方程有唯一解。四、基礎(chǔ)方程的解將改正數(shù)方程代入改正數(shù)條件方程，得AQAtK-W二0,令N=AQAt=AP-iAt,aa得NK-W二0――聯(lián)系數(shù)法方程aa秩R（N）=R（AQAtLR（A）=r，即N是個(gè)r階的滿秩方陣，由此解出aaaaK=N-iWaa當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，法方程的純量形式為raaak+raPab~k+pblk+???+*br~k—W=0papbprb口…「1…?…nar~k+*bl~k+???+rr~k—W=0papbprr-解出K，將其代入改正數(shù)方程，求出改正數(shù)V,在按L=L+V可求得平差值。五、條件平差步驟及示例用具有兩個(gè)條件的符合水準(zhǔn)網(wǎng)為例講解。小結(jié)：本節(jié)應(yīng)熟記條件方程，改正數(shù)條件方程，改正數(shù)條件方程閉合差計(jì)算式，法方程，改正數(shù)方程的表達(dá)形式，掌握用條件平差法平差的方法、步驟。第二節(jié)條件方程一、水準(zhǔn)網(wǎng)（同§5.1中所述，略）二、測(cè)角網(wǎng)單三角形（同§5.1中所述，略）中心多邊形以中心三邊形為例，畫出示意圖，列出其條件方程和改正數(shù)條件方程的一般表達(dá)式。重點(diǎn)講解極條件的列立方法和規(guī)律。舉例（中心三邊形實(shí)例）列條件方程和改正數(shù)條件方程。大地四邊形畫出示意圖，列出其條件方程和改正數(shù)條件方程的表達(dá)式。重點(diǎn)講解極條件的列立方法和規(guī)律。舉例上圖中，若以對(duì)角線交點(diǎn)為極列極條件，其極條件閉合差超限，說(shuō)明角度觀測(cè)存在問(wèn)題，如何返工？先讓讓學(xué)生回答，然后教師講解。三、測(cè)邊網(wǎng)1.中心多邊形畫出測(cè)邊中心三邊形示意圖。（1）列出以反算角表示的條件方程和改正數(shù)條件方程（2）建立反算角改正數(shù)與邊改正數(shù)之間的關(guān)系（3）導(dǎo)出以邊改正數(shù)表示的條件方程大地四邊形畫出測(cè)邊大地四邊形示意圖。（1）列出以反算角表示的條件方程和改正數(shù)條件方程（2）建立反算角改正數(shù)與邊改正數(shù)之間的關(guān)系（3）導(dǎo)出以邊改正數(shù)表示的條件方程四、邊角網(wǎng)如圖，t=2p-q-3=8-3-3=2,r=n-1=8-2=6應(yīng)列出6個(gè)條件方程條件分析：內(nèi)角和條件2個(gè)正弦條件2個(gè)固定角條件1個(gè)規(guī)定邊條件1個(gè)邊角網(wǎng)條件方程列立例題講解分析。小結(jié)：條件方程列立，首先應(yīng)能正確確定應(yīng)列的條件數(shù)目，保證方程之間不相關(guān)，其次應(yīng)能分析條件類型，最后應(yīng)掌握各類方程的列立規(guī)律，正確列出條件方程。第三節(jié)精度評(píng)定一、單位權(quán)方差估值計(jì)算VTPVO2=0rVTPV的計(jì)算：1、VtPV=PV2+PV2+…十PV2(權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí))1122nn2、VtPV=(QAtK)TP(QAtK)二KtAQPQAtK=KtNkaa3、VTPV=VTP(QATK)=VTATK=WTK二、協(xié)因數(shù)陣設(shè)r」ZT=LTWTKTVTLT列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中表中L與V、W、K的互協(xié)因數(shù)陣為零，說(shuō)明L與V、W、K統(tǒng)計(jì)不相關(guān)證明：表中Q、Q的計(jì)算表達(dá)式。VVLL三、觀測(cè)值平差值的精度評(píng)定D=￡2QLL0LL四、平差值函數(shù)的精度評(píng)定1．平差值函數(shù)表達(dá)式及其協(xié)因數(shù)計(jì)算列出平差值函數(shù)表達(dá)式G=f(L,L，…,L)12n按泰勒公式展開(kāi)，并按協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出平差值函數(shù)協(xié)因數(shù)的計(jì)算公式Q=fTQf-(aqAn-iAQTaa珥(i=l,2,…,n)為偏導(dǎo)數(shù)值。

八八dL+ff1八八dL+?…+ff1八1%J1L=L血212L=L血丿nL=LdLnd(p=22．權(quán)函數(shù)式=f1dL1+f2dL2+…+fndLn—權(quán)函數(shù)式3．平差值函數(shù)的方差D=￡2Q(p(p0(p(p小結(jié):本節(jié)主要介紹了利用改正數(shù)計(jì)算單位權(quán)中誤差的公式，各種平差量協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)及方差協(xié)方差的計(jì)算，平差值函數(shù)式和權(quán)函數(shù)式的列立方法，平差值函數(shù)協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)及方差協(xié)方差的計(jì)算方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握。第六章附有參數(shù)的條件平差一、概述設(shè)X=ZABD，又可列出1個(gè)極條件和一個(gè)固定邊條件極條件為(以A點(diǎn)為極):固定邊條件為(由AC一、概述設(shè)X=ZABD，又可列出1個(gè)極條件和一個(gè)固定邊條件極條件為(以A點(diǎn)為極):固定邊條件為(由AC邊推算到AB邊)：S=SABsinLsinG+L)^~~6?8ACsinLsinX3sinLsinG+L),———6?8=1S—ACSsinLsinXAB3由于選了一個(gè)參數(shù)，增加了一個(gè)條件，一般情況下，若選了U個(gè)參數(shù)，則條件方程的數(shù)目為c=r+u.從以上5個(gè)方程出發(fā)進(jìn)行平差，就是附有參數(shù)的條件平差方法。二、基礎(chǔ)方程觀測(cè)量L和X的最佳估值L=L+V，X=X0+x，用奇表示的附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型為條件方程條件方程AV+Bx一W=0改正數(shù)條件方程c,nn,1c,uu,1c,1kbk卞，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)rW=_FC,Xkbk卞，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)r按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為K二r,1①二VtPV-2Kt(Av+Bx-W),將①對(duì)V和x分別求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，導(dǎo)出改正數(shù)V的計(jì)算公式V二P-1AtK=QAtK—改正數(shù)方程附有參數(shù)的條件平差的基礎(chǔ)方程為：AV+BX-W=0c,nn,1c,uu,1c,1V二P-1AtK二QAtKbtK=0方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，方程有唯一解。三、基礎(chǔ)方程的解將改正數(shù)方程代入改正數(shù)條件方程，并令N=AQAt=Ap-1AT，則得法方程aaNK+BX-W二0aabtK=0法方程秩R(n)=R(AQAt)=R(A)=c，即N是個(gè)c階的滿秩方陣，顧及N=btN-1B由法方程aaaabbaa，可解出X二N-iBtN-iW,bbaaV二QAtN-1(W-Bx),aa四、精度評(píng)定(一)、單位權(quán)方差估值計(jì)算VTPVVTPVO2==0rc-uVTPV的計(jì)算：1、VtPV=PV2+PV2+…十PV2（權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)）1122nn2、VtPV二（QAtK）TPV二KtAV二KtW-KtBx=WtK3、VtPV=WtK=WtN-iW—WtN-1Bx=WtN-iW—GtN-iW）無(wú)aaaaaaaa（二）、協(xié)因數(shù)陣設(shè)r」Zt二*LtWtXtKtVtLt'列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中證明：表中Q農(nóng)、Qvv的計(jì)算表達(dá)式。三）、觀測(cè)值平差值的精度評(píng)定D=￡2QLL0LLD=￡2QXX0XX四）、平差值函數(shù)的精度評(píng)定對(duì)其全微分，得權(quán)函數(shù)式：式中d?=空dL+理dX=FTdL+FTdXdLdX按協(xié)因數(shù)傳播律得6的協(xié)因數(shù)為:dL16L2帥6Ln帥dxnQ66=FT

FxT存XL

Q…］「FLXQ…FXX=FtQF+FtQF+FtQF+FtQFLXxxXLxXXx■/入入■/入入■/入入■/入入LXxxXLxXXxLL6的中誤差為:0(p(pp0(p(p小結(jié):掌握此種平差方法的應(yīng)用范圍，平差的方法步驟。第七章間接平差第一節(jié)間接平差原理、平差值方程與誤差方程觀測(cè)量L和X的最佳故值L=l+v,x=x0+x，用平差值和改正數(shù)表示間接平差的函數(shù)模型L=Fx—平差值方程（觀測(cè)方程）n,1r,1V=BX-l—誤差方程n,1n,tt,1n,1/=L-FG0L誤差方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式以測(cè)角單三角形為例，列出平差值方程和誤差方程。二、方程的純量表達(dá)式與矩陣表達(dá)式設(shè)有n個(gè)條件方程:TOC\o"1-5"\h\zL=FW,X，…,X八11(八12nL=FX,X,…,X2212nL=FX,X,…,Xnn12n線性化后得誤差方程為v=aX+bXHFtx-111J1入21t1v=aX+bXFFtx-1221222t2>其中v=aX+bXFFtx-1其中nn1n2nt1=L-f\Xo,Xo,…,Xo11t12t1L-FXo,Xo,…,Xo22212t1L-F（Xo,Xo,,Xonnn12tB=a1a2bb2…t"1…t2,1=T112,V=v1v2ab…t1vnnnnn則誤差方程的矩陣表達(dá)式為V二Bx-1誤差方程常數(shù)項(xiàng)(閉合差)計(jì)算式的矩陣表達(dá)式為三、基礎(chǔ)方程誤差方程中未知數(shù)個(gè)數(shù)(n+1)大于方程個(gè)數(shù)n,方程有無(wú)窮多組解。根據(jù)最小二程原理可求得滿足方程的唯一一組解。求VTPV的自由極值得基礎(chǔ)方程JV=Bx-1|BTPV=0四、基礎(chǔ)方程的解將基礎(chǔ)方程第一式代入第二式，令N=BtPB,W=BtP1，得法方程bbNx-W=0法方程bb解上方程得：X=N-iWbb當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，法方程的純量形式為[paa]x+tpablxFF[patk=[pa11[pabk+[pbbkFF[pbt]x=[pb1]12[patk+[pbtkHF[pttk=[ptl]12五、按間接平差法求平差值的計(jì)算步驟及示例用水準(zhǔn)網(wǎng)例題講解平差的方法步驟。小結(jié)：本節(jié)應(yīng)熟記觀測(cè)方程，誤差方程，誤差方程常數(shù)項(xiàng)計(jì)算式，法方程的表達(dá)形式，掌握用間接平差法平差的方法、步驟。第二節(jié)誤差方程一、參數(shù)個(gè)數(shù)的確定與選取參數(shù)個(gè)數(shù)：等于必要觀測(cè)數(shù)t；參數(shù)選?。核疁?zhǔn)網(wǎng)一般選擇未知點(diǎn)高程為參數(shù)，也可選擇觀測(cè)高差為參數(shù)；平面控制網(wǎng)一般選擇未知點(diǎn)坐標(biāo)為

參數(shù)，也可選擇觀測(cè)角度等為參數(shù)。參數(shù)選擇要求：足數(shù)；參數(shù)間線性無(wú)關(guān)。二、平差值方程及誤差方程的列立1、觀測(cè)高差平差值方程及誤差方程的列立例1，以具有兩個(gè)未知點(diǎn)的符合水準(zhǔn)網(wǎng)為例講解2、觀測(cè)方向平差值方程及其誤差方程的列立設(shè)X=0YXY大jjKK計(jì)算參數(shù)近似值Xo=Sx0Y0X0Y0jjkk平差值方程：入入入入Y-YL=—Z+ct=—Z+arctgk」jkj伙jX—Xkj—ztj—ztj+c0+8jkJKnL+V=—Z0—z+c0+8jkjkjjjkcJKnV=—zt+8—ljkjcJKjk其中—l=—Z0+c0—L——常數(shù)項(xiàng)計(jì)算式j(luò)kjjkjkY0—Y0c0=arctgkj—jkX0—X0kj〃QO=.QXjQO〃QO=.QXjQOQO入QOxH.yX+—jjQYjQXkQYX=xojX=xokX=XokX=X00p"Ao=~YtkVXSo2.JKft■八psinOo入=—XSo.JKp"Ao-ir^yjJKH八pCOSOLJKo.ySojJKo2kJKtt?tfpsinooo入p〃cosooS0JKo.ySokJK則觀測(cè)方向的誤差方程為：〃P〃Av=-z.+~^~

〃P〃Av=-z.+~^~

jkjSJKJKop"A「―Y卜JKo2JK0八xkp"Ao-1S02kjkJK〃v=jk八八”八-z+ax+by..k..k.ak匕「稱」、k方向的方向系數(shù)，對(duì)于任一方向jm有：jk、jk〃八八『八v=-z+ax+by.m..m..m.坐標(biāo)近似值的計(jì)算：-aXjkk-aXjmkjkyk-1jk+by-1jmkjm可用支導(dǎo)線法、前方交會(huì)法等方法計(jì)算。,nji,nji=1,2,Zo=oo—L,jiji/ji\工uo-L丿Zo=.n.誤差方程列立規(guī)律：①符號(hào)；②系數(shù)；③特殊情況；④5"=5"TJKTKJ單位：坐標(biāo)改正數(shù)為厘米時(shí)系數(shù)除100，...。3、觀測(cè)角度平差值方程及其誤差方程的列立平差值方程：誤差方程：L=0L-OLijhjkJK〃=50Jh〃〃-5JK-50JK+O0-O0jhjkl=00-00-Lijhjki例2，以固定角內(nèi)插一點(diǎn)得測(cè)角網(wǎng)為例講解方程列立及求平差值的方法、步驟4、觀測(cè)邊長(zhǎng)平差值方程及其誤差方程的列立設(shè)：X=0YXjjk設(shè)：X=0YXjjkk平差值方程：sisi=S0+5isi其中6S5—i_入oS入qS入oSx+—壬y+—“x+—十j0丫jOXkoyX=X0jX=X0kX=X0kX=X05rsidXjA0A0A0A0誤差方程：XJKS0jk-x—jYJKS0jky+jXJKS0jk-x+—ykS0kjkA0A0A0A0V—一XxJK一Y八y+X八X+Y八y-lJKJKJKSiS0jS0jS0kS0kijkjkjkjk=-cosT0x一sinT0y一cosT0x+sinT0y一ljkjjkjjkkjkki常數(shù)項(xiàng)：例3，小結(jié)：o一yo例3，小結(jié)：o一yo)(單位ixkj"kj以中心三邊形內(nèi)差一點(diǎn)的測(cè)邊網(wǎng)為例講解求未知點(diǎn)坐標(biāo)的方法、l=S—S0=S—X0—X0iiiikj觀測(cè)方程和誤差方程的列立，首先應(yīng)能正確確定應(yīng)選參數(shù)數(shù)目，cm或dm)步驟。保證所選參數(shù)之間線形無(wú)關(guān)，其次應(yīng)能掌握各類方程的列立規(guī)律，正確列出相應(yīng)觀測(cè)方程和誤差方程。第三節(jié)精度評(píng)定、單位權(quán)方差估值計(jì)算VTPVO2=0rVTPV的計(jì)算：1.VtPV=PV2+PV2+…+PV2(權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí))1122nn2.VtPV=(BXc—l\PV=xtBtPV—ItPV=—ItP(BX—l)&及BtPV=0)=ItPI—ItPBx=ItPI—GtPlh3、在線性方程組解算表中計(jì)算二、協(xié)因數(shù)陣與互協(xié)因數(shù)陣設(shè)：(L(L1'E'f0、7KxN-1BtPN-1BtP=bbL—bbVbn-1BtP—EBN-1BtP—E八bbbbILJ.BN-1BtP,.BN-1BtP—E丿F(X0)按協(xié)因數(shù)傳播導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣表中L與v和x與v的互協(xié)因數(shù)陣為零，說(shuō)明L與v、x與v統(tǒng)計(jì)不相關(guān)證明表中Qxx，QVV，Qtt的計(jì)算表達(dá)式。三、參數(shù)的精度評(píng)定設(shè)所求量（如未知點(diǎn)高程或縱橫坐標(biāo)）為參數(shù)Xj,i=l,2,…，t,則&2=&2QX0XXii四、參數(shù)函數(shù)的精度計(jì)算設(shè)參數(shù)函數(shù)為：e設(shè)參數(shù)函數(shù)為：e=e（x）=e（X，1X，…x)2線性化得權(quán)函數(shù)式為：dgOX1dX+——kdgOX1dX+——k—1OX2dXO?+?…+——2OXt八X=x0=fdX+fdX+…+fdX=FTdX1122ttdXt由協(xié)因數(shù)傳播律得：QJFtQXF五、各種平差量權(quán)函數(shù)式的列立1、高差平差值如圖設(shè)未知點(diǎn)高程為參數(shù)，所求高差平差值的函數(shù)式為($=h=-X+Xijk其權(quán)函數(shù)式為d(9=dh=-dX+dXijk若j、k為已知點(diǎn)，其dX前的系數(shù)為零。2、方位平差值如圖設(shè)未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，所求方位平差值的函數(shù)式為a=

jkY-Yarctgja=

jkX-Xkj求全微分得其權(quán)函數(shù)式為宀P"AYo「

da—f—、jkdXjkfSob2.1oJjK式中加的單位為（"），3、角度平差值dX、p'AXo入p'AYo入p'AXo-f-、jkdY-f、jkdX+f-Vjk\Sob.10j\Sob.10k\sob.1jKjKjKdY的單位為分米，若j、k為已知點(diǎn)，其dX、"AXodYKdY前的系數(shù)為零如圖設(shè)未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，所求角度平差值的函數(shù)式為jX-X

kj入(p'AY0p'AY0|入da=|jX-X

kj入(p'AY0p'AY0|入da=|fj—f__、jk|dXjk丨\S0丄?10S0艾?10丿jjk""AX04dY?10Kjhp"AY0+^TS02?10jkp""AX0、jhS02?10jhp""AY0—f——\jhdX

S02?10jh\S0尢-10jkp'AXo+S0龍-10K￡0龍-10h￡0北?10jkjhjhdX、dY的單位為分米，若j、k為已知點(diǎn)，其dX、f/\4^dX—k4dYh式中叫的單位為（"）,4、邊長(zhǎng)平差值dY前的系數(shù)為零。如圖設(shè)未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，所求邊長(zhǎng)平差值的函數(shù)式為/\JI/\/\II/\/\IS=\：X—Xb+Y—Yk

jkkjkj求全微分得其權(quán)函數(shù)式為dSjkAX0AY0AX0AY0--pjkxdX-KjXdY+^-AdX+P^dY\S0jS0/S0kS0kjkjkdY的單位為分米,jkjh若j、k為已知點(diǎn)，其dX、dY前的系數(shù)為零。第八章附有限制條件的間接平差八入入Y—YY—YL=a—a二arctg4—arctg訣jhjkX—Xh求全微分得其權(quán)函數(shù)式為、概述如上圖，選取i、k兩點(diǎn)的坐標(biāo)為未知數(shù)，可列出4個(gè)平差值方程。由于選定的未知數(shù)個(gè)數(shù)（u）多于必要觀測(cè)數(shù)（t）,所以在所選定的未知數(shù)之間存在s=u-t個(gè)限制條件?！猉Ki—XKi—S=0KiikY-Y門arctg-a=0X-XjKi把上列兩式線性化得cosaox+sina0y-cosa0x-sma0y-w=0jkKjkKjkKjkK1ax+by-ax-by-w=0jkKjkKjkKjkK(2w=S-‘0-X0)+V0—Y01ikkjkjY0-Y0w=a-arctgk—i—2jkX0-X0ki二、基礎(chǔ)方程已知附有參數(shù)的條件平差法的函數(shù)模型s,1s,1其線性形式為A=Bx-1c~x-W=0x其中W=—①Q(mào)o)x由于n+svn+u，不能求得A和~的唯一解，只能按最小二乘原理求A和~的最佳故值v和x，從而求得觀測(cè)量L和文的最佳故值L和攵，即為此，可用觀測(cè)值平差值和參數(shù)平差值表示附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型，即L=fQ>—平差值方程（觀測(cè)方程）n，（1?乂厶0—限制條件方程s，1或用觀測(cè)值改正數(shù)和參數(shù)改正數(shù)表示附有限制條件的間接平差法的函數(shù)模型，即V=Bx—l—誤差方程n,1n,tt,1n,1CX-W=0一限制條件方程Xl二L-FG0L誤差方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式W=6^Xo）一限制條件方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式X按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法’設(shè)其乘數(shù)為K叫J小，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)6=VtPV+2Kt（CX-W），sX將①對(duì)X求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得36dV二=2VtP—+2KtC=2VtPB+2KtC=0，3x3xss轉(zhuǎn)置得BtPV+CtK=0，s上式與誤差方程和限制條件方程聯(lián)立得附有參數(shù)的條件平差的基礎(chǔ)方程：BtPV+CtK二0sV=BX-ln,1n,tt,1n,1CX-W二0x方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，方程有唯一解。三、基礎(chǔ)方程的解將基礎(chǔ)方程的第二式代入第一式與第三式聯(lián)立，得NX+CtK-W二0，bbsCX-W二0—附有限制條件的間接平差法的法方程X將法方程第一式左乘CN-1與第二式相減，得bbCN-iCtK—Qn-iW-WL0bbsbbX令N二CN-iCtccbb則有NK—Qn-iW-WL0ccsbbX

式中N的秩R(N)-R(CN-1Ct)-R(C)-S,且Nt=Qn-1Ct)=CN-C，故N為sccccbbccbbbbcc階滿秩對(duì)稱方陣。K=N-1Qn-iW—W)SccbbX將上式代入法方程第一式，可解得X=w-1—N-iCtN-1CN-1W+N-iCtN-iW,bbbbccbbbbccX代入誤差方程可解出改正數(shù)V,從而可解出:四、精度評(píng)定一）、單位權(quán)方差估值計(jì)算VTPVVTPV02=0rn—u+sVTPV的計(jì)算:1.V1.VtPV=PV2+PV2+1122+PV2（權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)）nn2.VtPV=(Bxc-1》PV二XtBtPV-ItPV=—XtCtK—ItP(BX—l)G及BtPV=—CtK)SS=ITPl—XtCtK—ItPBXS=ItPI—WtK—WtXXS二）、協(xié)因數(shù)陣與互協(xié)因數(shù)陣3、在線性方程組解算表中計(jì)算令：Zt=VtWtKtXtVtLt)二）、協(xié)因數(shù)陣與互協(xié)因數(shù)陣S列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式,利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中,講解。（三）、參數(shù)的精度評(píng)定設(shè)所求量（如未知點(diǎn)高程或縱橫坐標(biāo)）為參數(shù)Xi,i=l,2,…,t,則cy2=cy2QX0XXiii四）、參數(shù)函數(shù)的精度計(jì)算設(shè)參數(shù)函數(shù)為：（x）=o/\/X/X(X,X，…x)12t線性化得權(quán)函數(shù)式為：d(p=dt-dXi=fdX+fdX+???+fdX1122tt由協(xié)因數(shù)傳播律得：dX+-51dX2dXd?+…+^-2dXt=FTdXQrFTQXFD=02Qp0<Po=cy(Po小結(jié)：掌握此種平差方法的應(yīng)用范圍，平差的方法步驟。一、點(diǎn)位誤差的概念及計(jì)算dXt第九章誤差橢圓§9.1概述；§9.2點(diǎn)位誤差1、點(diǎn)位真誤差如圖可得：A2=A2+A2,PxyA2=A2+A2,PSu無(wú)法求得（為什么?）2、點(diǎn)位方差及其計(jì)算由方差的定義式可得：Lx_E(x)LeLx-~)2LeL~—x)2]=Ey~y)2=eL~—y)2Eo2=E(xo2=E(y－y(A2)xA2)

y故有E(A2)=E(A2)+E(A2)=Q2+q2Pxyxy同理有：E(A2)=E(A2)+E(A2)=02+02PsuSu記02=E(A2)，則有：pP02=02+02=02+02――點(diǎn)位方差計(jì)算式Pxysu上式說(shuō)明點(diǎn)位方差02的大小與坐標(biāo)軸的方向無(wú)關(guān),即與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)P用點(diǎn)位方差衡量P點(diǎn)精度的缺陷：不能完善說(shuō)明P點(diǎn)在任一各方向上的精度情況，不能確定P點(diǎn)在哪一個(gè)方向上的精度最好(最差)。二、二、由圖可得下列關(guān)系式:Ap=TP=PP*+PP=cos申Ax+sin^Ay=cos=cospsinp_AxAy由協(xié)方差傳播律得:0p2=02cos2p+02sin2p+02sin2ppxyxy02p=00Qp=02Qcos2p+Qsin2p+Qsin

0xyxy上式即為求任意方位角少方向上點(diǎn)位方差的計(jì)算公式。

三、位差的極值方向、極大值和極小值的確定由位差計(jì)算式可以看出，Qp隨著少值的變化而改變，其具有最大值和最小值。函數(shù)有極值，其一階導(dǎo)數(shù)等于零，設(shè)位差的極值方向?yàn)樯辏髮?dǎo)得出02Qxy—Q-Qxy將?0代入位差計(jì)算式得:o2=o2(Qcos2?+Qsin2?+Qsin2?)2tg?o—1+tg2?0TOC\o"1-5"\h\z?02tg?o—1+tg2?0=o2(Qcos2?+Qsin2?+Q0x0y0xy極值方向的判別方法:Q〉0,極大值在第I、III象限，極小值方向在第II、W象限；QV0,xyxy極大值在第II、W象限，極小值方向在第I、III象限位差極大值、極小值的計(jì)算：用?表示極大值方向、?=?+900表示極小值方向；用E、F分別表示位差的極大值和極小值。EFe則有E2=o2(Qcos2?+Qsin2?+Qsin2?)TOC\o"1-5"\h\z0xEyExyE>F2=o2(Qcos2?+Qsin2?+Qsin2?)0xFyFxyF把?代入位差計(jì)算式整理得0E2=1o2{q+Q)+K120xyIF2=1o2{Q+Q)-K}20xy‘其中K=^Q-Q)+4Q2xyxyo2與E2、F2有下面關(guān)系:Po2=E2+F2

P四、用E、F表示的任意方向屮上的位差

由圖可知,任意方向在兩個(gè)坐標(biāo)系中的方位角有如下關(guān)系:把申=屮+9代入位差計(jì)算式整理得:EQ2=E2由圖可知,任意方向在兩個(gè)坐標(biāo)系中的方位角有如下關(guān)系:把申=屮+9代入位差計(jì)算式整理得:EQ2=E2cos2屮+F2sin2屮例1如圖，在固定三角形內(nèi)插入一點(diǎn)P,經(jīng)過(guò)平差后求得P點(diǎn)坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣為:(Q(3.81xxy[Q.Q丿yxy單位權(quán)方差估值為&2=1.96(2)。0+0.36、1+0.362.93丿試求(1)位差的極值方向9￡和?f，⑵位差的極大值E與極小值F,(3)已算出PM的方位角aPM=75。29'，PM方向上的點(diǎn)位誤差為多少,(4)P點(diǎn)的點(diǎn)位方差。例2如圖,已知AT=345。18'AB為確定P點(diǎn)的位置,作如下觀測(cè)0-8935'42〃土4〃.O,S=600.150m土10mm試確定P點(diǎn)位差的極大值及其方向。例3在例2中,平差后算得PA的方位角和邊長(zhǎng)^=248。15'30''訂；1827沁試求PA邊的方位誤差n受邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差。aAP按解算公式和相應(yīng)方法解算，講解。小結(jié)：點(diǎn)位方差°2的大小與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，位差可描述P點(diǎn)