專題03備戰(zhàn)2022-2023學(xué)年福建高一（下）學(xué)期期末數(shù)學(xué)仿真卷（三）（解析版）

福建高中數(shù)學(xué)資源千人QQ群323031380專注福建各地優(yōu)秀資源期待你的加入與分享成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期備戰(zhàn)2022-2023學(xué)年福建高一（下）學(xué)期期末數(shù)學(xué)仿真卷（三）一、單選題(共40分1．(本題5分)（2022春·福建福州·高一?？计谀┮阎?，為直線，為平面，若，，則與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交或異面 C．異面 D．平行或異面【答案】D【分析】利用線面平行的定義及直線的位置關(guān)系即得.【詳解】因?yàn)椋灾本€與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，又，所以與沒(méi)有公共點(diǎn)，即與的位置關(guān)系是平行或異面.故選：D.2．(本題5分)（2022春·福建福州·高一?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則()A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】先由題給條件求得復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)模的定義去求【詳解】復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則故選：C.3．(本題5分)（2022春·福建福州·高一?？计谀┮阎?，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（

）．A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】根據(jù)定義由待定系數(shù)法判斷每組向量是否共線，判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t和共線，A選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，則，無(wú)解，故和不共線，B選項(xiàng)能作為基底；同理可知和不共線，和也不共線，CD選項(xiàng)均能作為基底．故選：A．4．(本題5分)（2022春·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）某工廠有，兩套生產(chǎn)線，每周需要維護(hù)的概率分別為0.2和0.25，且每周，兩套生產(chǎn)線是否需要進(jìn)行維護(hù)是相互獨(dú)立的，則至多有一套生產(chǎn)線需要維護(hù)的概率為（

）A．0.95 B．0.6 C．0.35 D．0.15【答案】A【分析】由相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式可得結(jié)果.【詳解】由題可得至多有一套生產(chǎn)線需要維護(hù)的概率.故選：A.5．(本題5分)（2022春·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示.估計(jì)棉花纖維的長(zhǎng)度的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是（）A．28mm B．28.5mmC．29mm D．29.5mm【答案】C【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，利用80%分位數(shù)的意義計(jì)算作答.【詳解】棉花纖維的長(zhǎng)度在25mm以下的比例為，在30mm以下的比例為，因此，80%分位數(shù)一定位于內(nèi)，因，所以估計(jì)棉花纖維的長(zhǎng)度的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是29mm.故選：C.6．(本題5分)（2022春·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）若直線與平面所成的角為，直線在平面內(nèi)，則直線與直線所成的角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線面角的定義可知直線與直線所成的角的最小值，根據(jù)異面直線所成的角的定義知最大角為直角，從而可得答案【詳解】解：由題意可知直線與直線所成的角的最小值為直線與平面所成的角，所以直線與直線所成的角的最小值為，因?yàn)橹本€與直線所成的角的最大值為，所以直線與直線所成的角的取值范圍是，故選：C.7．(本題5分)（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀└咭荒昙?jí)某同學(xué)參加了學(xué)?！皵?shù)學(xué)社”“物理社”“話劇社”三個(gè)社團(tuán)的選拔，該同學(xué)能否成功進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)是相互獨(dú)立的．假設(shè)該同學(xué)能夠進(jìn)入“數(shù)學(xué)社”“物理社”“話劇社”三個(gè)社團(tuán)的概率分別為，，，該同學(xué)進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為，且三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，列出關(guān)于，的方程組，求解即可．【詳解】解：由題意可知，該同學(xué)可以進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為，則①，又三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為，所以②，由①②可得，．故選：A．8．(本題5分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）平面內(nèi)不同的三點(diǎn)O，A，B滿足，若，的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，如圖根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)題中的等式，利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性可得，結(jié)合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根據(jù)即可求解.【詳解】解：由題意得：如圖所示：設(shè)，則點(diǎn)在線段OB上運(yùn)動(dòng)故設(shè)，即作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)，即在中，，，由余弦定理可得：，解得：故選：C.二、多選題(共20分9．(本題5分)（2022春·福建·高一福建師大附中?？计谀┧拿瑢W(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的有（

）A．中位數(shù)為3，眾數(shù)為3 B．平均數(shù)為3，眾數(shù)為4C．平均數(shù)為3，中位數(shù)為3 D．平均數(shù)為2，方差為2.4【答案】BD【分析】選項(xiàng)BD，利用反證法說(shuō)明一定不含6，選項(xiàng)AC中依次舉例說(shuō)明可以含有6即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，所以A不可以判斷；對(duì)于B，若平均數(shù)為3，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為6，則其余4個(gè)數(shù)的和為9，而眾數(shù)為4，故其余4個(gè)數(shù)的和至少為10，所以B可以判斷；對(duì)于C，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，3，4，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為3，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以C不能判斷；對(duì)于D，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則方差，所以當(dāng)平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)，一定不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6.故選：BD.10．(本題5分)（2022春·福建·高一福建師大附中?？计谀┻^(guò)所在平面外一點(diǎn)P，作，垂足為，.以下推斷正確的是（

）A．若，，則點(diǎn)是的垂心B．若，則點(diǎn)是的外心C．若，，則點(diǎn)是的內(nèi)心D．過(guò)點(diǎn)分別作邊的垂線，垂足分別為，若，則點(diǎn)是的重心【答案】ABC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意得出，點(diǎn)是的垂心；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，點(diǎn)是的外心；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意得出是的平分線，是的平分線，點(diǎn)是的內(nèi)心；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，進(jìn)而結(jié)合C選項(xiàng)的討論得點(diǎn)是的內(nèi)心．【詳解】對(duì)于A，∵底面，底面，∴，又，，平面，平面∴平面，平面，∵平面，平面，∴；，∴點(diǎn)是的垂心，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，若，則，∴，點(diǎn)是的外心，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)分別作邊的垂線，垂足分別為，若，則，，∵底面，底面，∴，∴，∴，∴，即是的平分線，同理時(shí)，是的平分線，∴點(diǎn)是的內(nèi)心，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)分別作邊的垂線，垂足分別為，若，則，結(jié)合C選項(xiàng)的討論可知，點(diǎn)是的內(nèi)心，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC．11．(本題5分)（2022春·福建·高一福建師大附中?？计谀┠掣咧杏袑W(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為170，方差為17；女生身高樣本均值為160，方差為30.下列說(shuō)法中正確的是（

）A．男生樣本容量為30B．每個(gè)女生被抽入到樣本的概率均為C．所有樣本的均值為166D．所有樣本的方差為46.2【答案】ACD【分析】分層抽樣等比例性質(zhì)求男女生樣本容量，再由古典概型的概率求每個(gè)女生被抽入到樣本的概率判斷A、B；利用均值、方差公式，結(jié)合男、女的樣本的均值和方差求樣本總體均值方差判斷C、D.【詳解】A：由人，正確；B：由人，故每個(gè)女生被抽入到樣本的概率為，錯(cuò)誤；C：所有樣本的均值為，正確；D：男生方差，女生方差，所有樣本的方差，正確.故選：ACD.12．(本題5分)（2022春·福建福州·高一?？计谀┮阎橇阆蛄?，的夾角為，現(xiàn)定義一種新運(yùn)算：．若，，，則（

）A．在上的投影向量的模為 B．，C． D．【答案】BC【分析】利用向量的運(yùn)算的新定義及向量數(shù)量積的概念，逐項(xiàng)分析即得.【詳解】因?yàn)?，，?duì)于A，在上的投影向量的模為，，又，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榈闹禐榉秦?fù)數(shù)，的值可能為負(fù)數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：BC.三、填空題(共20分13．(本題5分)（2022春·福建福州·高一福州三中?？计谀┤?，則___________.【答案】/【分析】利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，即，所以；故答案為?14．(本題5分)（2022春·福建福州·高一福州三中校考期末）若，，，則與的夾角大小為_(kāi)__________.【答案】/【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，又，設(shè)與的夾角為，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.15．(本題5分)（2022春·福建福州·高一福州三中校考期末）某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個(gè)不同的位置投中的概率分別，，，該同學(xué)站在這三個(gè)不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值為_(kāi)_______.【答案】【分析】由概率的乘法公式求三次均不中的概率后列方程求解【詳解】該同學(xué)在三個(gè)不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為：，解得．故答案為：.16．(本題5分)（2022春·福建福州·高一校考期末）如圖，過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的半徑為，則球的體積是__________．【答案】【分析】設(shè)球的半徑為，依題意即可求出，再根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得或（舍去），∴球的體積．故答案為：.四、解答題(共70分17．(本題10分)（2022春·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）已知是兩個(gè)單位向量，，且.(1)求的夾角；(2)若D為線段BC上一點(diǎn)，DC=2BD，求證：AD⊥AB.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用表示出，再結(jié)合即可求出答案.（2）利用表示出，則可計(jì)算出.則可說(shuō)明AD⊥AB.【詳解】(1)因?yàn)?所以.則解得：所以的夾角(2);.所以AD⊥AB.18．(本題12分)（2022春·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在三棱錐中，，均為等邊三角形.(1)求證：；(2)若，.求三棱錐的體積.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）首先取的中點(diǎn)，要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為先證明平面；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，均為等邊三角形，所以，，且，所以平面，所以?）因?yàn)?，所以，所以是等邊三角形，由?）可知平面，所以三棱錐的體積.所以三棱錐的體積.19．(本題12分)（2022春·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）羽毛球比賽規(guī)則：①21分制，每球取勝加1分，由勝球方發(fā)球；②當(dāng)雙方比分為之后，領(lǐng)先對(duì)方2分的一方贏得該局比賽；當(dāng)雙方比分為時(shí)，先取得30分的一方贏得該局比賽.經(jīng)過(guò)鏖戰(zhàn)，甲乙比分為，甲在關(guān)鍵時(shí)刻贏了一球，比分變?yōu)?在最后關(guān)頭，按以往戰(zhàn)績(jī)統(tǒng)計(jì)，甲發(fā)球時(shí)，甲贏球的概率為0.4，乙發(fā)球時(shí)，甲贏球的概率為0.5，每球勝負(fù)相互獨(dú)立.(1)甲乙雙方比分為之后，求再打完兩球該局比賽結(jié)束的概率；(2)甲乙雙方比分為之后，求甲贏得該局比賽的概率.【答案】(1)0.46；(2)0.4【分析】（1）分兩個(gè)球均由甲得分和這兩個(gè)球均由乙得分兩種情況求解即可；（2）分甲先得1分，乙得1分，甲再得1分；乙先得1分，甲得1分，甲再得1分兩種情況求解即可【詳解】(1)設(shè)事件A=“甲乙雙方比分為28：28之后，兩人又打了兩個(gè)球該局比賽結(jié)束”則這兩個(gè)球均由甲得分的概率為：；或者這兩個(gè)球均由乙得分的概率為：；因此，(2)設(shè)事件B=“甲乙雙方比分為28：28之后，甲贏得該局比賽”，則分三種情況：甲連得2分的概率為：=0.4×0.4=0.16；甲先得1分，乙得1分，甲再得1分的概率為：=0.4×（1-0.4）×0.5=0.12；乙先得1分，甲得1分，甲再得1分的概率為：=（1-0.4）×0.5×0.4=0.12.因此P（B）=++=0.4.20．(本題12分)（2022春·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┰凇鰽BC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）方法一：根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而．又由（1）可得，所以．[方法三]：幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：構(gòu)造直角三角形法

如圖，作，垂足為E，作，垂足為點(diǎn)G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，從而．在中，．所以．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特點(diǎn)，作出輔助線，利用幾何方法簡(jiǎn)單計(jì)算即得答案，運(yùn)算尤其簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進(jìn)而求解；方法二：適當(dāng)作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得的正弦值，進(jìn)而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進(jìn)而求解，也是很優(yōu)美的方法.21．(本題12分)（2022春·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）防洪是修建水壩的重要目的之一.現(xiàn)查閱一條河流在某個(gè)水文站50年的年最大洪峰流量（單位：100m3·s-1）的記錄，統(tǒng)計(jì)得到如下部分頻率分布直方圖：記年最大洪峰流量大于某個(gè)數(shù)的概率為p，則年最大洪峰流量不大于這個(gè)數(shù)的概率為1-p.定義重現(xiàn)期（單位：年）為概率的倒數(shù).規(guī)定：當(dāng)p<50%時(shí)，用p報(bào)告洪水，即洪水的重現(xiàn)期；當(dāng)p>50%時(shí)，用1-p報(bào)告枯水，即枯水的重現(xiàn)期.如，則報(bào)告洪水，重現(xiàn)期T=100（年），通俗的說(shuō)法就是“百年一遇".(1)補(bǔ)齊頻率分布直方圖（用陰影表示），并估計(jì)該河流年最大洪峰流量的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)現(xiàn)擬在該水文站修建水壩，要求其能抵擋五十年一遇的洪水.用頻率估計(jì)概率，求它能承受的最大洪峰流量（單位：100m3·s-1）的最小值的估計(jì)值.【答案】(1)頻率分布直方圖見(jiàn)解析，；(2)【分析】（1）設(shè)的頻率為，根據(jù)頻率分布直方圖中所有的小矩形的面積之和為得到方程，即可求出，從而求出組的縱軸，即可得到頻率分布直方圖；（2）依題意根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（1）解：設(shè)的頻率為，則，解得，所以組的縱軸為，所以頻率分布直方圖如下所示：所以該河流年最大洪峰流量的平均值；（2）解：依題意可得，即，設(shè)最大洪峰流量估計(jì)值為，，解得，所以它能承受的最大洪峰流量（單位：100m3·s-1）的最小值的估計(jì)值為；22．(本題12分)（2022春·福建莆田·高一莆田一中校考期末）如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)將沿折到的位置，連結(jié)，，如圖2.（1）若點(diǎn)在線段上，且，證明：；（2）記平面與平面的交