2011-2020年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 專題29 圓錐曲線的綜合問(wèn)題（含解析）

專題29圓錐曲線的綜合問(wèn)題十年大數(shù)據(jù)*全景展示年份題號(hào)考點(diǎn)考查內(nèi)容2015卷1文5橢圓、拋物線橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)理20拋物線直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線存在問(wèn)題的解法卷2理20直線與橢圓直線和橢圓的位置關(guān)系，橢圓的存在型問(wèn)題的解法文20直線與橢圓橢圓方程求法，直線和橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定值問(wèn)題的解法2016卷1文5直線與橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系卷2理20直線與橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系2017卷1理20直線與橢圓橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定點(diǎn)問(wèn)題卷2文理20直線與橢圓軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定點(diǎn)問(wèn)題2018卷2理12直線與橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系文11橢圓橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，橢圓離心率的計(jì)算卷3文理20直線與橢圓直線與橢圓的位置關(guān)系文理20直線與橢圓直線與橢圓的位置關(guān)系2019卷2理8文9橢圓與拋物線拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)卷3理21直線與圓，直線與拋物線直線與圓位置關(guān)系，直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，拋物線的定點(diǎn)問(wèn)題文21直線與圓，直線與拋物線直線與圓位置關(guān)系，直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，拋物線的定點(diǎn)問(wèn)題2020卷1理20文21橢圓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，橢圓定點(diǎn)問(wèn)題卷2理19橢圓、拋物線橢圓、拋物線方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線的定義文19橢圓、拋物線橢圓、拋物線方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線的定義卷3文6圓錐曲線圓錐曲線的軌跡問(wèn)題大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測(cè)高考考點(diǎn)出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測(cè)考點(diǎn)98曲線與方程37次考1次命題角度：(1)定點(diǎn)、定值問(wèn)題；(2)最值、范圍問(wèn)題；(3)證明、探究性問(wèn)題．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象考點(diǎn)99定點(diǎn)與定值問(wèn)題37次考6次考點(diǎn)100最值與范圍問(wèn)題37次考5次考點(diǎn)101探索型與存在性問(wèn)題37次考3次十年試題分類*探求規(guī)律考點(diǎn)98曲線與方程1．(2020山東)已知曲線．()A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若，則可化為，∵，∴，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；[來(lái)源：Z+xx+k．Com]對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對(duì)于D，若，則可化為，，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確．2．(2020天津)設(shè)雙曲線的方程為，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為，∴直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，∴，，∵，解得，故選D．3．【2019北京理】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一(如圖)．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①B．②C．①②D．①②③【答案】C【解析】由得，，，∴可取的整數(shù)有0，?1，1，從而曲線恰好經(jīng)過(guò)(0，1)，(0，?1)，(1，0)，(1，1)，(?1，0)，(?1，1)，共6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)論①正確．由得，，解得，∴曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)．結(jié)論②正確．如圖所示，易知，四邊形的面積，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，說(shuō)法③錯(cuò)誤．故選C．4．(2020全國(guó)Ⅱ文19)已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，的中心與的頂點(diǎn)重合．過(guò)且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，且．(1)求的離心率；(2)若的四個(gè)頂點(diǎn)到的準(zhǔn)線距離之和為12，求與的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】(1)解：∵橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴拋物線的方程為，其中．不妨設(shè)在第一象限，∵橢圓的方程為：，∴當(dāng)時(shí)，有，因此的縱坐標(biāo)分別為，．又∵拋物線的方程為，∴當(dāng)時(shí)，有，∴的縱坐標(biāo)分別為，，故，．由得，即，解得(舍去)，，∴的離心率為．(2)由(1)知，，故，∴的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，的準(zhǔn)線為．由已知得，即，∴的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．5．(2020全國(guó)Ⅱ理19)已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，的中心與的頂點(diǎn)重合．過(guò)且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，且．(1)求的離心率；(2)設(shè)是與的公共點(diǎn)，若，求與的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】(1)，軸且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；(2)由(1)知，，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或(舍去)，由拋物線的定義可得，解得．因此曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．(2018江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，橢圓SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，焦點(diǎn)SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的直徑為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0及圓SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)SKIPIF1<0．①若直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；②直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)．若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．【解析】(1)因?yàn)闄E圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，可設(shè)橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．又點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0因此，橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．因?yàn)閳ASKIPIF1<0的直徑為SKIPIF1<0，所以其方程為SKIPIF1<0．(2)①設(shè)直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．(*)因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因此，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．②因?yàn)槿切蜸KIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，由(*)得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0舍去)，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．綜上，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．7．(2017新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，過(guò)SKIPIF1<0做SKIPIF1<0軸的垂線，垂足為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0QUOTENP=2NM．(1)求點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0QUOTEOP?PQ=1．證明：過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0．【解析】(1)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，因此點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0．(2)由題意知SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又由(1)知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0存在唯一直線垂直與SKIPIF1<0，所以過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0．8．(2016全國(guó)Ⅲ文理)已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)．(I)若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；(II)若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】(Ⅰ)由題設(shè)SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．記過(guò)SKIPIF1<0兩點(diǎn)的直線為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．(Ⅰ)由于SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．(Ⅱ)設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由題設(shè)可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(舍去)，SKIPIF1<0．設(shè)滿足條件的SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直時(shí)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合．所以所求軌跡方程為SKIPIF1<0．9．(2015江蘇理)如圖，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且右焦點(diǎn)SKIPIF1<0到左準(zhǔn)線SKIPIF1<0的距離為3．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)SKIPIF1<0的直線與橢圓交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，線段SKIPIF1<0的垂直平分線分別交直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．【解析】(1)由題意，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．(2)當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0軸時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，不合題意．當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0的方程代入橢圓方程，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的垂直平分線為SKIPIF1<0軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意．從而SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．此時(shí)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．10．(2014廣東理)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程．【解析】(Ⅰ)可知，又，，，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(Ⅱ)設(shè)兩切線為，①當(dāng)軸或軸時(shí)，對(duì)應(yīng)軸或軸，可知②當(dāng)與軸不垂直且不平行時(shí)，，設(shè)的斜率為，則，的斜率為，的方程為，聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得，，，所以是方程的一個(gè)根，同理是方程的另一個(gè)根，，得，其中，所以點(diǎn)P的軌跡方程為()，因?yàn)闈M足上式，綜上知：點(diǎn)P的軌跡方程為．11．(2014遼寧理)圓SKIPIF1<0的切線與SKIPIF1<0軸正半軸，SKIPIF1<0軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為SKIPIF1<0(如圖)，雙曲線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且離心率為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)橢圓SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0有相同的焦點(diǎn)，直線SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)且與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若以線段SKIPIF1<0為直徑的圓心過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程．【解析】(Ⅰ)設(shè)圓的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)上下兩段分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由射影定理得SKIPIF1<0，三角形的面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大，此時(shí)SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在雙曲線上∴SKIPIF1<0，∴雙曲線的方程為SKIPIF1<0(Ⅱ)由(Ⅰ)知SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，由此設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，顯然，SKIPIF1<0不是直線SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0②由①②得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．12．(2013四川理)已知橢圓C：SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．(Ⅰ)求橢圓C的離心率(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是MN上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求點(diǎn)Q的軌跡方程．【解析】(Ⅰ)由橢圓定義知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又由已知，c＝1，所以橢圓C的離心率SKIPIF1<0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，橢圓C的方程為SKIPIF1<0＋y2＝1．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)．(ⅰ)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0，1)，(0，－1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．(ⅱ)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2．因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(SKIPIF1<0，kSKIPIF1<0＋2)，(SKIPIF1<0，kSKIPIF1<0＋2)，則|AM|2＝(1＋k2)SKIPIF1<0，|AN|2＝(1＋k2)SKIPIF1<0．又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．①將y＝kx＋2代入SKIPIF1<0＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0．②由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞SKIPIF1<0．由②可知，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，代入①中并化簡(jiǎn)，得SKIPIF1<0．③因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y＝kx＋2上，所以SKIPIF1<0，代入③中并化簡(jiǎn)，得10(y－2)2－3x2＝18．由③及k2＞SKIPIF1<0，可知0＜x2＜SKIPIF1<0，即x∈SKIPIF1<0∪SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0滿足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈SKIPIF1<0．由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以－1≤y≤1．又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈SKIPIF1<0且－1≤y≤1，則y∈SKIPIF1<0．所以，點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈SKIPIF1<0，y∈SKIPIF1<0．13．(2011天津理)在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)．已知△SKIPIF1<0為等腰三角形．(Ⅰ)求橢圓的離心率SKIPIF1<0；(Ⅱ)設(shè)直線SKIPIF1<0與橢圓相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程．【解析】(Ⅰ)解：設(shè)SKIPIF1<0，由題意，可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0(舍)，或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知SKIPIF1<0可得橢圓方程為SKIPIF1<0直線PF2方程為SKIPIF1<0A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組SKIPIF1<0消去y并整理，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0得方程組的解SKIPIF1<0不妨設(shè)SKIPIF1<0設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0將SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因此，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程是SKIPIF1<0考點(diǎn)99定點(diǎn)與定值問(wèn)題14．【2020全國(guó)Ⅰ文21理20】已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與的另一交點(diǎn)為與的另一交點(diǎn)為．(1)求的方程；(2)證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【解析】(1)依據(jù)題意作出如下圖像：由橢圓方程可得：，，，，，，，橢圓方程為：．(2)證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或，將代入直線可得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為：，整理可得：，整理得：，故直線過(guò)定點(diǎn)．15．【2020山東】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求的方程；(2)點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【解析】(1)根據(jù)題意，把點(diǎn)代入橢圓得到①，設(shè)，又，∴，代入①式，求得，∴橢圓的方程為．(2)解法一：由題意知的直線方程為，設(shè)直線與橢圓相切于點(diǎn)，，聯(lián)立方程組得，，得，由題意可知時(shí)，面積最大，直線與直線距離，，∴．解法二：設(shè)，解法三：設(shè)點(diǎn)．∵AM⊥AN，∴．整理可得：①設(shè)MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立直線與橢圓方程可得：，韋達(dá)定理可得：，，，代入①式有：，化簡(jiǎn)可得：，即，據(jù)此可得：或，∴直線MN的方程為或，即或，∴直線過(guò)定點(diǎn)或．又∵和A點(diǎn)重合，∴舍去，則直線過(guò)定點(diǎn)．由于AE為定值，且△AED為直角三角形，AE為斜邊，∴AE中點(diǎn)Q滿足為定值(AE長(zhǎng)度的一半)．由于，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得．16．【2019全國(guó)Ⅲ理】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：(2)若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積．【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)3或．【解析】(1)設(shè)，則．由于，∴切線DA的斜率為，故．整理得設(shè)，同理可得．故直線AB的方程為．∴直線AB過(guò)定點(diǎn)．(2)由(1)得直線AB的方程為．由，可得．于是，．設(shè)分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則．因此，四邊形ADBE的面積．設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則．由于，而，與向量平行，∴．解得t=0或．當(dāng)=0時(shí)，S=3；當(dāng)時(shí)，．因此，四邊形ADBE的面積為3或．17．【2019北京理】已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，?1)．(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．【解析】(1)由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得．∴拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為．(2)拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，由得．設(shè)，則．直線的方程為．令，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)，則，．令，即，則或．綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的定點(diǎn)和．18．【2019全國(guó)Ⅲ文】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；(2)若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程．【解析】(1)設(shè)，則．由于，∴切線DA的斜率為，故．整理得設(shè)，同理可得．故直線AB的方程為．∴直線AB過(guò)定點(diǎn)．(2)由(1)得直線AB的方程為．由，可得．于是．設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則．由于，而，與向量平行，∴．解得t=0或．當(dāng)=0時(shí)，=2，所求圓的方程為；當(dāng)時(shí)，，所求圓的方程為．【名師點(diǎn)睛】此題第一問(wèn)是圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題和第二問(wèn)是求圓的方程，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計(jì)算量不?。?9．【2019北京文】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【解析】(1)由題意得，b2=1，c=1，∴a2=b2+c2=2，∴橢圓C的方程為．(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則直線AP的方程為．令y=0，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．又，從而．同理，．由得．則，．∴．又，∴．解得t=0，∴直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0，0)．20．【2018北京文20】(本小題14分)已知橢圓：的離心率為，焦距為，斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的焦點(diǎn)(=1\*ROMANI)求橢圓的方程；(=2\*ROMANII)若，求的最大值；(=3\*ROMANIII)設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若和點(diǎn)共線，求．【解析】(Ⅰ)由題意得，∴，又，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(Ⅱ)設(shè)直線的方程為，由消去可得，則，即，設(shè)，，則，，則，易得當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．(Ⅲ)設(shè)，，，，則①，②，又，∴可設(shè)，直線的方程為，由消去可得，則，即，又，代入①式可得，∴，∴，同理可得．故，，∵三點(diǎn)共線，∴，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得，即．21．【2018北京理19】(本小題14分)已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且直線交于軸與，直線交軸與．(I)求直線的斜率的取值范圍．(II)設(shè)為原點(diǎn)，，求證：為定值．【解析】解：(Ⅰ)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得，拋物線的方程為．由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為．由，得．依題意，解得或．又與軸相交，故直線不過(guò)點(diǎn)．從而．∴直線斜率的取值范圍是．(Ⅱ)設(shè)．由(I)知．直線的方程為．令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．由得．，為定值．22．(2017新課標(biāo)Ⅰ理)已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．(1)求的方程；(2)設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：過(guò)定點(diǎn)．【解析】(1)由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．又由知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴點(diǎn)在C上．因此，解得．故C的方程為．(2)設(shè)直線與直線的斜率分別為，，如果與軸垂直，設(shè)：，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為(t，)，(t，)．則，得，不符合題設(shè)．從而可設(shè)：()．將代入得由題設(shè)可知．設(shè)，，則，．而．由題設(shè)，故．即．解得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，欲使：，即，∴過(guò)定點(diǎn)(2，)．23．(2017新課標(biāo)Ⅱ文理)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓：上，過(guò)做軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足QUOTENP=2NM．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，且QUOTEOP?PQ=1．證明：過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)的左焦點(diǎn)．【解析】(1)設(shè)，，則，，．由得，．∵在上，∴．因此點(diǎn)的軌跡方程為．(2)由題意知．設(shè)，，則，，，，，由得，又由(1)知，故．∴，即．又過(guò)點(diǎn)存在唯一直線垂直與，∴過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)的左焦點(diǎn)．24．(2017北京文)已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)在軸上，離心率為．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，過(guò)作的垂線交于點(diǎn)．求證：與的面積之比為4：5．【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為．由題意得解得．∴．∴橢圓的方程為．(Ⅱ)設(shè)，且，則．直線的斜率，由，則，故直線的斜率．∴直線的方程為．直線的方程為．聯(lián)立，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)．由點(diǎn)在橢圓上，得．∴．又，，∴與的面積之比為．25．(2016年全國(guó)I理)設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)．(I)證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；(=2\*ROMANII)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．【解析】(Ⅰ)∵，，故，∴，故．又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，∴．由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：()．(Ⅱ)當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，．由得．則，．∴．過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線：，到的距離為，∴．故四邊形的面積．可得當(dāng)與軸不垂直時(shí)，四邊形面積的取值范圍為．當(dāng)與軸垂直時(shí)，其方程為，，，四邊形的面積為12．綜上，四邊形面積的取值范圍為．26．(2016年北京文)已知橢圓：過(guò)，兩點(diǎn)．(Ⅰ)求橢圓的方程及離心率；(Ⅱ)設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值．【解析】(I)由題意得，，．∴橢圓的方程為．又，∴離心率．(II)設(shè)(，)，則．又，，∴直線的方程為．令，得，從而．直線的方程為．令，得，從而，∴四邊形的面積．從而四邊形的面積為定值．27．(2016年北京理)已知橢圓：的離心率為，，，，的面積為1．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求證：為定值．【解析】(Ⅰ)由題意得解得．∴橢圓的方程為．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，直線的方程為．令，得．從而．直線的方程為．令，得．從而．∴．當(dāng)時(shí)，，∴．綜上，為定值．28．(2016年山東文)已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為22．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線QM交C于點(diǎn)B．(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值；(ii)求直線AB的斜率的最小值．【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，∴，∴橢圓C的方程為．(Ⅱ)(i)設(shè)，由M(0，)，可得∴直線PM的斜率，直線QM的斜率．此時(shí)，∴為定值．(ii)設(shè)，直線PA的方程為，直線QB的方程為．聯(lián)立，整理得．由可得，∴，同理．∴，，∴由，可知k>0，∴，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，此時(shí)，即，符號(hào)題意，∴直線AB的斜率的最小值為．29．(2015新課標(biāo)2文)已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在上．(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值．【解析】(Ⅰ)由題意有，，解得．∴的方程為．(Ⅱ)設(shè)直線：，，，將代入得．故，．于是直線的斜率，即．∴直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值．30．(2015新課標(biāo)2理)已知橢圓C：()，直線不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．(Ⅰ)證明：直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值；(Ⅱ)若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊行？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由．【解析】(Ⅰ)設(shè)直線，，，．將代入得，故，．于是直線的斜率，即．∴直線的斜率與的斜率的乘積為定值．(Ⅱ)四邊形能為平行四邊形．∵直線過(guò)點(diǎn)，∴不過(guò)原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，．由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由得，即．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即．于是．解得，．∵，，，∴當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形．31．(2015陜西文)如圖，橢圓：(>>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)(均異于點(diǎn))，證明：直線與的斜率之和為2．【解析】(Ⅰ)由題設(shè)知，結(jié)合，解得．∴橢圓的方程式為．(Ⅱ)由題設(shè)知，直線的方程式為，代入，得．由已知>0．設(shè)，，，則．從而直線的斜率之和==．32．(2014江西文理)如圖，已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的右焦點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0的兩條漸近線上，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn))．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)過(guò)SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，證明：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上移動(dòng)時(shí)，SKIPIF1<0恒為定值，并求此定值．【解析】(1)設(shè)SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，直線OB方程為SKIPIF1<0，直線BF的方程為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又直線OA的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0又∵ABSKIPIF1<0OB，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故雙曲線C的方程為SKIPIF1<0(2)由(1)知SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵直線AF的方程為SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0與AF的交點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵是C上一點(diǎn)，則SKIPIF1<0，代入上式得SKIPIF1<0，所求定值為SKIPIF1<0．33．(2013山東文理)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為l．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接．設(shè)的角平分線交的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求的取值范圍；(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值．【解析】：(Ⅰ)由于，將代入橢圓方程得由題意知，即，又，∴，，∴橢圓方程為．(Ⅱ)由題意可知：=，=，設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得：，∵，∴，而，∴(Ⅲ)由題意可知，l為橢圓的在點(diǎn)處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程為：，∴，而，代入中得為定值．34．(2012湖南理)在直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，曲線SKIPIF1<0的點(diǎn)均在SKIPIF1<0：SKIPIF1<0外，且對(duì)SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離等于該點(diǎn)與圓SKIPIF1<0上點(diǎn)的距離的最小值．(Ⅰ)求曲線SKIPIF1<0的方程；(Ⅱ)設(shè)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)為圓SKIPIF1<0外一點(diǎn)，過(guò)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，分別與曲線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)A，B和C，D．證明：當(dāng)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．【解析】(Ⅰ)解法1：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè)．于是，所以．化簡(jiǎn)得曲線的方程為．解法2：由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為．(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過(guò)P且與圓相切的直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為．于是整理得①設(shè)過(guò)P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故②由得③設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為，則SKIPIF1<0是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以④同理可得⑤于是由②，④，⑤三式得SKIPIF1<0．所以當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值6400．考點(diǎn)100最值與范圍問(wèn)題34．【2020年江蘇18】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．(1)求的周長(zhǎng)；(2)在軸上任取一點(diǎn)，直線與橢圓的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，求的最小值；(3)設(shè)點(diǎn)在橢圓上，記與的面積分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)的周長(zhǎng)．(2)由橢圓方程得，設(shè)點(diǎn)，則直線方程為，令得，即，，，即的最小值為．(3)設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，若，則，即，由(1)可得直線方程為，即，∴，．由題意得，點(diǎn)應(yīng)為與直線平行且距離為的直線與橢圓的交點(diǎn)，設(shè)平行于的直線為，與直線的距離為，∴，即或．當(dāng)時(shí)，直線為，即，聯(lián)立可得，即或，∴或．當(dāng)時(shí)，直線為，即，聯(lián)立可得，，∴無(wú)解．綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．36．【2020浙江21】如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M(B，M不同于A)．(Ⅰ)若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(Ⅱ)若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．【解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，的方程為，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；(Ⅱ)設(shè)由由M在拋物線上，∴由即∴，，，∴的最大值為，此時(shí)．37．【2019全國(guó)Ⅱ理】已知點(diǎn)A(?2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?．記M的軌跡為曲線C．(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G．(i)證明：是直角三角形；(ii)求面積的最大值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【解析】(1)由題設(shè)得，化簡(jiǎn)得，∴C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)．(2)(i)設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為．由得．記，則．于是直線的斜率為，方程為．由得．①設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得．從而直線的斜率為．∴，即是直角三角形．(ii)由(i)得，，∴△PQG的面積．設(shè)t=k+，則由k>0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．∵在[2，+∞)單調(diào)遞減，∴當(dāng)t=2，即k=1時(shí)，S取得最大值，最大值為．因此，△PQG面積的最大值為．38．【2019浙江】如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記的面積分別為．(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．【解析】(1)由題意得，即p=2．∴，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1．(2)設(shè)，重心．令，則．由于直線AB過(guò)F，故直線AB方程為，代入，得，故，即，∴．又由于及重心G在x軸上，故，得．∴，直線AC方程為，得．由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故．從而．令，則m>0，．當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)G(2，0)．39．(2018浙江21)如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)(不含軸)一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)滿足的中點(diǎn)均在上．(I)設(shè)中點(diǎn)為，證明：垂直于軸；(II)若是半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的取值范圍．【解析】解析一【標(biāo)準(zhǔn)答案】：(I)設(shè)，，．∵的中點(diǎn)在拋物線上，∴為方程，即的兩個(gè)不同的實(shí)根．∴，因此，軸．(II)由(I)可知，∴，因此的面積．∵，∴，因此，的面積的取值范圍是．解法二：(I)設(shè)，中點(diǎn)．的中點(diǎn)為．中點(diǎn)為．由題知，．由三角形知識(shí)可知，三點(diǎn)共線．當(dāng)時(shí)，，同理．，垂直于軸．當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)都在軸上，∴垂直于軸．綜上可知，垂直于軸．40．(2017浙江文理)如圖，已知拋物線SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，拋物線上的點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0．(Ⅰ)求直線SKIPIF1<0斜率的取值范圍；(Ⅱ)求SKIPIF1<0的最大值．【解析】(Ⅰ)設(shè)直線AP的斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以直線AP斜率的取值范圍是SKIPIF1<0．(Ⅱ)聯(lián)立直線AP與BQ的方程SKIPIF1<0解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，因此當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0．41．(2017山東文)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的離心率為，橢圓截直線所得線段的長(zhǎng)度為．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)動(dòng)直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．點(diǎn)是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的半徑為．設(shè)為的中點(diǎn)，，與分別相切于點(diǎn)，，求的最小值．【解析】(Ⅰ)由橢圓的離心率為，得，又當(dāng)時(shí)，，得，∴，，因此橢圓方程為．(Ⅱ)設(shè)，聯(lián)立方程，得，由得(*)且，因此，∴，又，∴，整理得：，∵，∴，令，，故，∴．令，∴．當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，因此，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，∴，由(*)得且，故，設(shè)，則，∴得最小值為．從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率時(shí)．綜上所述：當(dāng)，時(shí)，取得最小值為．42．(2017山東理)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為．求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率．【解析】(I)由題意知，，∴，因此橢圓的方程為．(Ⅱ)設(shè)，聯(lián)立方程得，由題意知，且，∴．由題意可知圓的半徑為，由題設(shè)知，∴，因此直線的方程為．聯(lián)立方程得，因此．由題意可知，而，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，∴，因此，∴最大值為．綜上所述：的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為．43．(2016全國(guó)II理)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，．(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的面積；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【解析】(I)設(shè)SKIPIF1<0，則由題意知SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，A點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0．因此直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．(Ⅱ)由題意知SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0并整理得，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由題意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)上式成立，因此SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．44．(2016天津理)設(shè)橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為橢圓的離心率．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓交于點(diǎn)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0軸上)，垂直于SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的斜率的取值范圍．【解析】(Ⅰ)設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0．(Ⅱ)解：設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，由方程組SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．由(Ⅰ)知，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因此直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，由方程組SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以，直線SKIPIF1<0的斜率的取值范圍為SKIPIF1<0．45．(2016浙江文)如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于SKIPIF1<0．(I)求p的值；(II)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，過(guò)B與x軸平行的直線和過(guò)F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，AN與x軸交于點(diǎn)M．求M的橫坐標(biāo)的取值范圍．【解析】(Ⅰ)由題意得拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線SKIPIF1<0的距離．由拋物線的第一得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．(Ⅱ)由(Ⅰ)得拋物線的方程為SKIPIF1<0，可設(shè)SKIPIF1<0．因?yàn)锳F不垂直于y軸，可設(shè)直線AF：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又直線AB的斜率為SKIPIF1<0，故直線FN的斜率為SKIPIF1<0，從而的直線FN：SKIPIF1<0，直線BN：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)M(SKIPIF1<0，0)，由A，M，N三點(diǎn)共線得：SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0滿足題意．綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是SKIPIF1<0．45．(2015重慶文)如圖，橢圓(>>0)的左、右焦點(diǎn)分別為，，且過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且．(Ⅰ)若|，|，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)若|，且，試確定橢圓離心率的取值范圍．【解析】(Ⅰ)由橢圓的定義，，故．設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，因此，即，從而．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(Ⅱ)如題(21)圖，由，得．由橢圓的定義，，，進(jìn)而．于是．解得，故．由勾股定理得，從而，兩邊除以，得，若記，則上式變成．由，并注意到關(guān)于的單調(diào)性，得，即，進(jìn)而，即．46．(2014新課標(biāo)1文理)已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程．【解析】(Ⅱ)．47．(2014浙江文理)如圖，設(shè)橢圓動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限．(Ⅰ)已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；(Ⅱ)若過(guò)原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為．【解析】(Ⅰ)設(shè)直線的方程為，由，消去得，，由于直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；(Ⅱ)由于直線過(guò)原點(diǎn)，且與垂直，故直線的方程為，∴點(diǎn)到直線的距離，整理得，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴點(diǎn)到直線的距離的最大值為．48．(2015山東理)平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是、．以QUOTEF1為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓QUOTEC上．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)橢圓：，為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)．(i)求QUOTE|OQ||OP|的值；(ii)求△面積的最大值．【解析】(Ⅰ)由題意知，則，又，，可得，∴橢圓的方程為．(Ⅱ)由(=1\*ROMANI)知橢圓的方程為．(=1\*romani)設(shè)，由題意知，∵，又，即，∴，即．(=2\*romanii)設(shè)，將代入橢圓的方程，可得，由，可得，則有，∴．∵直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴的面積令，將代入橢圓的方程，可得，由，可得，由①②可知，因此，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得最大值，由(i)知，面積為，∴面積的最大值為．49．(2014山東文理)已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于另一點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸的正半軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為3時(shí)，SKIPIF1<0為正三角形．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的方程；(Ⅱ)若直線SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)SKIPIF1<0，(ⅰ)證明直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(ⅱ)SKIPIF1<0的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(Ⅰ)由題意知SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，由拋物線的定義可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)由