信號分析與處理-楊西俠版-第5章習(xí)題答案

PAGE1用沖擊響應(yīng)不變法求相應(yīng)的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z) 1）Ha(s)=2）Ha(s)= 解：由Ha(s)分解成部分分式之和 1）Ha(s)===–∴H(z)=–=2）Ha(s)==+∴H(z)=+=5-2設(shè)ha(t)表示一個模擬濾波器的單位沖擊響應(yīng) ,t≥0 ha(t)= 0,t＜0（1）用沖擊響應(yīng)不變法，將此模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，確定系統(tǒng)函數(shù)H(z)（以T作為參數(shù)）（2）證明，T為任何值時，數(shù)字濾波器是穩(wěn)定的，并說明數(shù)字濾波器近似為低通濾波器，還是高通濾波器 解：（1）∵h(yuǎn)a(t)=u(t) ∴Ha(s)= ∴H(z)= (2)∵H(z)= 則其極點為z= ∵T>0∴|z|<1H()==可以看出當(dāng)ω↑時，|H()|↓∴是低通濾波5-3圖5-40是由RC組成的模擬濾波器，寫出其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，并選用一種合適的轉(zhuǎn)換方法，將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)xaxa(t)CRya(t)ya(t)==–∴==Ha(s)由于脈沖響應(yīng)不變法只適宜于實現(xiàn)帶通濾波器，所以最好用雙線性變換法實現(xiàn)H(z)∴H(z)===5-4設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為Ha(s)=，式中Ωc是模擬濾波器的3dB帶寬，利用雙線性變換，設(shè)計一個具有0.2π的3dB帶寬的單極點低通數(shù)字濾波器 解：由預(yù)畸可知==∴Ha(s)=由雙線性變換法可得H(z)===5-5要求通過模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器，給定指標(biāo)：3dB截至角頻率ωc=π/2，通帶內(nèi)ωp=0.4π處起伏不超過1dB，阻帶內(nèi)ωs=0.8π處衰減不小于20dB，用Butterworth濾波特性實現(xiàn) （1）用沖擊響應(yīng)不變法 （2）用雙線性變換法 解：（1）用沖擊響應(yīng)不變法先將數(shù)字指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通原型模擬濾波器指標(biāo)====②設(shè)計模擬濾波器，求出Ha(s)Butterworth的頻響函數(shù)為=∴======∴n==2.14∴取n=3求==∴ωc=rad/s==0.372π∴=設(shè)T=1,則=0.372π求Ha(s)查表可得∴Ha(s)=由沖擊響應(yīng)不變法先將Ha(s)分解成部分分式Ha(s)=++ =則H(z)=++ = （2）用雙線性變換法①由預(yù)畸求模擬濾波器原型指標(biāo)==== ②設(shè)計模擬濾波器，求出Ha(s) Butterworth的頻響函數(shù)為 =∴==== ∴n==1.51 取n=2 ③求 == 取T=1 ∴=rad/s==2.862 ④求Ha(s) 查表可得： = Ha(s)== = ⑤由雙線性變換法求 H(z)==5-6已知圖5-41h1(n)是偶對稱序列N=8，h2(n)是h1(n)圓周位移后的序列。設(shè)H1(k)=DFT[h1(n)],H2(k)=DFT[h2(n)] (1)問|H1(k)|=|H2(k)|是否成立？θ1(k)與θ2(k)有什么關(guān)系？ (2)h1(n)，h2(n)各構(gòu)成低通濾波器，試問它們是線性相位的？延時是多少？ (3)這兩個濾波器的性能是否相同？為什么？若不同誰優(yōu)誰劣？ 解：(1)由DFT的時移定理 DFT[xp(n-m)RN(n)]=可知 H1(k)和H2(k)只有相位差，幅值相等，即有 |H1(k)|=|H2(k)|θ1(k)和θ2(k)相差即θ2(k)–θ1(k)===(2)∵無論h1(n)，h2(n)都是偶對稱序列 ∴所以他們構(gòu)成的低通濾波器具有線性相位延時α===3.5(3)不相同，相位相差kπh1(n)要優(yōu)于h2(n)，因為其相位滯后時間少5-7用矩形容器設(shè)計一個近似理想頻率響應(yīng)的FIR線性相位的數(shù)字濾波器 Hd()=0 ，(1)求出相應(yīng)于理想低通的單位脈沖響應(yīng)hd(n) (2)求出矩形窗設(shè)計法的h(n)表達(dá)式確定τ與N之間的關(guān)系(3)N取奇數(shù)或偶數(shù)對濾波特性有什么影響？ 解：(1)hd(n)= == (2)h(n)=hd(n)RN(n),h(n)只能取偶對稱序列，由線性相位 τ= (3)由于N無論取奇數(shù)還是偶數(shù)，都可實現(xiàn)低通濾波，而且只要N的取值使h(n)為關(guān)于的偶對稱函數(shù)，就能保證線性相關(guān)，另外N的大小，只影響余振的多少和過濾帶的窄寬，不會影響阻帶良域。5-8用矩形容器設(shè)計一個線性相位高通FIR數(shù)字濾波器 Hd()=0 ， (1)求出響應(yīng)于理想高通的單位脈沖響應(yīng)hd(n) (2)求出矩形窗口設(shè)計法的h(n)表達(dá)式，確定τ與N之間的關(guān)系 (3)N的取值有什么限制？為什么？ 解：(1)hd(n)= =+ =+ ====–=–∴hd(n)仍然是偶函數(shù) (2)h(n)=hd(n)RN(n) ∴h(n)為偶對稱序列，要保持濾波器具有線性相位，則須有τ= (3)這是一個高通濾波器，由于h(n)為偶對稱，而當(dāng)N取偶數(shù)時，所得到的濾波器不能實現(xiàn)高通特性 ∴N只能取奇數(shù)5-9考慮一個長度為M=15的線性相位FIR濾波器，設(shè)濾波器具有對稱單位樣值響應(yīng)，并且它的幅度響應(yīng)滿足條件 1，k=0,1,2,3 H()=0，k=4,5,6,7確定該濾波器的系數(shù)h(n) 解：由于H(k)= ∴h(n)=IDFT[H(k)]= ∴h(0)==1 h(1)== h(2)== h(3)== h(4)=0h(5)=0h(6)=0h(7)=0 由頻率特性可知，這是一個低通濾波器 ∴要取h(n)關(guān)于α===7這一點偶對稱時，可實現(xiàn)低通濾波（奇對稱時，無法實現(xiàn)低通濾波）∴取h(8)=h(6) h(9)=h(5) h(10)=h(4) h(11)=h(3) h(12)=h(2) h