對換改變排列的奇偶性

對換改變排列的奇偶性第二章行列式§2排列第1頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列定義1：由自然數(shù)1,2,······,

n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為例如：123455123453214都是數(shù)1,2,3,4,5的一個(gè)排列?？紤]：n個(gè)數(shù)的不同排列有n!個(gè)。自然排列：按數(shù)的大小次序，由小到大排列。考慮：n元排列中，自然排列只有一種除此之外，任一n元排列都一定出現(xiàn)較大數(shù)碼排在較小一個(gè)n級排列。第2頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列定義2：在一個(gè)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的一個(gè)排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù),奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。數(shù)前面，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序。第3頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法：n個(gè)數(shù)的任一n元排列，先看數(shù)1，看有多少個(gè)比1大的數(shù)再看有多少個(gè)比2大的數(shù)排在2前面，記為繼續(xù)下去，最后至數(shù)n，前面比n大的數(shù)顯然沒有，記為則此排列的逆序數(shù)為排在1前面，記為第4頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列例1：求排列32514的逆序數(shù)。解：例2：求排列453162的逆序數(shù)。課堂練習(xí)：（1）1，3，···，2n－1，2，4，···，2n（2）1，3，···，2n－1，2n，2n－2，···，4，2第5頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列考慮，在1，2，3的全排列中有3個(gè)偶排列：有3個(gè)奇排列：123，231，312132，213，321一般說來，在n個(gè)數(shù)碼的全排列中，奇偶排列各占一半定義3：把一個(gè)排列中的任意兩個(gè)數(shù)交換位置，其余數(shù)碼將相鄰的兩個(gè)數(shù)對換，稱為相鄰對換。不動(dòng)，叫做對該排列作一次對換，簡稱對換。第6頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列證明1)特殊情形：作相鄰對換對換與除外，其它元素所成逆序不改變.對換改變排列的奇偶性．即經(jīng)過一次對換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列．定理1設(shè)排列為第7頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列當(dāng)時(shí)，所成逆序不變;經(jīng)對換后的逆序增加1個(gè),經(jīng)對換后所成逆序不變，的逆序減少1個(gè).因此對換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為當(dāng)時(shí)，現(xiàn)來對換與2)一般情形第8頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換，排列改變奇偶性.第9頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列所有級排列中，奇、偶排列各半，均為個(gè).設(shè)在全部

階排列中，有個(gè)奇排列，個(gè)偶排列，下證．將

個(gè)奇排列的前兩個(gè)數(shù)對換，則這

個(gè)奇排列全變成偶排列，并且它們彼此不同，同理，將

個(gè)偶排列的前兩個(gè)數(shù)對換，則這

個(gè)偶排列全變成奇排列，并且它們彼此不同，推論證明故第10頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列一系列對換互換，并且所作對換的次數(shù)與這個(gè)任意一個(gè)排列與標(biāo)準(zhǔn)排列都可經(jīng)過排列的奇偶性相同．定理2證明：對排列的級數(shù)n作歸納，證明前一結(jié)論成立。1級排列只有1個(gè)，結(jié)論自然成立。假設(shè)結(jié)論對n-1級排列成立，現(xiàn)證n級排列情形：第11頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章行列式§2排列，則此對換將變成設(shè)是一n級排列，若,由歸納,則n-1級排列可經(jīng)一系列對換變成排列本定理的后一結(jié)論顯然成立(自然排列為偶排列).若，先對作的對換，它就變成，則歸結(jié)成前一情形，因此總成立.第12頁，課件共1