第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用第七章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.通過(guò)物理中功等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.3.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積,會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角.4.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題,體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.兩個(gè)向量的夾角

2.向量數(shù)量積的定義一般地,當(dāng)a與b都是

非零

向量時(shí),稱

|a||b|·cos<a,b>

為向量a與b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積),記作a·b,即

a·b=|a||b|cos<a,b>

.

3.向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)|a·b|≤|a||b|;微思考

兩個(gè)向量的數(shù)量積大于0(或小于0),則夾角一定為銳角(或鈍角)嗎?提示

不一定.當(dāng)兩個(gè)向量的夾角為0(或π)時(shí),數(shù)量積也大于0(或小于0).4.向量的投影(1)向量在直線上的投影(2)向量在向量上的投影給定平面上的一個(gè)

非零

向量b,設(shè)b所在的直線為l,則a在

直線l

上的投影稱為a在向量b上的投影.

(3)投影的數(shù)量一般地,如果a,b都是非零向量,則稱

|a|cos<a,b>

為向量a在向量b上的投影的數(shù)量.

5.向量數(shù)量積的幾何意義由a·b=|a||b|cos<a,b>=(|a|cos<a,b>)|b|可知,向量數(shù)量積的幾何意義為:兩個(gè)非零向量a,b的數(shù)量積a·b,等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積.6.向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律a·b=b·a數(shù)乘結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c7.向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=

x1x2+y1y2

.

(2)平面向量長(zhǎng)度(模)的坐標(biāo)表示(3)平面向量夾角的坐標(biāo)表示設(shè)a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),則(4)兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0.微思考由a·b=0一定可以得出a=0或b=0嗎?提示

不能推出a=0或b=0,因?yàn)楫?dāng)a·b=0時(shí),還有可能a⊥b.8.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

交換律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c數(shù)乘結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ為實(shí)數(shù))微點(diǎn)撥

向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.常用結(jié)論1.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=-|a||b|.3.a與b的夾角θ為銳角,則有a·b>0,反之不成立(θ為0時(shí)不成立);a與b的夾角為鈍角,則有a·b<0,反之不成立(θ為π時(shí)不成立).自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)××√√題組二

雙基自測(cè)答案

A6.

已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,則a與b的夾角θ=

.

答案

120°解析

由已知得4|a|2-4a·b-3|b|2=61,因此4×42-4×4×3cos

θ-3×32=61,解得cos

θ=-,所以a與b的夾角θ=120°.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例題(1)(2023·福建廈門高三期中)著名數(shù)學(xué)定理“勾股定理”的一個(gè)特例是“勾3股4弦5”,我國(guó)的西周時(shí)期數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題,比歐洲的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早500多年.如圖,在矩形ABCD中,△ABC滿足“勾3股4弦5”,設(shè)BC=4,E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn),且滿足答案

(1)A

(2)D

(3)11(2)(方法1)依題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,規(guī)律方法

求平面向量數(shù)量積的三種方法

答案

D考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))考向1求向量的模題組(1)(2023·遼寧大連高三月考)若向量a,b滿足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,則|b|=

.

(3)(2023·浙江寧波高三月考)平面向量a,b,c滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,且(c-2a)·(c-b)=0,則|c|的最小值是

.

規(guī)律方法

求平面向量的模的兩種方法

考向2求向量的夾角題組(1)(2023·山東淄博高三月考)已知單位向量a,b,c滿足a+b=c,則向量a和b的夾角為(

)(2)(2023·廣東珠海高三期中)已知非零向量a=(x,3x),b=(-2x,1),若a與b的夾角為鈍角,則x的取值范圍是(

)答案

(1)A

(2)D引申探究(變條件)在本題組(2)中,其他條件不變,若向量a與b的夾角為銳角時(shí),則x的取值范圍是

.

規(guī)律方法

求平面向量夾角的兩種方法

考向3向量的垂直問(wèn)題題組(1)(2023·浙江湖州高三月考)若平面向量a,b的夾角為60°,且|a|=2|b|,則(

)A.a⊥(b+a) B.b⊥(b-a)C.b⊥(b+a) D.a⊥(b-a)(2)(2021·全國(guó)甲,理14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,則k=

.

解析

(1)a·(b+a)=a·b+a2=5|b|2≠0,故A不正確;因?yàn)閎·(b-a)=b2-b·a=b2-b2=0,所以b⊥(b-a),故B正確;b·(b+a)=b2+a·b=2|b|2≠0,故C不正確;a·(b-a)=a·b-a2=-3|b|2≠0,故D不正確.(2)∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得規(guī)律方法

已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系,求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件,列出相應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而求解參數(shù).考向4向量的投影及其應(yīng)用例題(2023·遼寧錦州高三月考)已知單位向量a,b滿足|a-b|=1,則a在b上的投影為(

)答案

A規(guī)律方法

求向量的投影的方法答案

B考點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用例題(2023·北京西城高三月考)已知在平面四邊形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=1,BC=,∠ABC=15