概率論與數(shù)理統(tǒng)計4153-數(shù)學(xué)期望課件

有兩批燈泡，它們的壽命分別為（小時）：3000、3998、3002、3997、3003和5000、4998、5002、4997、5003請問哪批燈泡的質(zhì)量好？有兩批燈泡，它們的壽命分別為（小時）：5000、4998、5002、4997、5003和5000、4000、6000、3000、7000請問哪批燈泡的質(zhì)量好？平均壽命燈泡實際壽命與相對于平均壽命的偏差.有兩批燈泡，它們的壽命分別為（小時）：3000、第4章隨機變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學(xué)期望4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.2方差第4章隨機變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學(xué)期望4.3協(xié)24.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望二、

引例

某企業(yè)對自動流水線加工的產(chǎn)品實行質(zhì)量監(jiān)測，每天抽檢一次，每次抽取5件，檢驗產(chǎn)品是否合格，在抽檢的30天記錄中，無次品的有18天，一件次品的有9天，兩件次品的有3天，求日平均次品數(shù)．次品數(shù)

012345總計天數(shù)頻率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001引例某企業(yè)對自動流水線加工的產(chǎn)品實行質(zhì)量監(jiān)測，每天日平均次品數(shù)次品數(shù)

012345總計天數(shù)頻率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001可能出現(xiàn)的次品數(shù)與其相對應(yīng)頻率乘積的和日平均次品數(shù)次品數(shù)01日平均次品數(shù)頻率隨機波動隨機波動隨機波動穩(wěn)定值“日平均次品數(shù)”的穩(wěn)定值“日平均次品數(shù)”等于次品數(shù)的可能值與其概率之積的和由概率的統(tǒng)計定義知：當試驗次數(shù)很大時,頻率會穩(wěn)定于概率Pi日平均次品數(shù)頻率隨機波動隨機波動隨機波動穩(wěn)定值6一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均,它是一個數(shù),不再是隨機變量。一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均7例如何確定投資決策方向?

某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某項目，預(yù)估成功的機會為30%，可得利潤8萬元，失敗的機會為70%，將損失2萬元．若存入銀行，同期間的利率為5%，問是否作此項投資?解設(shè)X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇投資.例如何確定投資決策方向?某人有10萬元現(xiàn)8分布期望概率分布參數(shù)為p

的0-1分布pB(n,p)npP()計算過程見課本幾個重要的離散型分布的數(shù)學(xué)期望G（p）P{X=k}=pqk-1,k=1,2,…

分布期望概率分布參數(shù)為p的pB(n,p)npP()計9幾個重要的離散型分布的數(shù)學(xué)期望1.幾個重要的離散型分布的數(shù)學(xué)期望1.10概率論與數(shù)理統(tǒng)計4153-數(shù)學(xué)期望課件112.因為所以Poisson分布的參數(shù)就是它的數(shù)學(xué)期望2.因為所以Poisson分布的參數(shù)就是它的數(shù)學(xué)期望12二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義的引出設(shè)X是連續(xù)型隨機變量,其密度為

f(x),在數(shù)軸上任取很密的分點x1<

x2<

x3<…,則X落在小區(qū)間[xk,xk+xk)內(nèi)的概率是f(x)x二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義的引出設(shè)X是連續(xù)型隨機13因此X≈

取值

xk、概率為的離散型隨機變量,

x1

x2

…

xk

…Xpkf(x1)x1

f(x2)x2

…

f(xk)

xk

…X的數(shù)學(xué)期望是這啟發(fā)我們引出如下連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義：因此X≈取值xk、概率為14概率論與數(shù)理統(tǒng)計4153-數(shù)學(xué)期望課件15解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).練習(xí)

顧客平均等待多長時間?

設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間

X(以分計)服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時間?解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).練習(xí)顧客平均等16分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E()N(,2)幾個重要的連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的E()N(,2)幾17例例18幾個重要的連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望1.因為所以均勻分布的期望為區(qū)間中點幾個重要的連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望1.因為所以均勻分布的期望為區(qū)19因為所以2.因為所以2.203.因為所以3.因為所以21因為所以Cauchy分布的數(shù)學(xué)期望不存在Cauchy分布注意：不是所有的隨機變量都有數(shù)學(xué)期望。因為所以Cauchy分布的數(shù)學(xué)期望不存在Cauchy分布注意22例設(shè)某一機器加工某種產(chǎn)品的次品率為0.1,檢驗員每天檢驗4次,每次隨機地抽取5件產(chǎn)品檢驗,如果發(fā)現(xiàn)多于一件次品,就要調(diào)整機器,求一天中調(diào)整機器的平均次數(shù).解:某次檢驗需要調(diào)整機器的概率為一天中調(diào)整機器的平均次數(shù)例設(shè)某一機器加工某種產(chǎn)品的次品率為0.1,檢驗員每天檢驗423是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X

的分布求得E[g(X)]呢？

設(shè)已知隨機變量X的分布

一種方法是:g(X)也是隨機變量,它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦知道了g(X)的分布,就可以按照期望定義把E[g(X)]計算出來.下面的定理指出答案是肯定的.如何計算X

的某個函數(shù)g(X)

的期望？

三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E

定理

設(shè)X是一個隨機變量,Y=g(X)（g為連續(xù)函數(shù)）定理設(shè)X是一個隨機變量,Y=g(X)（g為連續(xù)函25解:例6設(shè)隨機變量X的分布律為解:例6設(shè)隨機變量X的分布律為26例

設(shè)隨機變量X~U[0,π],求解由題意得例設(shè)隨機變量X~U[0,π],求解由題意得27推廣

設(shè)隨機變量Z是隨機變量X,Y

的連續(xù)函數(shù)Ｚ=g(X,Y)，則聯(lián)合分布律

聯(lián)合密度函數(shù)推廣設(shè)隨機變量Z是隨機變量X,Y的連續(xù)函數(shù)Ｚ=g(X,例

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為例設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為29解2023/8/616:1830解2023/7/3010:3030

例：設(shè)隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：

x=1例：設(shè)隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：x=11.設(shè)C是常數(shù),則有2.設(shè)X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,則有3.設(shè)X,Y是兩個隨機變量,則有1.設(shè)C是常數(shù),則有2.設(shè)X是一個隨機變量32證明：下面定理僅對連續(xù)型隨機變量給予證明四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證明：下面定理僅對連續(xù)型隨機變量給予證明四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計4153-數(shù)學(xué)期望課件34

注：性質(zhì)4的逆命題不成立，即如果隨機變量X、Y

的數(shù)學(xué)期望都存在，則由EXY=EX

EY，不能推出隨機變量X、Y

相互獨立。

∴EXY=0=EXEY

所以，隨機變量X與Y

不相互獨立。例設(shè)隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為則

EXY

=1(1)0.1+110.1EX=10.4=0.4，EY=(1)0.4+10.4=0但

P(X=0,Y=0)=0=P(X=0)P(Y=0)0.60.2=0注：性質(zhì)4的逆命題不成立，即如果隨機變量X、Y的數(shù)學(xué)期35例

求二項分布X~B(n,p)

的數(shù)學(xué)期望則

X=X1+X2+…+Xn=np若設(shè)i=1,2，…，n因為

P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1-p所以

E(X)=解由于X表示n重伯努利試驗中某事件Ａ“發(fā)生”次數(shù).

E(Xi)==pi=1,2，…，n例求二項分布X~B(n,p)的數(shù)學(xué)期望則36解例解例37概率論與數(shù)理統(tǒng)計4153-數(shù)學(xué)期望課件38例

將4個不同色的球隨機放入4個盒子中,每盒容納球數(shù)無限制,求空盒