高中數(shù)學(xué)人教B版四學(xué)案：3.3 三角函數(shù)的積化和差與和差化積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。3三角函數(shù)的積化和差與和差化積［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1。了解利用兩角和與差的正弦、余弦公式導(dǎo)出積化和差、和差化積兩組公式的過程.2.理解在推導(dǎo)積化和差、和差化積公式中方程思想、換元思想所起的作用．［知識鏈接］兩角和與差的正弦、余弦公式是推導(dǎo)積化和差與和差化積公式的基礎(chǔ)：sin（α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；sin（α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β;cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；cos（α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β。［預(yù)習(xí)導(dǎo)引]積化和差公式與和差化積公式（不要求記憶）積化和差公式sinαcosβ＝eq\f(1，2）［sin（α＋β)＋sin(α－β)］cosαsinβ＝eq\f（1，2）［sin（α＋β）－sin（α－β)]cosαcosβ＝eq\f（1，2）［cos（α＋β）＋cos（α－β)]sinαsinβ＝－eq\f（1,2)［cos（α＋β）－cos(α－β)]和差化積公式sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2）coseq\f（θ－φ,2)sinθ－sinφ＝2coseq\f(θ＋φ，2）sineq\f（θ－φ,2）cosθ＋cosφ＝2coseq\f（θ＋φ，2）coseq\f（θ－φ，2）cosθ－cosφ＝－2sineq\f（θ＋φ，2)sineq\f（θ－φ，2)要點(diǎn)一利用積化和差與和差化積公式化簡求值例1求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°.解sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝eq\f（1,2）(sin90°－sin50°）－eq\f(1，2）（cos60°－cos40°)＝eq\f（1,4）－eq\f（1,2)sin50°＋eq\f（1，2）cos40°＝eq\f（1,4）－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)sin50°＝eq\f(1,4)。規(guī)律方法套用和差化積公式的關(guān)鍵是記準(zhǔn)、記牢公式，為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式,有時(shí)需要把常數(shù)首先化為某個(gè)角的三角函數(shù)，然后再化積，有時(shí)函數(shù)不同名，要先化為同名再化積，化積的結(jié)果能求值則盡量求出值來．跟蹤演練1求值：cos10°cos30°cos50°cos70°.解原式＝eq\f(\r(3)，2)·eq\f（1,2）（cos60°＋cos40°)cos70°＝eq\f（\r（3）,8）cos70°＋eq\f(\r（3)，4)cos40°cos70°＝eq\f（\r(3),8）cos70°＋eq\f(\r(3),4）·eq\f(1，2)(cos110°＋cos30°）＝eq\f(\r(3），8)cos70°＋eq\f(\r（3）,8）cos110°＋eq\f（\r(3),8）·cos30°＝eq\f(\r(3)，8)·eq\f(\r（3）,2)＝eq\f(3,16）。要點(diǎn)二積化和差與和差化積公式的應(yīng)用例2已知A＋B＋C＝π，求證：sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f(A，2)sineq\f（B,2)coseq\f（C,2).證明∵左邊＝sin(B＋C)＋2sineq\f(B－C，2)coseq\f(B＋C,2)＝2sineq\f（B＋C，2)coseq\f（B＋C,2)＋2sineq\f(B－C，2)coseq\f（B＋C，2)＝2coseq\f(B＋C,2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（B＋C,2)＋sin\f(B－C，2）))＝2coseq\f(π－A，2）·2sineq\f（B,2）coseq\f(C，2）＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C，2)＝右邊．∴原式成立．規(guī)律方法在運(yùn)用積化和差求值時(shí)，盡量出現(xiàn)特殊角，同時(shí)注意互余角、互補(bǔ)角的三角函數(shù)間的關(guān)系．跟蹤演練2求證：taneq\f(3x，2)－taneq\f(x，2）＝eq\f(2sinx,cosx＋cos2x）。證明方法一∵taneq\f（3x,2)－taneq\f（x,2)＝eq\f(sin\f(3x，2）,cos\f（3x,2）)－eq\f(sin\f（x，2)，cos\f（x,2)）＝eq\f(sin\f（3x,2）cos\f(x,2)－cos\f(3x,2）sin\f（x，2），cos\f（3x，2)cos\f(x,2）)＝eq\f（sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3x，2)－\f（x，2)）),cos\f（3x,2)cos\f(x，2））＝eq\f(sinx,cos\f（3x,2）cos\f(x，2））＝eq\f(2sinx，cos\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3x,2）＋\f（x,2))）＋cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3x，2)－\f(x，2）)))＝eq\f（2sinx,cosx＋cos2x）。∴原式成立．方法二∵eq\f(2sinx，cosx＋cos2x）＝eq\f(2sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3x,2）－\f（x，2）)),cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3x,2)－\f(x，2））)＋cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3x，2）＋\f（x,2)))）＝eq\f（2\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f（3x,2）cos\f（x，2）－cos\f（3x,2)sin\f(x,2))），2cos\f（3x，2）cos\f(x,2）)＝eq\f(sin\f(3x,2)，cos\f（3x,2))－eq\f(sin\f（x，2),cos\f(x,2））＝taneq\f(3x,2)－taneq\f（x，2).∴原式成立．要點(diǎn)三三角恒等變換的實(shí)際應(yīng)用例3點(diǎn)P在直徑AB＝1的半圓上移動，過P作圓的切線PT且PT＝1，∠PAB＝α，問α為何值時(shí)，四邊形ABTP面積最大？解如圖所示,∵AB為直徑，∴∠APB＝eq\f(π，2）,又AB＝1,∴PA＝cosα，PB＝sinα。又PT切圓于P點(diǎn)，∠TPB＝∠PAB＝α，∴S四邊形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝eq\f（1,2)PA·PB＋eq\f（1，2）PT·PB·sinα＝eq\f(1,2）sinαcosα＋eq\f（1，2）sin2α＝eq\f(1，4)sin2α＋eq\f（1，4)（1－cos2α）＝eq\f（1，4)(sin2α－cos2α)＋eq\f（1，4)＝eq\f（\r(2），4）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2α－\f（π,4)))＋eq\f(1，4)。∵0〈α<eq\f(π，2），∴－eq\f（π,4)<2α－eq\f（π,4）<eq\f（3,4)π，∴當(dāng)2α－eq\f(π，4）＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(3,8)π時(shí)，S四邊形ABTP最大．規(guī)律方法解答此類問題，關(guān)鍵是合理引入輔助角α，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識求解，在求解過程中，要注意角的范圍．跟蹤演練3某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面,若扇形的半徑長為1m,求割出的長方形桌面的最大面積（如圖）．解連接OC,設(shè)∠COB＝θ，則0°<θ〈45°,OC＝1.∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝（cosθ－sinθ）·sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－eq\f（1,2）（1－cos2θ）＋eq\f(1,2）sin2θ＝eq\f(1,2)(sin2θ＋cos2θ）－eq\f（1，2）＝eq\f（\r(2)，2）cos(2θ－45°)－eq\f(1，2）.當(dāng)2θ－45°＝0°,即θ＝22。5°時(shí)，Smax＝eq\f（\r(2）－1,2)（m2）．∴割出的長方形桌面的最大面積為eq\f(\r(2）－1，2）m2。1．下列等式錯(cuò)誤的是()A．sin(A＋B)＋sin（A－B)＝2sinAcosBB．sin（A＋B）－sin(A－B)＝2cosAsinBC．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosBD．cos（A＋B）－cos（A－B）＝2sinAcosB答案D解析由兩角和與差的正弦、余弦公式展開左邊可知A、B、C正確．2．sin15°cos165°的值是()A.eq\f（1，4）B.eq\f（1，2）C．－eq\f（1，4)D．－eq\f（1，2）答案C解析sin15°cos165°＝sin15°cos(180°－15°)＝－sin15°cos15°＝－eq\f（1，2）sin30°＝－eq\f（1,4)，故選C。3．sin105°＋sin15°等于（）A.eq\f(\r(3),2)B。eq\f（\r(2),2)C.eq\f（\r(6),2)D。eq\f(\r（6），4）答案C解析sin105°＋sin15°＝2sineq\f(105°＋15°，2）coseq\f（105°－15°,2)＝2sin60°cos45°＝eq\f（\r(6)，2）。4．在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范圍．解由題意得cosAsinC＝eq\f(1,2）［sin（A＋C）－sin（A－C）］＝eq\f(1，2)[sin（π－B)－sin（A－C）］＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin（A－C）．∵－1≤sin(A－C）≤1,∴－eq\f（1,4)≤eq\f(1,4）－eq\f(1，2）sin（A－C)≤eq\f(3，4)，∴cosAsinC的取值范圍是eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（