高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（一）學(xué)案新人教A版選修11

3．2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(一)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù)．2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象提高數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第56頁[基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)]知識(shí)點(diǎn)一幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P81－83，思考并完成以下問題)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線的斜率，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度．那么，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是什么？(1)f(x)＝c；(2)f(x)＝x；(3)f(x)＝x2；(4)f(x)＝eq\f(1,x)；(5)f(x)＝eq\r(x).提示：由導(dǎo)數(shù)的定義得(1)f′(x)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(c－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))0＝0；(2)f′(x)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx－x,Δx)＝1；(3)f′(x)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))(Δx＋2x)＝2x；(4)f′(x)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,xx＋Δx)))＝－eq\f(1,x2)；(5)f′(x)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(\r(x＋Δx)－\r(x),Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx,Δx\r(x＋Δx)＋\r(x))＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))＝eq\f(1,2\r(x)).知識(shí)梳理幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))知識(shí)點(diǎn)二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知識(shí)梳理為了方便，今后我們可以直接使用下面的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表.原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)[自我檢測(cè)]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)＝eq\r(4,x5)；(2)g(x)＝coseq\f(π,4)；(3)h(x)＝3x.答案：(2)g(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，∴g′(x)＝0；(3)h′(x)＝3xln3.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第57頁探究一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[閱讀教材P83例1]假設(shè)某國(guó)家在20年期間的年均通貨膨脹率為5%，物價(jià)p(單位：元)與時(shí)間t(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0為t＝0時(shí)的物價(jià)．假定某種商品的p0＝1，那么在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少()?題型：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．方法步驟：①根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，上漲速度就是導(dǎo)數(shù)．②利用導(dǎo)數(shù)公式表求出p′(t)．③再求出p′(10)就是第10個(gè)年頭的上漲速度．[例1]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1.[解析](1)y′＝(10x)′＝10xln10.(2)y′＝(lgx)′＝eq\f(1,xln10)..(5)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1＝sin2eq\f(x,2)＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.方法技巧函數(shù)解析式符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求導(dǎo)．2．若給出的函數(shù)解析式不符合導(dǎo)數(shù)公式，則通過恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo)，如根式要化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)．跟蹤探究1.(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lgeq\r(3,x)；(5)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解析：(1)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))xlneq\f(1,e)＝－eq\f(1,ex)＝－e－x.(2)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))xlneq\f(1,10)＝eq\f(－ln10,10x)＝－10－xln10.(3)∵y＝lg5是常數(shù)函數(shù)，∴y′＝(lg5)′＝0.(4)∵y＝3lgeq\r(3,x)＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝eq\f(1,xln10).(5)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.探究二利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程[教材P82探究改編]求曲線y＝eq\f(1,x)在(1,1)處的切線方程．解析：∵y＝eq\f(1,x)＝x－1，∴y′＝－x－2＝－eq\f(1,x2)，∴y′|x＝1＝－1，∴曲線y＝eq\f(1,x)在(1,1)處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.[例2](1)求過曲線y＝sinx上點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且與在這點(diǎn)處的切線垂直的直線方程．[解析]∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲線在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線斜率是：y′|x＝eq\f(π,6)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).∴過點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為－eq\f(2,\r(3))，故所求的直線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.(2)設(shè)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離．解析：如圖，設(shè)l是與直線y＝x平行，且與曲線y＝ex相切的直線，則切點(diǎn)到直線y＝x的距離最?。O(shè)與直線y＝x平行的直線l與曲線y＝ex相切于點(diǎn)P(x0，y0)．因?yàn)閥′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1)．所以點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離為eq\f(|0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).方法技巧解決有關(guān)切線問題的關(guān)注點(diǎn)(1)此類問題往往涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素．其他的條件可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為這三個(gè)要素間的關(guān)系．(2)準(zhǔn)確利用求導(dǎo)公式求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務(wù)必做到準(zhǔn)確．(3)分清已知點(diǎn)是否在曲線上，若不在曲線上，則要設(shè)出切點(diǎn)，這是解題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)．跟蹤探究y＝f(x)＝x2，求過點(diǎn)B(3,5)且與曲線相切的直線方程．解析：設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴切線方程為y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)．將點(diǎn)B(3,5)代入上式得5－xeq\o\al(2,0)＝2x0(3－x0)，即xeq\o\al(2,0)－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5.∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)或(5,25)．∴所求切線方程為y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第58頁[課后小結(jié)](1)利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)捷地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸．(2)有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo)．如求y＝1－2sin2eq\f(x,2)的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2eq\f(x,2)＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.(3)對(duì)于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號(hào)的變化．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．未能區(qū)分好變量與常量而致錯(cuò)求f(x)＝cosa的導(dǎo)數(shù)．易錯(cuò)分析很容易忽視a是常數(shù)．自我糾正f′(x)＝(cosa)′＝0.2．沒有意識(shí)到切點(diǎn)也在曲線上致誤過原點(diǎn)作曲線y＝ex的切線，