2014第二輪高考總復習多媒體動畫課堂數(shù)學課件?？紗栴}

與圓

錐曲

線有

關(guān)的

定點、定值、最值、范圍

問題示例精講示例精講以題帶點以題帶點題型突破題型突破天天沖關(guān)天天沖關(guān)對點訓練對點訓練以題帶點自主診斷回扣要點答案：(1)√(2)√(3)√

(4)

√

(5)

√解析點評解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)或建立不等關(guān)系，根據(jù)目標函數(shù)或不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關(guān)

系．建立目標函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點實際情況靈活處理.判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“√”或“×”）(1)

斜率為

k

的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2

，y2)，則所得弦長|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|．

()F1、F2為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上的任意一點，B

為短軸的一個端點，則有∠F1PF2≤∠F1BF2. (

)P為實軸為

2a的雙曲線上的任一點，O為坐標原點，則有|OP|≥a．

(

)(4)

點P

為拋物線y2＝2px(p＞0)上的任一點，適的變量，其原則是這個F

為焦點，則有|PF|≥

p

．

(

)2(5)點P

為拋物線上的任一點，F(xiàn)為焦點，A(m，的坐標等，要根據(jù)問題的n)為一定點，則|PA|＋|PF|有最小值．

(

)x2

y2a

b【示例1】．(2013·山東卷)橢圓C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是

3F1，F(xiàn)2，離心率為

，過

F1

且垂直于

x

軸的直線被橢圓

C

截得的線段長2為

1.

(1)求橢圓

C

的方程；(2)點P

是橢圓C

上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM

交C的長軸于點M(m,0)，求m

的取值范圍；12第二步：求范圍，（（（113））由離心率和弦長進行求解．）第一步：

由離心率列方程第一步：聯(lián)立方程，

，（2）利用三角形內(nèi)角平分線定理求解．第二

步：由弦長列方程，第二步：消元，△＝０，（3）利用判別式等于零及第三步：解方程

組求第三步：由(2)結(jié)論列等式，(2)a，中結(jié)論進b，（

）第一步：由角平分線列等式第四步：求出定值．

，定點、定值問題審題探究方法構(gòu)建模板題型突破流程解析總結(jié)(3)在(2)的條件下，過點P作斜率為k

的直線l，使得l

與橢圓C

有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1、PF2

的斜率分別為k1、k2，若k≠0，試證明1kk＋1

為定值，并求出這個定值．kk2x2

y2解

(1)由于

c2＝a2－b2，將

x＝－c代入橢圓方程a2＋b2＝1，b2

2b2得：y＝±

a

，由題意知

a

＝1，即

a＝2b2.

行求解．x2又

e＝c＝

3，所以

a＝2，b＝1.

故橢圓

C

的方程為

＋y2＝1.a

2

4(2)(法一)如圖，由題意知|F1M|

|PF1|

|PF1|

＝c＋m

3＋m＝|MF2|＝|PF2|即4－|PF1|

c－m

3－m，整理得m＝

3(|PF

|－2)．2

1又a－c<|PF1|<a＋c，即2－3<|PF1|<2＋

3.→

→

→

→→

→

→

→|PF1||PM|

|PF2||PM|(法二)由題意知PF1·PM

＝

PF2·PM

，即PF1·PM

PF2·PM→

→

→

→→

→|PF1|

|PF2|＝

.0

0

0設(shè)P(x0，y0)，其中x2≠4，將向量坐標化得m(4x2－16)＝3x3－12x0.所以m＝4x0，而x0∈(－2,2)，3

3∴－2<m<2.故m

的取值范圍是3

3

3＝k(x－x

)．(3)設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，則直線l

的方程為y2

所以 ∈

－

，x

＋y2＝1，

m

2聯(lián)立

4

3

3m∈－2，2.y－y0＝k(x－x0)，整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y2－2kx

y

＋k2x20

0

0

0所以

Δ＝0.即(4－x2)k2＋2x

y

k＋1－y2＝0.

－y00

0

0

0x2

2.0

2

2

2

2又4

＋y0＝1，所以16y0k

＋8x0y0k＋x0＝x

1

1

x0＋

3

x2x

0以

1

＋

1 1

1

＋

1

－4y0

0kk1

kk2＝kk1

k2＝

x0

·

y0

＝－8.0.以

1

＋

1

為定值，這個定值為－8.kk1

kk2

－

3

2x0故

k＝－

0

，由(2)知

＋

＝ ＋

0

＝

.

－1)＝0.4y0

k1

k2

y0

y0

y0所總結(jié):

(1)定點和定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與所參數(shù)無關(guān)．在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的．

(2)解圓錐曲線中的定點、定值問題也可以先研究一下特殊情況，找出定點或定值，再視具體情況進行研究．總結(jié):

(1)定點和定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)．在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的．

(2)解圓錐曲線中的定點、定值問題也可以先研究一下特殊情況，找出定點或定值，再視具體情況進行研究．x2

y2【訓練1】(2013·安徽卷)設(shè)橢圓E：a2＋1－a2＝1

的焦點在x

軸上．若橢圓E

的焦距為1，求橢圓E

的方程；設(shè)F1，F(xiàn)2

分別是橢圓E

的左、右焦點，P為橢圓E

上第一象限內(nèi)的點，直線F2P

交y

軸于點Q，并且F1P⊥F1Q.證明：當a

變化時，點P在某定直線上．1

5(1)解

因為焦距為

1，所以

2a2－1＝4，解得

a2＝8.8x2

8y2故橢圓E

的方程為5

＋3

＝1.(2)證明

設(shè)

P(x0，y0)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中

c＝

2a2－1.y0由題設(shè)知

x0≠c，則直線

F1P

的斜率k

＝

.F1

P

x0＋cy0直線

F2P

的斜率k

＝

.F2

P

x0－cy0故直線

F2P

的方程為

y＝

(x－c)x0－c．探究方法構(gòu)建模板題型突破x2

y2【訓練1】(2013·安徽卷)設(shè)橢圓E：a2＋1－a2＝1

的焦點在x

軸上．若橢圓E

的焦距為1，求橢圓E

的方程；設(shè)F1，F(xiàn)2

分別是橢圓E

的左、右焦點，P為橢圓E

上第一象限內(nèi)的點，直線F2P

交y

軸于點Q，并且F1P⊥F1Q.證明：當a

變化時，點P在某定直線上．當

x＝0

時，y＝

cy0

，即點

Q

坐標為0，

cy0

.c－x0

c－x0y0因此，直線

F1Q

的斜率為k

＝c－x0.F1

Qy0

·

y0由于

F1P⊥F1Q，所以k

.

k

＝x0＋c

c－x0＝－1.F1

Q

F1

P化簡得y2＝x2－(2a2－1)①0

0．將①代入橢圓E

的方程，由于點P(x0，y0)在第一象限解得x0＝a2，y0＝1－a2.即點P

在定直線x＋y＝1

上．探究方法構(gòu)建模板題型突破最值、范圍問題（1）利用點差法進行求解．求解（2）根據(jù)條件把面積（1）第一步：設(shè)A，B的，坐標并帶入橢圓方第二步：兩方程相減，化簡，第三步：由斜率及焦點求出a，b第四步：寫橢圓方程，（2）第一步：聯(lián)立方程求|AB|

，第二步：設(shè)CD方第三步：求|CD|的最大值，第四步：求邊形面積的最大值．審題探究方法構(gòu)建模板題型突破流程解析總結(jié)解

(1)設(shè)

A(x1，y1)，B(x2，y2)，P0(x2

2

x2

22＋y2＝1，2＋y2＝1，轉(zhuǎn)化為函則

1

1

2

22)

y2－y1

程)＝－

＝1.x2－x1a

b

a

b2y1－y2＝－1，由此可得b

(x1＋x∵x1－x2

a2(y1＋y2因為P

為AB

的中點，且OP

的1

1所以y0＝2x0，即y1＋y2＝2(x1＋x2)．所以可以解得a2＝2b2，程并與橢圓方程聯(lián)立，又由題意知，m

的右焦點為(

3，0)，故

a2－b2＝3.x2

y2【示例

2】．(2013·全國Ⅱ卷)平面直角坐標系

xOy

中，過橢圓

M：a2＋b2＝1(a>b>0)右焦點的直線

x＋y－

3＝0交

M于

A，B兩點，P為

AB的中點，且

OP

的斜率為

1.

(1)求

M

的方程；

(2)C，D

為

M上的兩點，若四邊22

y2所以

a2＝6，b2＝3.

四所以

M

的方程為x

＋6

3＝1.x

y2)將

x＋y－

3＝0

代入

＋

＝1，

x0，y0)，6

3

4

3

數(shù)x＝

3

，

x＝0，

4

6得

或

所以可得|AB|＝

3

；3

y＝

3.

1

，3y＝－3

斜率為2，由題意可設(shè)直線CD

方程為y＝x＋m，所以設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，2

2將y＝x＋m

代入x

＋y

＝1

得3x2＋4mx＋2m2－6＝0，6

34則|CD|＝

2

(x3＋x4)2－4x3x4＝

9－m2，形ACBD

的對角線CD⊥AB，求四邊形面積的最大值．2

2(又因為Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以當m＝0

時，|CD|取得最大值4，1

8

6解所以四邊形

ACBD

面積的最大值為2|AB|·|CD|＝

3

.總結(jié):

求最值或求范圍問題常見的解法有兩種：

(1)幾何法．若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法．(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)再求這個函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法．總結(jié):

求最值或求范圍問題常見的解法有兩種：(1)幾何法．若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法．(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法．【訓練2】(2013·廣東卷)已知拋物線C

的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c>0)到直線

l：x－y－2＝0

3 2.設(shè)

P

為直線

l

上的點，過點的距離為2P

作拋物線C

的兩條切線PA，PB，其中A，B

為切點．求拋物線C

的方程；當點P(x0，y0)為直線l

上的定點時，求直線AB

的方程；當點P

在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值．解

(1)依題意，設(shè)拋物線

C的方程為

x2＝4cy，|c＋2|

3

2則

＝

，c>0，解得

c＝1.2

2所以拋物線C

的方程為x2＝4y.1(2)拋物線C的方程為x2＝4y，即y＝4x2，1求導得y′＝2x，1

1設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則切線PA，PB

的斜率分別為2x1，2x2，所以切線PA

的方程為y－yx111＝

2

(x－x

)，探究方法構(gòu)建模板題型突破【訓練2】(2013·廣東卷)已知拋物線C

的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c>0)到直線

l：x－y－2＝0

3 2.設(shè)

P

為直線

l

上的點，過點的距離為2P

作拋物線C

的兩條切線PA，PB，其中A，B

為切點．求拋物線C

的方程；當點P(x0，y0)為直線l

上的定點時，求直線AB

的方程；當點P

在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值．x1

x21即y＝

2

x－2

＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.同理可得切線PB

的方程為x2x－2y－2y2＝0，又點P(x0，y0)在切線PA

和PB

上，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程

x0x－2y0－2y＝0

的兩組解，所以直線AB

的方程為x0x－2y－2y0＝0.探究方法構(gòu)建模板題型突破【訓練2】(2013·廣東卷)已知拋物線C

的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c>0)到直線

l：x－y－2＝0

3 2.設(shè)

P

為直線

l

上的點，過點的距離為2P

作拋物線C

的兩條切線PA，PB，其中A，B

為切點．求拋物線C

的方程；當點P(x0，y0)為直線l

上的定點時，求直線AB

的方程；當點P

在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值．(3)由拋物線定義知|AF|＝y(tǒng)1＋1，|BF|＝y(tǒng)2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋1，，x0x－2y－2y0＝0聯(lián)立方程x2＝4y，消去x

整理得y2＋(2y0－x2)y＋y2＝0，0

0∴y1＋y2＝x2－2y

，y

y

＝y(tǒng)2，0

0

1

2

0∴|AF|·|BF|＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋1＝y(tǒng)2＋x2－2y

＋1.0

0

0探究方法構(gòu)建模板題型突破【訓練2】(2013·廣東卷)已知拋物線C

的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c>0)到直線

l：x－y－2＝0

3 2.設(shè)

P

為直線

l

上的點，過點的距離為2P

作拋物線C

的兩條切線PA，PB，其中A，B

為切點．求拋物線C

的方程；當點P(x0，y0)為直線l

上的定點時，求直線AB

的方程；當點P

在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值．又點P(x0，y0)在直線l

上，所以x0＝y(tǒng)0＋2.

12

9所以y2＋x2－2y

＋1＝2y2＋2y

＋5＝2y

＋2

＋2，0

0

0

0

0

01

9∴當y0＝－2時，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值為2.探究方法構(gòu)建模板題型突破倒計時精題精練提升能力天天沖關(guān)x2

y21．(2013·濟南3

月模擬)若雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)與直線y＝

3x

無交點，則離心率

e

的取值范圍是(

)．A．(1,2)

B．(1,2] C．(1，

5) D．(1，

5]x2

y22．已知橢圓4

＋b2＝1(0<b<2)與

y軸交于

A，B

兩點，點

F為該橢圓的一個焦點，則△ABF

面積的最大值為(

)．A．1

B．2

C．4

D．81x2423．設(shè)

F

是橢圓 ＋y

＝11的左焦點，O

為坐標原點，點P

在橢圓上，則PF

·PO→

→的最大值為

．x224．(2013·北京卷)已知A，