3 2離散型隨機變量方差課件人教版選修

2.3.2

離散型隨機變量的方差【課標要求】理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念和計算．能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．掌握方差的性質(zhì)，以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．【核心掃描】離散型隨機變量的方差與標準差的概念和計算．(難點)離散型隨機變量的均值意義與方差意義的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點)兩點分布、二項分布的方差的求法．自學導引1．離散型隨機變量的方差、標準差(1)定義：設離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pni則(xi－E(X))2

描述了x

(i＝1，2，…，n)相對于均值E(X)的偏n

(xi－E(X))2pi離程度，而

D(X)＝

i＝1

為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量

X

與其均值

E(X)的平均偏離程度．稱

D(X)為隨機變量

X

的方差，其算術平方根

D（X）為隨機變量

X的標準差．意義：隨機變量的方差和均值都反映了隨機變量取值偏離于均值

的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越?。x散型隨機變量方差的性質(zhì)設a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝

a2D(X)．想一想：你能類比樣本數(shù)據(jù)方差的計算公式，理解離散型隨機變量方差的計算公式嗎？1

2

n提示

設

x

、x

、…、x

為樣本的

n

個數(shù)據(jù)，－x

＝nx1＋…＋xn，則該樣本數(shù)據(jù)的方差s2＝i＝1ni1n(x

－－x

)2·，由于－x

相當于離散1型隨機變量中的E(X)，而相當于每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率(概n率)pi，故離散型隨機變量X

的方差可定義為：nD(X)＝

(xi－E(X))2·pi(i＝1，2，…，n)．i＝12．服從兩點分布與二項分布的隨機變量的方差XX服從兩點分布X～B(n、p)D(X)p(1－p)(p為成功概率)np(1－p)2試一試：已知隨機變量X～B(3，p)，D(X)＝3，你能求出p的值嗎？提示

由已知得，3p(1－p)

2

p

1

2＝3，解得 ＝3或3.名師點睛對隨機變量X的方差、標準差的理解隨機變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的．隨機變量X的方差和標準差都反映了隨機變量X取值的穩(wěn)定性和波動、集中與離散程度．D(X)越小，穩(wěn)定性越高，波動越?。畼藴什钆c隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛．數(shù)學期望與方差的關系數(shù)學期望和方差是描述隨機變量的兩個重要特征．數(shù)學期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均值，而方差表現(xiàn)了隨機變量所取的值相對于數(shù)學期望的集中與離散的程度．E(X)是一個實數(shù)，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X的取值的平均水平，D(X)表示隨機變量

X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越

大，說明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．D(X)與E(X)一樣也是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定

(當然方差是建立在數(shù)學期望這一概念上的)．方差的性質(zhì)當a，b均為常數(shù)時，隨機變量函數(shù)η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特別地：當a＝0時，D(b)＝0，即常數(shù)的方差等于0；當a＝1時，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即隨機變量與常數(shù)之和的方差等于這個隨機變量的方差本身；當b＝0時，D(aξ)＝a2D(ξ)，即隨機變量與常數(shù)之積的方差，等于這個常數(shù)的平方與這個隨機變量方差的乘積．題型一 求離散型隨機變量的方差【例1】袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球．ξ表示所取球的標號．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．[思路探索](1)根據(jù)題意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解．(2)運用E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)求a，b.解

(1)ξ的分布列為：ξ01234P12

1

20

1

10

3

2015則E(ξ)＝020

10

201

1

1

3

1×2＋1×

＋2×

＋3×

＋4×5＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)212

20

10×

＋(1－1.5)2×

1

＋(2－1.5)2×

1

＋(3－1.5)2×

3

＋(4－1.5)2120

5×

＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以當a＝2

時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當a＝－2

時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以b＝－2或a＝2，

a＝－2，b＝4即為所求．規(guī)律方法求離散型隨機變量的均值或方差的關鍵是列分布列，而列分布列的關鍵是要清楚隨機試驗中每一個可能出現(xiàn)的結果．同時還能正確求出每一個結果出現(xiàn)的概率．已知X的分布列為【變式1】求：(1)E(X)，D(X)；(2)設Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．1

12

30

1116

3解

(1)E(X)＝－1×

＋

×

＋

×

＝－

，12

121

13

2

3

3

3

121

56

9D(X)＝－1＋

×

＋0＋

×

＋1＋

×

＝

.(2)E(Y)＝2E(X)＋373＝

，D(Y)＝4D(X)＝209.X－101P121316題型二 兩點分布與二項分布的方差【例2】

為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了

n

株沙柳．各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為

p，設

ξ

為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學期望E(ξ)為3，標準差D（ξ）為26.求n和p

的值，并寫出ξ

的分布列；若有3

株或3

株以上的沙柳未成活，則需要補種．求需要補種沙柳的概率．[思路探索]判斷某一離散型隨機變量是否服從二項分布，是利用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)的先決條件．解

由題意知，ξ

服從二項分布

B(n，p)，nk

kP(ξ＝k)＝C

p

(1—n

k－p)

，k＝0，1，…，n.32(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，12得1－p＝，從而2n＝6，p＝1.ξ的分布列為(2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝1＋6＋15＋202164

32＝

，或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－15＋6＋16421

21＝32.所以需要補種沙柳的概率為32.ξ0123456P

1

64

6

64156420641564

6

64

1

64規(guī)律方法

記準方差的性質(zhì)：D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．若ξ服從兩點分布，則D(ξ)＝p(1－p)．若ξ～B(n，p)，則D(ξ)＝np(1－p)．【變式2】設一次試驗的成功率為p，進行100次獨立重復試驗，求當p為何值時，成功次數(shù)的標準差的值最大？并求其最大值．解

設成功次數(shù)為隨機變量

X，由題意可知X～B(100，p)，則D（X）＝

100p（1－p）.因為D(X)＝100p(1－p)＝100p－100p2，把上式看作一個以p

為自變量的二次函數(shù)，1易知當p＝時，D(X)有最大值為25.2所以D（X）的最大值為5.1即當p＝2時，成功次數(shù)的標準差的值最大，最大值為5.A，B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2.根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為題型三 均值與方差的綜合應用【例3】X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3在A，B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；將x(0≤x≤100)萬元投資A項目，100－x萬元投資B項目，f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時，

f(x)取得最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))[規(guī)范解答](1)由題設可知Y1和Y2的分布列分別為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3(2分)(4分)E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(6分)(2)f(x)＝D

x

100

Y1＋D100－x

100

Y2＝

100

x

2D(Y1)

＋

100

100－x

2D(Y2)

＝

4

1002

22

[x

＋

3(100

－

x)

]

＝10

000

4

(4x2－600x＋30

000)，(9

分)2×4所以當x＝

600

＝75

時，f(x)取最小值為3.(12

分)【題后反思】解均值與方差的綜合問題時的注意事項(1)離散型隨機變量的分布列、均值和方差是三個緊密聯(lián)系的有機統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在一起考查，其解題的關鍵是求出分布列；在求分布列時，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算概率，并注意結合分布列的性質(zhì)，簡化概率計算；在計算均值與方差時要注意運用均值和方差的性質(zhì)以避免一些復雜的計算．若隨機變量X服從兩點分布、二項分布可直接利用對應公式求解．【變式3】從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)．求X的分布列；求X的均值與方差；求“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率．解

(1)X

可能的取值為

0，1，2.P(X＝k)＝2C

·C—43C6k

3

k，k＝0，1，2.X

的分布列X012P153515(2)由(1)，X

的均值與方差為511

315

5E(X)＝0×

＋

×

＋

×

＝2

1.D(X)＝(0－1)2

1

(1－1)2×3

(1－2)2

1

2×5＋

5＋

×5＝5.(3)由(1)，“所選3

人中女生人數(shù)X≤1”的概率為45P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝

.誤區(qū)警示 忽略對方差的比較致誤【示例】某農(nóng)科院對兩個優(yōu)良品種甲、乙在相同的條件下進行對比實驗，100公頃的產(chǎn)量列表如下：甲：每公頃產(chǎn)量(噸)9.49.59.810.2公頃數(shù)11324215乙：每公頃產(chǎn)量(噸)9.29.51011公頃數(shù)35203